一元一次不等式及解集概论

“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是（）.A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1）含有同一个未知数，（2）几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x<3；（2）x≥3.【解答】（1）在数轴上表示x<3为：；（2）在数轴上表示x≥3为：.【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1五、正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.例4某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.（1）购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？（2）问该单位最多能购买A型电脑多少台？【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】（1）设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：x+2y=11840，2x+y=12040.解得：x=4080，y=3880.答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.（2）设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：4080x+3880（36-a）≤145000，解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.。

一、本节的重点:理解一元一次不等式组及其解集的意义，二、难点是：如何找一元一次不等式组的解集，三、学习本节时应注意以下两点：①两个一元一次不等式合在一起组成一个不等式组，要理解其解集是什么，即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集；②二元一次方程组的解通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴得出。

一定要注意：如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；探究问题现有长度为3cm和10cm的两条线段，则第三条线段x需取多长可以围成三角形x>10-3x<10+3探究问题现有长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm的五条线段，从中选出三条线段并且三条线段中必须有3cm和10cm的两条线段，请大家思考共有多少情况？哪些情况三条线段可以围成三角形？重要概念1．定义：类似于方程组，把两个（或多个）不等式合起来，组成一个一元一次方程组记作：①②由不等式①解得x<13由不等式②解得x>7从图可以看出解集是7<x<13。

例1.利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。

不等式组的解集为ｘ<1都小取较小例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为ｘ>3都大取较大例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为1<ｘ<3小大大小中间找例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为空集即：不等式组无解大大小小无解了比一比：看谁反应快运用规律求下列不等式组的解集：1.都大取较大，2.都小取较小；3.小大大小中间找，4.大大小小无解了。

x>2x>-2x<3x<-43<x<7-1<x<4无解-2≤ｘ<1x≤-2x<-2设a＜b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？用数轴试一试Ｘ＞b X＜ａ无解ａ＜X＜ｂ大小小大中间找大大小小无解了两小取小两大取大规律(口诀)探究活动：解不等式①得：ｘ>2解不等式②得：ｘ≧3在数轴上表示不等式①、②的解集：例1.解不等式组：解：所以不等式组的解集为：ｘ<-1因此，原不等式组无解。

不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。

在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。

下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。

我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。

2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。

二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。

我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。

2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。

一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。

本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。

一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。

我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。

解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。

对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。

对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。

步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。

将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。

步骤三：确定不等式的解集。

考虑a的正负情况，进行讨论。

接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。

示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。

2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。

2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。

当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。

示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。

-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。

3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。

当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。

通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。

根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。

在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。

通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。

总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。

一元一次不等式的特点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对一元一次不等式的特点进行简要介绍和概括。

下面是可能的概述内容：概述:一元一次不等式是数学中的基础概念之一，它描述了未知数在数轴上的取值范围。

不同于一元一次方程，不等式可以有无数个解，从而具有独特的特点和性质。

本文将重点探讨一元一次不等式的特点及其在数学和实际问题中的应用。

一元一次不等式的特点主要体现在以下几个方面：首先，一元一次不等式的解集通常是由一个区间或数轴上的一段区间表示。

这意味着我们可以通过图形表示法直观地看出解集的位置和范围，更方便地理解问题。

其次，一元一次不等式的解集可以用不等式符号表示。

这些符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等，用于表示不同类型的不等式。

不等式符号的选择取决于问题本身的条件和要求。

此外，一元一次不等式的解集可以用数集符号表示。

数集符号包括开区间、闭区间、半开半闭区间等，用于更精确地描述解集在数轴上的位置和范围。

数集符号的选择取决于不等式中的不等号类型和边界条件。

最后，一元一次不等式的解集可以通过代数方法求解。

我们可以利用不等式的性质和规律，运用加减乘除、移项合并等运算规则，将不等式转化为等价的形式，从而找到解集的具体表达式。

通过对一元一次不等式的特点的分析和理解，我们可以更好地应用它们解决数学问题，如解决问题的范围限制、找到满足特定条件的解等。

另外，在实际问题中，一元一次不等式也有着广泛的应用，如经济学中的供需关系、物理学中的速度限制等。

因此，深入了解和掌握一元一次不等式的特点对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。

这篇文章将通过分析一元一次不等式的特点，并进一步探讨其在数学研究和实际应用中的意义和未来研究方向，旨在帮助读者更全面地理解一元一次不等式并应用于实践。

文章结构部分的内容可以包含以下几个方面：1.2 文章结构：本文按照以下结构进行组织和呈现：引言：首先介绍一元一次不等式的概念和基本定义，并说明其在数学中的重要性和应用领域。

一元一次不等式的解集方法解一元一次不等式就像解开一道数学题的扣子，简单又有趣。

想象一下，你拿着一把尺子，量着距离，一步步往前走，最终找到答案。

这个“解”的过程，就是咱们解决不等式的步骤啦。

你得知道不等式是什么形状的。

它就像是一条直线，起点和终点都标但中间有一段是弯弯曲曲的。

咱们要做的，就是沿着这条直线走，找到那个“弯弯曲曲”的部分。

这就好比是咱们在纸上画一条线段，然后把它拉长、变短，直到找到那个合适的长度。

咱们得数一数这条线段有多少个点。

这些点就像是不等式里的未知数，它们的位置决定了不等式的大小。

咱们需要把这些点连起来，看看它们构成了一个什么样的图形。

如果这些点连在一起形成了一个正方形或者是一个三角形，那就意味着不等式没有解；如果它们连在一起形成了一个圆形或者是一个梯形，那就意味着不等式有解。

现在，咱们来看看如何找出这些点。

咱们可以用尺子来量，也可以用笔来画。

但是，别忘了咱们的目标是找出那些能让不等式成立的点。

所以，咱们得用一些技巧来帮助自己找到这些点。

比如，咱们可以用“+”号来表示未知数，然后用“=”号来表示等式两边相等的情况。

这样，咱们就可以看到不等式两边的差值是多少了。

咱们要做的就是将这些点连起来，看看它们连成了一个什么样的图形。

如果连成了一个正方形或者是一个三角形，那就意味着不等式没有解；如果连成了一个圆形或者是一个梯形，那就意味着不等式有解。

这时候，咱们就可以根据这个图形来判断不等式的解集了。

解一元一次不等式就像是在纸上找宝藏一样。

你需要耐心地观察、思考和计算，才能找到那个隐藏的宝藏——不等式的解集。

这个过程虽然有点复杂，但当你成功找到解集的那一刻，你会发现原来解决问题也可以这么有趣。

一元一次不等式的总结归纳一元一次不等式是数学中的重要概念，它在方程不等式解集的求解中起着重要的作用。

在本文中，我将对一元一次不等式的基本概念、性质和解法进行总结归纳。

一、基本概念一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0（或>，≤，≥），其中a和b为实数，且a≠0。

二、性质1. 无论如何调换不等号的方向，不等式仍然成立。

例如，若a < b，则b > a。

2. 两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。

例如，若a > b，则a + c > b + c。

3. 两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘（除）一个负数，不等式方向反向。

例如，若a > b，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。

4. 若一个一元一次不等式的解集是(-∞，x)（或(x，+∞)，[x，+∞)），那么这个不等式的解集可以表示为x < k（或k < x，k ≤ x）的形式。

5. 若一个一元一次不等式的解集是[x1，x2]，那么这个不等式的解集可以表示为x1 ≤ x ≤ x2的形式。

三、解法对于一元一次不等式，我们可以依据性质2和性质3来进行解法，即通过对不等式进行相加、相减、相乘、相除的操作，将未知数的系数化为1，最终求解出未知数的范围。

以一个具体的例子来说明解法：将不等式3x - 5 > 2x + 4进行求解。

首先，我们可以将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上5，将不等式转化为x > 9。

因此，这个不等式的解集为(x，+∞)，即x的取值范围大于9。

四、示例问题1. 求解不等式2x - 7 ≤ 5x + 3。

解：将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上7，将不等式转化为-5x ≤ 10。

接着，将不等式两边同时除以-5，并注意不等号的反向，得到x ≥ -2。