人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性【教学目标】了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图像。

【教学重点】 利用导数求单调区间 【教学难点】导数与单调性的关系一、课前预习（阅读教材24--25页，填写知识点.）1.知识回顾：怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________ 思考：判断函数2x y =的单调性，画出图象，思考其导数和单调性的关系.2.设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，（1）如果_________,则)(x f 为增函数；如果_________,则)(x f 为_________.（2）如果)(x f 在),(b a 上单调递增，则_________；)(x f 单调递减，则_________。

3.※由25页例1，总结函数的变化与图象凸凹的关系：二、课上学习：例 1.求下列函数的单调区间：（1）x x x f 3)(3-= ；（2）3)(x x f = ； （3）x x x f 3)(3+-= ；（4）x x x f --=3)(；（5）xx x f 1)(-= ；（6）x x x f 2)(+=三、课后练习：1.在下列结论中，正确的共有 ( )（1）单调增函数的导数也是单调增函数 （2）单调减函数的导数也是单调减函数（3）单调函数的导函数也是单调函数 （4）导函数是单调的，则原函数也是单调A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个2. 当x <0时,函数xx x f 4)(+=的单调减区间为 ( ） A ．(-2,0) B ．()2,-∞-C ．(-4,0)D ．()4,-∞-3.若在区间),(b a 内有0)(>'x f ，且0)(≥a f ，则在),(b a 内有（ ）A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．0)(=x fD ．不能确定 4. 函数122+=x x y ( ) A ．在()+∞∞-,是增函数 B ．在()+∞∞-,是减函数C ．在()1,1-是增函数，在其余区间是减函数D ．在()1,1-是减函数，在其余区间是增函数5.函数x x x f sin 2)(-=在()+∞∞-,内（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值6.方程076223=+-x x 在（0，2）内根的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 函数)0(22131)(23≠--=a ax ax ax x f 在[]2,1-内是增函数，则a 取值范围是_________.8. 函数)2,0(2cos sin 2π在x x y +=的单调减区间为_________.9. 设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间.10. 三次函数2)7215()14(31)(223+--+--=x m m x m x x f 在()+∞∞-,内是增函数，求m 的取值范围.【高考链接】11. 函数x x x x f sin cos )(-=在下面哪个区间是增函数（ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 12. 求函数)()(2R a e x x f ax ∈=的单调区间.。

1.3导数的应用1．3.1利用导数判断函数的单调性1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)教材整理函数的单调性与导数之间的关系阅读教材P24，完成下列问题．用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．【答案】f′(x)>0f′(x)<0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()【答案】(1)×(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：单调性与导数的关系所示，给出以下说法：图1-3-1①函数y＝f(x)的定义域是；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，02,4－1,5∪，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A(2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是()A B C D【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．【答案】(1)D(2)A利用导数求函数的单调区间求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．【精彩点拨】求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．【自主解答】f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a或x<－a；令f′(x)＝1－ax2<0，解得－a<x<0或0<x<a；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为() 【导学号：05410017】A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)【解析】(1)∵f′(x)＝(e x－e x)′＝e x－e，由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1.即函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x－1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.【答案】(1)D(2)B已知函数的单调性求参数的取值范围探究1a的取值范围．【提示】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x 3－ax －1的单减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围． 【提示】 由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值．因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3再练一题构建·体系1,41,41,41,41,41,4学业达标3，＋∞)B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3)【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 __________.【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.【导学号：05410020】【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】(0，＋∞)三、解答题9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；②f(x)的导函数是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．求函数y＝f(x)的解析式．【解】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③由①②③得a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．【解】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－－2m3＝－9，即m＝－272.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋综上所述，m的值为－272∞)．1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1-3-5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()图1-3-5【解析】由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.【答案】 D2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.【答案】 C3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意． 所以实数m 的取值范围是m ≥13.法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立．【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a＝－(x －a )(2x ＋a )x， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ，由(1)知f (x )在上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。

§1.1.3导数的几何意义导学案【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】12【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【知识要点】导数的运算法则【问题探究】探究点一 导数的运算法则例1 求下列函数的导数： （1）y ＝3x－lg x ；（2）y ＝(x 2＋1)(x －1)；（3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【知识要点】【问题探究】探究点一 复合函数的定义例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x .跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x；跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x ； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【知识要点】一般地，在区间(a，b)【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系例1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；(2) f(x)＝3x2－2ln x.（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1) f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．【当堂检测】1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，1a B ．⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0，a )4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________ （2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为_____________【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f (x )的定义域； （2）求导数f ′(x )；（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.【拓展提高】1．已知函数53123-++=ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______ 4．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .（1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值；§1.3.2利用导数研究函数的极值导学案【知识要点】1．极值的概念已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f′(x)；（2）求方程的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． （1）试确定常数a 和b 的值；（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R . （1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【当堂检测】1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 33．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ． （1）求函数)(x f y =的表达式；（2）求函数)(x f y =的单调区间和极值2．若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围§1.3.3利用导数研究函数的最值导学案【知识要点】1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f (x )在开区间(a ，b )内所有使 的点；（2）计算函数f (x )在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【问题探究】探究点一 求函数的最值问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]； （2）f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]跟踪训练1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； （2）f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．探究点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．（1）若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．（2）求f (x )在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上 ( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋14．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______【课堂小结】1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（1）若函数)(x f 在2-=x 处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[]1,3-上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[]1,2-上单调递增，求实数b 的取值范围§1.3.4导数的实际应用导学案【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】A ．4B ．6C ．4.5D ．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系； （2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； （4）求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； （6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课导学案【学习要求】1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．【双基自测】1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．有最大值 D ．有最小值 2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为 ( )A ．－1B ．0C ．－239D ．334．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为 ( )5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．【问题探究】题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()跟踪训练1已知R上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．（1）求g (x )的单调区间和最小值． （2）讨论g (x )与g (1x )的大小关系．跟踪训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ∈. （1）求f (x )的单调区间与极值；（2）求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.题型三 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．跟踪训练3 （1）若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？（2） 若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？【当堂检测】1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是 ( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 5．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是__________【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.【拓展提高】1．等差数列{}n a 中的40051a a 、是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____3．已知函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c R ∈），若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值是4．已知函数.ln )(,2)23ln()(x x g x x x f =++=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果关于x 的方程m x x g +=21)(有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 导学案【知识要点】1．曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W ＝____________.【问题探究】探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点in 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i n ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．探究点二 求变力做功问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．4．弹簧在拉伸过程中力F (x )＝5x (x 为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； （3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；（4）取极限：S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).§1.5.2定积分的概念导学案【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.【知识要点】1．定积分：设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎰badx x f )(＝_________.2．在定积分⎰badx x f )(中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式．3．如果函数f (x )在[a ，b ]的图象是 ，则f (x )在[a ，b ]一定是可积的． 4．定积分的性质 （1）⎰badx x kf )(＝ (k 为常数)；（2）[]⎰±badx x fx f )()(21＝ ± ；（3）⎰badx x f )(＝ ＋ (其中a <c <b ).【问题探究】探究点一 定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．问题2 怎样正确认识定积分⎰badx x f )(?利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .探究点二 定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么⎰badx x f )(表示什么？问题2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，⎰badx x f )(表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？例2 利用几何意义计算下列定积分：（1）ʃ3－39－x 2d x ； （2）ʃ3－1(3x ＋1)d x .跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）ʃ1－1x d x ； （2）ʃ2π0cos x d x ； （3）ʃ1－1|x |d x .探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例2 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： （1）ʃ203x 3d x ； （2）ʃ416x 2d x ； （3）ʃ21(3x 2－2x 3)d x .【当堂检测】1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n i 3n 3·1n .A ．0B ．1C ．2D ．3 2．定积分⎰badx x f )(的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：（1）ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； （2）ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .4．已知⎰2πsin x d x ＝⎰π2πsin x d x ＝1，⎰2π0x 2d x ＝π324，求下列定积分：（1）ʃπ0sin x d x ； （2）⎰2π(sin x ＋3x 2)d x .【课堂小结】1．定积分⎰badx x f )(是一个和式∑i ＝1nb －an f (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．§1.6微积分基本定理导学案【学习要求】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【学法指导】微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.【知识要点】1．微积分基本定理：如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，并且_________，那么ʃb a f (x )d x ＝ ． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则（1）当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝ ．（2）当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃba f (x )d x ＝_______．（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x ＝.【问题探究】探究点一微积分基本定理问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?例1计算下列定积分：（1）ʃ211x d x；（2）ʃ31(2x－1x2)d x；（3）ʃ－π(cos x－e x)d x.跟踪训练1计算下列定积分：（1）ʃ1025x4d x；（2）ʃ31(x＋1x)26x d x.探究点二分段函数的定积分。

《利用导数判断函数的单调性》教学设计课题 利用导数判断函数的单调性教材 人教B 版《数学》选修2-2课时 1课时教学目标知识目标：借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。

能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

情感目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。

重点与难点教学重点：利用导数判断函数的单调性。

教学难点：提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。

教学方法1．教学方法的选择：1．自主探究法、比较法2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。

教学准备多媒体（画出函数①2()21y f x x x ==-+ ②2()21y f x x x ==--+③3()y f x x x ==-在同一个坐标系下的图象）；教学过程（一）回顾与思考1．如何判断函数221y x x =--的单调性？（引导学生回顾“定义法”与“图象法”） 说明： 通过本题使学生巩固常用判断单调性的方法（1）定义法（2）图象法，为导数法的引入作好铺垫作用。

2．如何判断函数3y x x =-的单调性？x y e x =-，ln y x x =呢？3．还有其它方法吗？（引出课题）学生思考、并举手回答。

说明： 通过本题使学生认识到（1）定义法（2）图象法不再适用，培养学生提出问题的能力，从而为导数法的引入提供必要性和合理性，本例也是整节课学生思维开始活跃的开始，为思维的合理、有序的发展奠定了基调。

（二）观察与表达引例：观察函数3y x x =-的图像问题：1．直观判断函数的单调区间是什么？2．观察单调性与函数图像在相应区间上切线的斜率有何关系？3．总结单调性与函数在相应区间上的导数有何关系？（引导学生总结，教师板书）函数单调性与函数在相应区间上的导数的关系：在某个区间()b a ,内，()()x f x f ⇒>0'在()b a ,内单调递增；()()x f x f ⇒<0'在()b a ,内单调递减。

1.3.1 利用导数判断函数的单调性
高二数学组陈静
教学目标：
知识：借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。

技能：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

情感：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。

教学重点：利用导数判断函数的单调性。

教学难点：提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。

教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习
教学过程：。

1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

二、预习内容1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。

思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.二、学习过程【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解答：，问 1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？解答：，2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？解答：，【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

课题：利用导数判断函数的单调性晁子萌教学目标：1、知识目标：使学生了解可导函数的单调性与其导数的关系，掌握如何利用导数符号判断函数的单调区间和证明函数的单调性，提高学习导数和应用导数的意识。

2、能力目标：使学生提高用新知识解决复杂函数单调性的能力；培养学生数形结合的数学思想。

3、德育目标：通过带领学生对实例的分析培养学生用普遍联系的观点看待事物，加强师生间的交流，感受数学内容的统一性。

教学重点：如何利用导数的符号判断函数的单调区间教学难点：导数符号与函数单调性的关系教学方法、教学手段：教学方法：建够式教法通过让学生观察图象，判断切线斜率的正负号，并结合导数的几何意义，得到)f的正负('x 号，从而得到判断函数单调性的新方法。

教学手段：计算机课件演示教学课时：1课时教学过程：[设置情境，引入新课]提出问题：1、函数）fy=的导数的几何意义是什么？（x2、函数)f在某个区间上是增函数（减函数）的意义？(x[观察图象，探索研究]下面请同学们画出下列函数的图像，并讨论回答下列表格：2y=-==xy)2()1(xyx)3(请同学回答问题：（1） 此函数在哪个区间内是增函数？哪个区间是减函数？（2） 在增区间或减区间内曲线的导数值有什么特征呢？学生活动：通过讨论分析，得出结论，列出表格：继续向学生提问：能否根据函数的导数的正负来判断函数的单调性呢？学生回答，老师板书：定理：设函数）（x f y =在某个区间内可导（1）如果'0f x >（），则)(x f 为增函数；（2）如果'0f x <（），则)(x f 为减函数。

在学生得出上面结论的基础上提问：如果在某个区间内恒有0=）（‘x f ，）（x f 是什么函数？ 学生活动：相互讨论交流，回答：函数）（x f 为常函数。

同时老师板书。

[运用知识，解决问题]例1、已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.x f x x x f x x x f x <<<><>===当时，当或时，当或时，试画出函数)(x f 图象的大致形状。

“问题导学、探究发现”高二数学学科导学案1.3.1 函数的单调性与导数【教学目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

二、新课讲授1、提出问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？3、函数的单调性与导数的关系如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．5、求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三、典例分析 1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+2、函数x x x x f --=23)(的单调减区间是( )A ．（)31,-∞- B.),1(∞ C ．（)31,-∞-，),1(∞ D.)1,31(-例2、如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像． 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．四、随堂训练1、求下列函数的单调区间：(1) f (x )=2x 3－6x 2+7 (2) f (x )=x1+2x (3) f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ (4) y=xlnx 2、函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上（ ）A 、是增函数B 、是减函数C 、有最大值D 、有最小值3、函数y=x+2x（x>0）的单调减区间为（ ） A. （2，＋∞） B. （0，2） C. （ 2 ，＋∞） D. （0， 2 ）4、若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 有（ ）A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()0f x =D 、不能确定5、函数24y x x a =-+的增区间是 ；减区间是 ；6、函数3()f x x x =-的增区间是 和 ；减区间是 ；7、32()41f x x x x =-+-在区间 递增。

第三章 习题课 导数在研究函数中的应用 学案编号：GEXX1-1T3-xtk【学习要求】1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次). 1. 函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( )A.单调递增 B .单调递减 C.有最大值 D.有最小值2.若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A.f (x )>0B.f (x )<0C.f (x )＝0D.不能确定3.设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A.－1B.0C.－239D.334.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为 ( )5.若f (x )在(a ，b )内存在导数，则“f ′(x )<0”是“f (x )在(a ，b )内单调递减”的________________条件. 题型一 函数与其导函数之间的关系例 1 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则y ＝f (x )的图象大致是( )跟踪1 已知R 上可导函数y ＝f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( ) A.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1,2)C.(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x ).(1)求g (x )的单调区间和最小值. (2)讨论g (x )与g (1x )的大小关系.跟踪训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.题型三 导数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？ (2)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？【达标检测】1.函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A.(0,1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]，(0,1)D.[－1,0)，(0,1]2.若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )4.设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有 ( )A.f (x )g (x )>f (b )g (b )B.f (x )g (a )>f (a )g (x )C.f (x )g (b )>f (b )g (x )D.f (x )g (x )>f (a )g (a )5.函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是______.【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.第三章 习题课 导数在研究函数中的应用 练习题一、基础过关1．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )A B CD2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π) 3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)4．函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )6．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<07．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值．二、能力提升8．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.9．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 10．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 11．设函数f (x )＝a e x ＋1a ex ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．12．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.三、探究与拓展13．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．。

导数的应用教学设计
鹤山市鹤山一中王奕优
课型：复习课
一、学习目标：
1知识与技能：
１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义，会求函数曲线的切线方程。

２）掌握可导函数的单调性与其导数的关系，会利用导数求函数的单调区间。

３）会用导数求函数的极值及闭区间上的最值，利用导数证明函的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题．
2过程与方法：
通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。

3情感态度价值观：
培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点难点
讨论含参数函数的单调性及极值、最值时的分类讨论
三、学习方法：探究、讨论、归纳。

四、教学过程设计。

利用导数判断函数的单调性教学设计教材分析:本节内容为人教B版选修2-2第一章导数及其应用利用导数判断函数的单调性。

在此之前已经学习了函数、函数的单调性、导数、导数的运算，对学习本节内容有了知识储备。

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，以前主要通过函数单调性的定义来解决问题，学习了导数之后，利用导数研究函数的单调性成为一个重要手段，同时为利用导数研究函数的极值提供了知识和方法的支撑。

本节内容起到了一个承上启下的作用。

学生学情分析：高一学生学过函数的单调性的定义，并能用定义证明判断函数的单调性，但是由于用定义证明判断函数的单调性比较繁琐，学生应用起来并不能得心应手，在高二学习了导数后，学生在有了导数、导数的几何意义、导数的四则运算等知识基础上，能更快的接受利用导数研究函数的单调性。

本节应重点让学生认识到导数可以作为一种工具和手段来研究函数的性质。

教学目标：知识与技能：理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性理解分类讨论的数学思想。

过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法及简单应用；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性及简单应用；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用教学方法：自主探究、讲练结合。

教学过程：一、复习提问导入：1、必修一中，如何定义函数单调性的？2、导数的几何意义是什么？二、自学总结：1、设函数＝f在区间a，b上的导数为f′ ，如果，那么函数＝f在此区间是增函数；区间a，b为f的单调增区间。

如果，那么函数＝f在此区间是减函数．区间a，b为f的单调减区间。

2、从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的，变化率的绝对值越大说明变得越，绝对值越小说明变得越；3、从函数的图象看，导数是切线的，斜率的绝对值大说明切线，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较，曲线也就平缓一些．（教师提问学生完成，师生总结利用导数判断函数单调性的方法，和观察函数图象的陡峭平缓情况看函数的变化率快慢）三、自主探究：可导函数f在a，b上递增减的充要条件是什么？提示可导函数f在a，b上递增减的充要条件是f′≥0f′≤0在a，b上恒成立，且f′在a，b的任意子区间内都不恒等于零．这就是说，函数f在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f′＝0四、例题讲析：例2 求下列函数的单调区间1、 f ＝2－242、 f ＝3 －42＋－ 1，3、 f ＝32－2n答案：1－∞，1是减区间,1，＋∞是增区间（学生总结：利用导数判断函数单调性的步骤：1 确定函数f 的定义域；2 求出函数的导数；3 解不等式f '＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '＜0，得函数的单调递减区间．）例 3 已知定义在区间－π，π上的函数f ＝in ＋co ，则f 的递增区间是__________________解析 f ′＝in ＋co －in ＝co令f ′＝co >0，则其在区间－π，π上的解集为错误!∪错误!，即f 的递增区间为错误!和错误!（学生练习教师点评：注意三角不等式的解法，单调区间的写法）例4 已知函数f ＝3＋a 2＋＋1，a ∈R1讨论函数f 的单调区间；3.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞是增区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33是减区间2设函数f在区间错误!内是减函数，求a的取值范围．解1f＝3＋a2＋＋1，f′＝32＋2a＋1，当Δ＝2a2－3×4＝4a2－12≤0，即－错误!≤a≤错误!时，f′≥0恒成立，此时f为单调递增函数，单调增区间为－∞，＋∞．当Δ＝2a2－3×4＝4a2－12>0，即a>错误!或a0，当>错误!时，f′>0，函数f单调递增；当错误!错误!f 错误!错误!>f1f 错误!g错误!，∴错误!f 错误!>错误!f 错误!例6 已知定义在实数集R上的函数f满足f1＝3，且f的导数f′在R上恒有f′1时, f<g1 ＝0,所以f<2＋1（教师引导学生完成，总结：充分利用已知条件构造函数的方法是解决比较大小、证明不等式、解不等式的常用方法。

编号：gswhsxxx2-2-0106文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.3.1函数的单调性与导数导学案学习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。

重点、难点了解导数的内涵。

学习方法掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、预习与反馈（预习教材P 22~ P 26，找出疑惑之处）复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；新课探究函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x = 的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.思考：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性结论：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.典型例题例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.变式：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；（3）3()3f x x x =-； （4）32()f x x x x =--.例2. 设函数f (x )=2x 3-3(a +1)x 2+6ax +8，其中a ∈R.若f (x )在(-∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。

郑州励德双语学校诱思导学稿（导学案）活学活用认真答课题函数的单调性主备人陈攀东学生姓名组别学法指导名人名言与教师寄语【学习目标】1.利用P27的函数图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；（重点）2.掌握函数的单调性的定义；（重点）3.常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用；（重点）4.用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法。

（重点）【教学过程】一环节一：针对目标1.和目标2.函数的单调性（1）如果对于定义域I内某个区间D上的_______两个自变量的值1x,2x，当_______时，都有_______，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数；（2）如果对于定义域I内某个区间D上的_______ 两个自变量1x,2x，当_______ 时，都有_______ ,那么就说函数)(xf在区间D上是减函数.（3）如果函数)(xfy=在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy=在这一区间具有_______；区间D叫做函数)(xfy=的_______。

.【基础过关】1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)三．环节三：针对目标4用定义证明函数单调性基本步骤（1）（2）（3）（4）例题：判断函数()4f x xx=+在[]1,4上的单调性，并证明.【课堂达标】1．函数2()68f x x x=-+的单调递增区间为（）A．[3,)-+∞B．(,2),(4,)-∞+∞C．(2,3),(4,)+∞D．(,2],[3,4]-∞-2．已知函数()1f x x=-.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标系中画出该函数的图象；的单调递增区间为________.二．环节二针对目标3【典例】求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间【课堂达标】3．函数6yx=的减区间是（）A．[0,)+∞B．(,0]-∞C．(,0)-∞，(0,)+∞D．(,0)(0,)-∞+∞4．函数()y f x＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（）A．[20]-，B．[0]1，C．[21]-，D．[11]-，5．函数2y x=-的单调递增区间为( )A．(],0-∞B．[)0,+∞C．()0,∞+D．(,)-∞+∞四．小结1.会判断和证明函数单调性，2.会用函数单调性解决简单问题。

1.3.1利用导数判断函数的单调性一【学习目标】：1. 理解在某区间上函数的单调性与导数的关系；2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法；【自主学习】：1．判断定义函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)， 那么函数f (x )就是区间I 上的____函数；对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)， 那么函数f (x )就是区间I 上的_ 函数.2．用函数的导数判断函数的单调性一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在区间（,a b ）内/()f x _______，那么函数y=f(x) 在这个区间内是增函数；如果在区间（,a b ）内/()f x _________，那么函数y=f(x) 在这个区间内是减函数3．利用导数求函数单调区间的步骤：（1）（2）（3）【自我检测】：1．函数33y x x =-的单调增区间为 ( )A ．（0，+∞）B ．（-∞，0）C ．（-1， 1）D ．（1，+∞）2．函数613823-+-=x x x y 的增区间是 ；减区间是 。

3．函数11+=x y 的增区间是 ；减区间是 。

4．函数256y x x =-+的增区间是 ；减区间是 。

5. 函数2(1)y x x =-的增区间是 ；减区间是 。

【合作探究】例1. 已知二次函数()x f 的图象如右图所示， 则其导函数()x f '的图象大致形状是( )例2. 求下列函数的单调区间（1）()x x x f ln 232-= （2）()3129223-+-=x x x x f【小结 】【达标检测】:1．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2)B ．(0，e －2 )C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)2．函数xx y 142+=单调递增区间是______________________________. 3．求23()()2x f x x x e =-的单调增区间为_________________________________.4．求下列函数的单调区间(1)sin ,(0,2)y x x π=∈ (2)()()0>+=b x b x x f。

《1.3.1利用导数判断函数的单调性》教学设计【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性。

【教学难点】为什么会将导数与函数的单调性联系起来【教学方法】小组合作探究式教学【课时安排】1 课时【教学准备】多媒体课件一．提出问题：a. 导数的几何意义是什么？b. 求函数单调性有哪些方法？教师引导： 如果函数的表达式特别的复杂，用定义法求单调性就会很繁琐，有时甚至不能够解决，那么如何解决这个问题呢？有没有其他的方法求函数的单调性呢？例如:如何求x x y ln 2-=的单调区间呢？引出今天要学习的内容利用导数研究函数的单调区间。

（多媒体展示）出示4个函数的解析式及图象，引导学生观察并回答以下问题：⑴由4个函数图象说出它们的单调区间？⑵分别求出这4个函数的导数？分析每个单调区间上的导数的值的符号。

⑷函数导数值的符号与单调区间有关系吗？观察函数342+-=x x y 的图象引导学生思考并提出以下问题：① 同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点？它与该函数的单调性有何联系呢？② 同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢？二．抽象概括利用导数判断函数单调性的法则;教师提出问题问题1：若函数f(x)在区间，（a,b)内单调递增，那么)(x f '一定大于0吗？问题2：如果在区间（a,b)上0)(≥'x f 恒成立，能否推出 f(x)在这个区间上是单调递增？三、例题讲解：题型一图像问题：练习题型二求函数的单调性，并求出单调区间：例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)xf3(3+)xx=(2)x(2-)xf lnx=尝试总结求y ＝f (x )的单调区间的步骤。

尝试高考cos sin 335.(,).(,2).(,).(2,3)2222y x x x A B C D ππππππππ=-函数在下面哪个区间内是增函数( )六、课后作业：课本P26 页：练习A 练习B 课后思考题：已知函数32)(2+-=ax x x f 在区间），（∞+1上为增函数，求a 的取值范围?。

课堂探究探究一 利用导数判断或证明函数的单调性1．利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性时，过程较为烦琐，但借助导数，只需分析函数导数值的正负即可，因此应善于借助导数研究函数的单调性．2．利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．【典型例题1】 (1)函数f (x )＝2x ＋1x在下列哪个区间上是单调递减的( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－3,0) (2)证明函数f (x )＝sin x x在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． 思路分析：(1)只需分析哪个区间上的导数值恒小于0即可；(2)要证f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，只需证明f ′(x )＜0在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒成立即可．(1)解析：因为f ′(x )＝2－1x 2，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，14，1x 2∈(4，＋∞)． f ′(x )＝2－1x 2＜0，这时f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，故选C. 答案：C(2)证明：因为f (x )＝sin x x， 所以f ′(x )＝(sin x )′x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2. 由于x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos x ＜0，sin x ＞0，因此x cos x －sin x ＜0，故f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．探究二 利用导数求函数的单调区间1．利用导数求函数单调区间的步骤如下：(1)求函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间；在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．2．与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比，利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行，其实质是转化为解不等式问题，但也必须首先考查函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，利用导数往往适合求一些高次函数的单调区间，其单调区间有时不止一个，这时在写出它们的单调区间时，不能将各个区间用并集符号连接．3．当函数f (x )的解析式中含有参数时，求单调区间可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间．【典型例题2】 求下列各函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3－3x 2；(2)f (x )＝ln x x； (3)f (x )＝cos x ＋12x ，x ∈(0，π)； (4)f (x )＝e x ＋ax .思路分析：可按照求函数单调区间的步骤进行求解，其中(1)要注意单调区间的写法；(2)要注意导数的求法；(3)要注意正弦函数的性质；(4)要注意对参数a 进行讨论．解：(1)函数定义域为R ，且f ′(x )＝6x 2－6x .令f ′(x )＞0，即6x 2－6x ＞0.解得x ＞1或x ＜0；令f ′(x )＜0，即6x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＞0，即1－ln x x 2＞0，得0＜x ＜e ； 令f ′(x )＜0，即1－ln x x 2＜0，得x ＞e ， 所以f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)．(3)函数f (x )的定义域为(0，π)，且f ′(x )＝12－sin x .令f ′(x )＞0，即12－sin x ＞0， 解得0＜x ＜π6或5π6＜x ＜π； 令f ′(x )＜0，即12－sin x ＜0，解得π6＜x ＜5π6. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫π6，5π6. (4)函数定义域为R ，且f ′(x )＝e x ＋a .①当a ≥0时，f ′(x )＝e x ＋a ＞0恒成立，f (x )在R 上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＝e x ＋a ＞0，得e x ＞－a ，所以x ＞ln (－a )，由f ′(x )＝e x ＋a ＜0，得e x ＜－a ，所以x ＜ln(－a )．所以f (x )在(ln(－a )，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(－a ))上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是(ln(－a )，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln(－a ))． 探究三 已知函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，f (x )在这个区间上单调递增(递减)；但由f (x )在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是不够的，即还有可能f ′(x )＝0也能使得f (x )在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．2．已知函数f (x )是增函数(减函数)求函数解析式中参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于零，若能恒等于零，则应舍去这个参数的值，若f ′(x )不恒等于零，则其符合题意．3．如果在函数解析式中不含参数，而在区间中含有参数，则可首先求出f (x )的单调区间，然后根据这一单调区间与给定区间的包含关系求出参数范围．【典型例题3】 (1)若函数f (x )＝a x＋π在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围． (2)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )＝2x x 2＋1在区间(m,4m －1)上单调递增，求实数m 的取值范围． 思路分析：对于(1)(2)，可转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立问题求解，但要注意检验端点值是否符合要求；对于(3)，可先求f (x )的单增区间，再令所给区间是其子集即可．解：(1)由于f ′(x )＝－a x 2，所以－a x 2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 即a x 2≤0恒成立． 又因为当x ∈(0，＋∞)时，x 2＞0，所以a ≤0.但当a ＝0时，f (x )＝π是常数函数，不符合题意．故a 的取值范围是(－∞，0)．(2)f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，依题意知3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立．显然当a ＝0时不满足题意．因此⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3. 而当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －133＋89， 由函数y ＝x 3在R 上的单调性，可知当a ＝－3时，f (x )(x ∈R )是减函数；故实数a 的取值范围是(－∞，－31，＋∞)上是增函数．又f (1)＝1－ln 2＞1－ln e ＝0，即f (1)＞0，∴当x ＞1时，f (x )＞0，故当x ＞1时，x ＞ln(1＋x )．探究六 易错辨析易错点：忽视函数的定义域而出错【典型例题6】 求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12.所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫0，12. 错因分析：错解未注意函数的定义域．正解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．又f ′(x )＝4x 2－1x ，令4x 2－1x＜0， 得x ＜－12或0＜x ＜12. ∵x ＞0，∴f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。

高二数学选修2-2函数的单调性教案一、学习目标 理解并掌握如何由导数判断函数的单调区间及增减性；会用以上知识解一些实际问题． 二、重点难点本节重点：利用导数判断函数单调性的方法本节难点：f ′(x )＞0为f （x ）增函数的充分条件．三、典型例题1．利用导数判断函数单调性或求其单调区间 例1求下列函数的单调区间：（1）y ＝x 4－2 x 2－5 （2）y ＝2 x 2－ln x ． 【点评】确定函数的单调区间，即求导函数的不等式的解用“穿线法”画图，可较快得解． 例2求下函数的单调区间：（1）y ＝2x x - （2）f （x ）＝x （23＋sin ln x ）（x ＞0）． 【解】（1）∵ x －x 2≥0，∴ 0≤x ≤1． 则 y ′＝2221xx x --．令y ′＞0，即1－2 x ＞0，x ＜21，即函数的增区间为（0，21）．令y ′＜0，即1－2 x ＜0，x ＞21，即函数的减区间为（21，1）．（2）y ′＝23＋sin ln x ＋x cos ln x · x1＝23＋2sin （ln x ＋4π）． 令y ′＞0，解得： 2 k≤ln x ＋4π＜2 k ＋34或2 k ＋35＜ln x ＋4π＜2 k ＋2化简得单调增区间为：（4ππ2-k e，π1213π2+k e），（π1217π2+k e，47ππ2+k e）．令y ′＜0，解得2 k ＋34＜ln x ＋4π＜2 k ＋35化简得单调减区间为： （π1213π2+k e，π1217π2+k e）．【点评】较复杂函数，求导数要准确．解不等式y ′＞0（或y ′＜0)之后，一定要注意与定义域相结合来确定单调区间．2．利用导数判定单调性及解有关问题例3设f （x ）＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间． 【解】f ′(x )＝3 ax 2＋1若a ＞0，则f ′(x )＞0，x ∈（－∞，＋∞），此时f （x ）只有一单调区间，矛盾． 若a ＝0，则f （x ）＝x ，此时f （x ）也只有一个单调区间，矛盾． 若a ＜0，则f ′(x )＝3 a （x ＋a 31-）（x －a31-）， 综上可知a ＜0时f （x ）恰有三个单调，其中减区间为 （－∞，－a 31-），（a31-，＋∞）， 增区间为 （－a 31-，a31-）． 【点评】本题含参数a ，应予讨论，最后答案应将参数条件一并写出．。