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导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
导数与微分知识总结第三章导数微分边际与弹性习题课一、知识总结导数与微分知识总结求导法则基本公式导数xy x ∆∆→∆0lim 微分xy dy ∆'=关系)(x o dy y dx y dy y dx dy ∆+=∆⇔'=⇔'=高阶导数二、导数定义与公式详细分析导数与微分知识总结1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数,)(,,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000x x x x x x dx x df dx dy y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ==='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=定义.)()(lim lim 00000xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim )()(lim )(00000000xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='-→∆-→-;)()(lim )()(lim )(00000000xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='+→∆+→+函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等.2、基本导数公式22211)(arctan 11)(arcsin ln 1)(log ln )(sec )(sec sec )(tan cos )(sin 0)(x x x x ax x a a a xtgx x x x x x C a x x +='-='='='='='='='（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot (11)(arccos 1)(ln )(csc )(csc csc )(cot sin )(cos )(x x x x xx e e xctgx x x x x x x x x x +-='--='='='-='-='-='μ='-μμarc三、各类运算法则详细分析导数与微分知识总结3、求导法则设)(),(x v v x u u ==可导，则（1）v u v u '±'='±)(, （2）u c cu '=')((c 是常数),（3）v u v u uv '+'=')(, （4）)0()(2≠'-'='v vv u v u v u .(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则()(),1().()x y y f x f x y φφ=='='如果函数的反函数为则有(3) 复合函数的求导法则).()()()]([)(),(x u f x y dxdu du dy dx dy x f y x u u f y ϕ'⋅'='⋅=ϕ=ϕ==或的导数为则复合函数而设(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:()().v x u x 多个函数相乘除和幂指函数的情形(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程x y t y t x ⎩⎨⎧==ψϕ;)()(t t dt dx dt dy dx dy ϕψ''==.)()()()()(1)(322t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ϕϕψϕψ''''-'''=⋅=(6) 参变量函数的求导法则四、高阶导数详细分析4、高阶导数,)()(lim ))((0xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆二阶导数记作.)(,),(2222dxx f d dx y d y x f 或''''.,),(33dx y d y x f ''''''二阶导数的导数称为三阶导数,记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,n x f n x f -.)(,),()()(n n n n n n dxx f d dx y d y x f 或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)则阶导数具有和设函数,n v u )()()()()1(n n n v u v u ±=±)()()()2(n n Cu Cu =()()(1)(2)()()()()()0(1)(3)()2!(1)(1)!n n n n n k k n n k n k k n k n n u v u v nu v u v n n n k u v uv k C uv ----=-'''⋅=+++--++++=∑莱布尼兹公式直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.常用高阶导数公式()(2)(sin )sin()2n x x n π=+⋅()(3)(cos )cos()2n x x n π=+⋅()(1)()(ln )(0)x n n x a a aa =>x n x e e =)()(nn x n x -αα+-α-αα=)1()1()()4()( n n n x n x )!1()1()(ln )5(1)(--=-1)(!)1()1)(6(+-=n n n xn x五、微分详细分析导数与微分知识总结5、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000x A dy x df dyx x x f y x A x x f y x A x o x A x f x x f y x x x x f y x x x x ∆⋅=∆=∆⋅=∆∆+∆⋅=-∆+=∆∆+===即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分y dy ∆(微分的实质)6、导数与微分的关系).(,)()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxx f dy )('=求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式xdx x x d xdx x x d xdxx d xdx x d xdx x d xdxx d dx x x d C d cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(0)(221-==-==-==μ==-μμdx xx d dx x x d dx xx d dx x x d dx xx d dx a x x d dxe e d adx a a d a x x x x 222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(+-=+=--=-=====arc函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(v udv vdu v u d udv vdu uv d Cdu Cu d dvdu v u d -=+==±=±8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,x f y x =dxx f dy )('=谢谢THANK YOU。
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
第二章 导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或0|d d x x xy =或0|d d x x x f=+→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。
-→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。
2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。
导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。
以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。
3．可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。
此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。
4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u '±'='±)(定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u uv '+'=')(定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且x u x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y ux u x=⋅5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：0)(='C 1)(-='μμμx xa a a x x ln )(='x x e )e (='ax x a ln 1)(log ='x x 1)(ln ='x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。
第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， ，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ， ，()n y 或33d y dx ，44d y dx ， ，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-， ，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。
