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03章扭转讲解

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材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件

材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩

材料力学 第03章 扭转

材料力学 第03章 扭转

sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me


扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(

4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d

材料力学第03章02-扭转强度和刚度

材料力学第03章02-扭转强度和刚度

解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1.55KN.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T
Wt
16 1.55 103 3.14 0.073
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
例题7 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
解：1、求外力偶矩
M 9549 N 9549 331 10.54(KN .m)
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN.m
3、由强度条件：
max
T
Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T GI p
32 10.54 103
max
T Wt
51.7MPa
17
(2)等强度轴的直径
max
T Wt
T
1 16
D03
51.7MPa
D0
3
16T
max
0.053m
(3)实心轴与空心轴质量比
Q0 Q
A0 A
D02 / 4 (D2 d2) / 4
3.2
18
[例3] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 KW， 输出功率分别 P2 = 147KW, P3 = 221KW，已知：G=80GPa ， [ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？

材料力学第3章扭转部分课件详解

材料力学第3章扭转部分课件详解

Me
Me
扭转(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P1000(N.m)
E
O1 ρ
a
的一个角度.
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b
dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
r
tan r
GG' EG
rd
dx
扭转(Torsion)
二、物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
扭转(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
扭转(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
扭转(Torsion)

3-第三章扭转解析

3-第三章扭转解析

3-第三章扭转解析第三章扭转3.1 扭转的概念⼀、定义在杆两端作⽤两⼤⼩相等、⽅向相反、且作⽤⾯垂直于杆件轴线的⼒偶，使杆的任意两个截⾯发⽣绕轴的相对转动。

杆件的这种变形称为扭转变形。

⼆、基本概念轴：⼯程中⼀般将发⽣扭转变形的直杆称为轴扭转⾓：扭转时杆的任意两个横截⾯的相对⾓位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝⼑杆⼯作时受扭2、汽车⽅向盘的转动轴⼯作时受扭3、机器中的传动轴⼯作时受扭4、汽车换轮胎3.2 外⼒偶矩计算、扭矩和扭矩图⼀、外⼒偶矩计算在⼯程实际中，作⽤于轴（shaft ）上的外⼒偶矩往往是未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。

以下图所⽰的齿轮轴简图为例，主动轮B 的输⼊功率经轴的传递，由从动轮A 、C 输出给其它构件。

1. 外⼒偶矩与功率、⾓速度关系e P M ?=2. 外⼒偶矩与功率、转速关系()()()()r/m in 7024r/m in kW 9549n P n P m 马⼒== (1马⼒=735.5N ?m/s) ⼆、扭转杆件的内⼒——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内⼒（截⾯法）由平衡⽅程0M T =∑，e e M M 0M -M T T ==得，T M 称为截⾯m-m 上的扭矩。

T2、扭矩的符号规定：按右⼿螺旋法则判断。

按右⼿螺旋法则把T M 表⽰为⽮量，当⽮量⽅向与截⾯的外法线的⽅向⼀致时，T M 为正；反之，为负。

右⼿的四指代表扭矩的旋转⽅向，⼤拇指代表其⽮量⽅向，若其⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向（背离截⾯⽅向）相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。

以横轴表⽰横截⾯的位置，纵轴表⽰相应截⾯上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。

3、内⼒图（扭矩图）表⽰构件各横截⾯扭矩沿轴线变化的图形扭矩图作法：同轴⼒图例题：⼀传动轴如图所⽰，主动轮A 输⼊功率22kW P A =,从动轮B 、C 输出功率分别为kW 2.7P 14.8kW,P C B ==,轴的转速为300r/min n =。

《材料力学》课件——第三章 扭转

《材料力学》课件——第三章 扭转

F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g

3第三章扭转PPT课件

11
三、扭矩图:
T
1
3T 2
T
3T
1
2
A T1
B
C
Mx1
1
T
1
3T 2
1
T
1
Mx2
2
3T 2 T
1
2
A
B
C
3
D Mx1 = T
Mx2 =T-3T= -2T
3T
Mx3
3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
Mx3
3
或Mx3=-T
12
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3T
1
A
B
2
C
D 4 1 4 32
( d )
D
dρ ρ
d D
Wp
Ip
D
2
D 3 1 4 16
24
3、薄壁圆环截面 r0>>δ
D=2r0 + d=2r0 -
δ r0
I p 2 r03
d
D
Wp 2 r02
Wp 2A0
A0——中线包围的面积 25
推广：任意形状的薄壁截面
Wp 2A0
φ
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形 平行四边形
（2）假 设
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
15
（3）应变分布规律
O1 a
γ
b
Mx
O2 c
c′
dφ
d d′
dx
周线
T

工程力学材料力学(3)


§3-1 工程实际中的扭转问题
在工程实际中，尤其是在机械传动中的许多构件，其主要变形是 扭转。例如丝锥攻丝和转动轴的工作情况。
受力特点： 受力特点 ： 在垂直于扭转构件轴线的平面内作用有两个大小相等， 转向相反的力偶。 变形特点： 变形特点 ： 在上述两力偶的作用下，各横截面绕轴线发生相对转 动。这时任意两横截面间将有相对的角位移，这种角位移称为扭转 扭转 角。图中的φAB就是截面B相对于截面A的转角
∑M
x
= 0, T = M A
取右段为研究对象，可得相同的结果 由此可见，杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内 的力偶，其力偶矩称为扭矩 扭矩。 扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小相等、转 向相反。为了使轴的同一截面上的扭矩的正负号相同，可采用右手螺 右手螺 旋法则规定其正负号。 旋法则
工程力学课件
2、静力学关系 、 圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩，是由横截面上无数的微剪力 组成的。如图所示，设距圆心ρ处的切应力为τp，如在此处取一微面 积dA，则此微面积上的微剪力为τρdA 。各微剪力对轴线之矩的总和， 即为该截面上的扭矩，即
T = ∫ ρτ ρ dA
dφ τ ρ = Gρ dx 因此 T = Gρ 2 dφ dA = G dφ ∫A dx dx
(a)
(b)
(c)
工程力学课件
由图可知：当切应力不超过材料的 剪切比例极限 (τp)时，切应力与切应变 之间成正比关系，这个关系称为剪切 剪切 胡克定律，可用下式表示： 胡克定律
τ = G ⋅γ
式中，G为材料的剪切弹性模量 剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同，其 剪切弹性模量 数值可通过试验确定，钢材的G值约为80 GPa。 理论与试验表明：剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在如 下关系：

材料力学 第三章 扭转


为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p

材料力学课件第三章扭转


C
B
第三章 扭 转
D
d
D
解：（1）计算扭矩
m
m95 4P995 479.519N 9m
n
360
Tm19N 9m
A
C
（2）计算极惯性矩
IP13 D423.13 42 347.9c5m 4
D
IP 2(D 3 4 d 2 4)3 .1 4 3 (3 4 2 2 4) 6 .3c84 m
m
B
d D
第三章 扭 转
第三章 扭 转
解：取 AB 为研究对象
mA
1.静力平衡方程
M x 0m A m B m 0 A
2.变形协调方程
AC BC
3.物理方程
ACm GAapI, BCG mBbpI
m
mB
C
B
解得：
mAabm b, mBaam b
第三章 扭 转
第三章 扭 转
第三章 扭 转
n
Tili
i1 GIpi
二、圆轴扭转的刚度条件
d T
dx GIp
—— 单位长度扭转角
maxTGmIpax[]rad/m
工程表达形式：
maxT GmpaIx180[]/m
第三章 扭 转
例题2
已知：n=300r/min， P =7.5KW，AC段为实心圆截 面，CB段为空心圆截面，D =3cm，d = 2cm。
dx
d ?
dx
3.静力学关系
T
A dA
Gd 2dA
A dx
Gd 2dA
dx A
令:
Ip
2dA
A
极惯性矩
d T
dx GIp
G d
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由平衡方程:∑M=0 得:-T3+486=0 T3=486N.m
2021/2/12
486 D
20
3. 建立T-x坐标系,画出扭矩图,如图e。
315
图a
A
1 315
1
B
2 1116 2C
3
486
3
D
T/(N.m)
图e _
315
T1=-315N.m
2021/2/12
480
+
x
630
T2=-630N.m
应力沿壁厚方向均匀分布
Me
n
Me
n
r0
l
Me
n
2021/2/12
n
内力偶矩——扭矩T
TMe 28
• 4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确 定未知的内力。
2021/2/12
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定ຫໍສະໝຸດ 右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
2021/2/12
12
扭矩图:扭矩沿杆轴线方向变化的图形。以杆轴线为 横轴表示截面位置,纵轴表示扭矩大小, 向上为正扭 矩 。选取适当比例作图,称为扭矩图。
解:1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m; MD=446N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩,
即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a)、b)、c);均有∑Mx=0 得:
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
第三章 扭转
2021/2/12
1
第三章 扭转
1 扭转的概念 2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图(重点) 3 纯剪切 (重点概念) 4 圆轴扭转时的应力 强度计算(重点) 5 圆轴扭转时的变形 刚度计算(重点)
6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 7 非圆截面的扭转 (简介)
2021/2/12
2
变形特点:
1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动; 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
实际构件工作时除发生扭转变形外,还常伴随有弯
曲、拉压等其他变形。
2021/2/12
7
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
2021/2/12
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-1、概述
传动轴
一、概 2021/2/12
3
述
§3-1、概述
电机
一、概 2021/2/12
述
Me Me 联接件 轴 传动轮
4
§3-1、概述
汽车方向盘
2021/2/12
5
§3-1、概述
丝锥攻丝
2021/2/12
6
§3-1、概述
Me
Me
受力特点: 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用。
D
解:
1. 确定控制面
– 从圆轴所受的外加力偶分布可用确定出A、B、C、 D均为控制面。
– 在AB、BC、CD段内任意选取一横截面,如1-1,22，3-3截面。
2021/2/12
18
2. 应用截面法确定各段圆轴内的扭矩
• 用1-1,2-2,3-3截面将圆轴断开，作出断开横截面上 的扭矩，假设扭矩为正方向，分别如图b、c、d所 示。
（一般横坐标x轴，纵坐标轴T可略去）
2021/2/12
13
Me
T
2021/2/12
l Me
+
Me
14
Me
l
T
-
2021/2/12
Me
Me
当只在轴的
两个端截面
上作用有外
力偶矩,则
沿轴线方向
所有横截面
上的扭矩都
是相同的,
并且都等于
作用在轴上
的外力偶矩。
15
当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用 时,轴各段横截面上的扭矩是不相等的,这时需用截 面法确定各段横截面上的扭矩。
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求:力偶矩Me
电机每秒输入功: 外力偶每秒作功:
WP100(N0.m )
W
Me
2
n 60
P
P
2021/2/12
9
2.扭矩和扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩,用
符号T表示。
扭矩大小可利用截面法来确定。
Me
1
Me
A Me
A
1
B
1
T
x
T Me
1
1
Me
2021/2/12
1
B
10
求内力的基本方法——截面法
用截面法求内力可归纳为四个字:
• 1）截:欲求某一截面的内力,沿该截面将构件 假想地截成两部分。
• 2）取：取其中任意部分为研究对象,而弃去 另一部分。
• 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部 分对留下部分的作用力。
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
Mx/(N.m)
3)画出扭矩图
350 B
_
C 700
+ 446
x
A
D
• 作业: • P102 题3.1（c）
2021/2/12
27
3.3 纯剪切
一、 薄壁圆筒扭转时的切应力
薄壁圆筒 ——通常指 r的0 圆筒，可假定其 10
315
图a
A
1 315
1
B
2 1116 2C
3
486
3
D
315
1
图b
T1
A
1
2021/2/12
由平衡方程:∑M=0 得:T1+315=0 T1=-315N.m
19
315
图a
A
1 315
1
B
2 1116 2C
3
486
3
D
315
1 315
2
图c
T2
A
1
B
2
T3 3
图d 3
由平衡方程:∑M=0 得:T2+315+315=0 T2=-630N.m
2021/2/12
16
例3-1
• 如图所示,圆轴受有四个绕轴线转动的外 加力偶,各力偶的力偶矩大小和方向均示于图 中，单位为N.m，轴的尺寸单位为mm。试画 出圆轴的扭矩图。
315
1 315
A
1
B
2 1116 2C
3
486
3
D
2021/2/12
17
315
1 315
2 1116
3
486
A
1
B
2C
3
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
2021/2/12
23
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
2021/2/12
24
补例:已知轴AB长l ,均匀分布力偶m ( kNm/m ),求作轴的扭矩图。
m (kN•m/m)
A
2021/2/12
B
25
练习题
如图,主动轮A的输入功率PA=36kW,从动轮B、C、D输出 功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min。 试画出传动轴的扭矩图。
T3=486N.m 21
作扭矩图的基本要求:
1, 扭矩图画在杆下,与杆同长， (如果是横轴)
或杆旁 (如果是竖轴)。 2， 扭矩图中用 + 表示正扭矩。
用 - 表示负扭矩。
3， 扭矩图中画竖线表示横截面（可略， 但不能画斜线）
4， 扭矩的大小标在图折线的上下。
2021/2/12
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例题3-2
解: