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第3章 扭转

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材料力学第3章 扭转

材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16

1003
16
1.96 105 mm3
d
D

材料力学 第三章 扭转

材料力学 第三章 扭转

d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx

c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1

材料力学-第三章扭转

材料力学-第三章扭转

3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件

0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析




圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16


强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3

4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2

Mn 0.208 0.886 d
b
6.913

材料力学第三章扭转

材料力学第三章扭转

传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
Me
=
P ×103 × 60 2πn
=
9.549 ×103
P n
(N • m)
Me2
Me1nMe3Fra bibliotek从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
12
二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。
τ dA r0 x
∫ T = τr0 A d A = τr0 A
n δ
A = 2πr0δ
A：平均半径所作圆的面积。
r0
得
τ
=
T r0 A
=
T
2πr02δ
28
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开 裂？纵向截面上是否存在应力？
微体互垂面 上切应力的 关系?
dx
τ1
τ2，
τ1，dy
τ2 dz
x
z
29
二、单元体·切应力互等定理
得 τ′=τ
30
切应力互等定理
y
dz
τ'
dy
z
aτ
b
O τ'
dx
d c
τ
该定理表明：在单元体
相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值 相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向 x 或共同背离该交线。
τ =τ′
τ'
a
d
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力
τ
而无正应力的状态称为纯
4.78
T 图(kN·m)

材料力学第3章 扭转

材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为

第三章——扭转

第三章——扭转

21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：τs 扭转强度极限：τb 扭转强度极限：τb 扭转屈服应力：τs 和扭转强度极限：τb ，统称为 材料的扭转极限应力τu。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
[τ ] =
τ
u
n
n为安ห้องสมุดไป่ตู้系数。
强度条件为：
τ
max
13
第三章 扭转
3.4 圆轴扭转时的应力
14
15
正应力为零，切应力垂直于半径。
16
dφ dx
=
T GI P
圆轴扭转变 形基本公式
τ ρ=
其中
Tρ IP
τ
max
=
IP R
T WP
17
Wp =
τ ρ=
其中
Tρ IP
τ
IP R
max
=
T WP
Wp =
IP和WP分别称为极惯性矩 抗扭截面模量 极惯性矩和抗扭截面模量 极惯性矩
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP =
π d4
32
WP =
π d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
π D4
32
IP = WP =
(1 − α )
4
π D3
16
(1 − α )
4
α =d/D
20
例3-2：如图所示轴，左段AB为实心圆截面，直径d＝20mm， 右段BC为空心截面轴，内、外径分别为d1＝15mm和d2＝25mm。 轴承受扭力矩MA、MB与MC作用，且MA ＝ MB ＝100N⋅m， MC ＝200 N⋅m。试计算轴内的最大扭转切应力。

《材料力学》课件——第三章 扭转


F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g

第三章扭转

MA １ T 1
扭矩T 扭矩 1=MA
１
材料力学
扭转/ 扭转/外力偶矩的计算
扭矩和扭矩图
扭矩符号规定：按右手螺旋法则。 扭矩符号规定：按右手螺旋法则。 扭矩矢量的指向与截面外法线的指向 一致，为正；反之为负。 一致，为正；反之为负。 判断下列扭矩的符号： 判断下列扭矩的符号：
T T
n n n
T
n
+
实心圆轴
D=2R d
空心圆轴
D
4 IP=πD π
/32
4 IP=πD π
材料力学
4) (1－α －
/32
扭转/ 扭转/圆轴扭转时的应力
Wt—抗扭截面系数 抗扭截面系数
Wt = IP/R
实心圆轴： 实心圆轴： Wt=πD3 π 空心圆轴： 空心圆轴： Wt=πD3 π
材料力学
R=D/2
/16
4) (1－α －
材料力学
2.分段求扭矩 2.分段求扭矩
B
I
C
A
II
III
D
I
II
III
MB
T 1
T1 = M B = 63.7( N m)
III
T3 = M D = 159.2( N m)
T3
III
MD
MB MC
材料力学
T2
T2 = M B MC = 159.2( N m)
3.绘制扭矩图 3.绘制扭矩图
318 .3
不合理
扭转/ 扭转/外力偶矩的计算
扭矩和扭矩图
相似题目 课本76页例3.1 课本76页例3.1 76页例
材料力学
扭转/ 扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学

材料力学第3章 扭转


2π
ρ2 ⋅ ρdρdθ ∫0
R
π
2
R4 =
π
32
4
D4
4
I 空心圆轴： 空心圆轴： p = （R − r ) =
π
π
32
薄壁杆： 薄壁杆：I p =
π
2
(D + d )(D+ d)(D− d) = D3t 32 4
2 2 3
π
2
(D4 − d4 )
π
W 圆轴： 圆轴： t = R =
π
16
D3
π (D4 − d4 ) = πD3 (1−α4 ) Wt = π (D3 − d3 ) 空心圆轴： 空心圆轴： Wt =16D 16
弹簧丝横截面上的应力(α<5º) 一、 弹簧丝横截面上的应力
F F
内力： 内力： FS＝F T＝FD/2 ＝ 应力： 应力：
FS
8FD d 8FD τmax = 3 ( +1) ≈ 3 πd 2D πd
FS 4F τ1 = = 2 A πd T 8FD τ 2max = = 3 Wt πd
8FD d 8FD τmax = 3 ( +1) ≈ 3 πd 2D πd
3) 矩形截面杆的扭转
切应力与截面边界相切
b
角点切 角点切应力为零 中点切 中点切应力最大
h
τmax
T τmax = 2 αhb
τ1 =ντmax
τ1
Tl Tl 中： = 其 ：t = βhb3 中 I φ= 3 Gβhb GIt
α、β与h/b有关 、 与 有关 当h>>b时， α=β=1/3 时
钻头横截面直径为20mm， ， 钻头横截面直径为 在顶部受均匀的阻抗扭矩 (Nm/m)的作用，许用切 的作用， m 的作用 应力[τ]=70MPa，(1)求许可 应力 ， 求许可 的m。(2)若G＝80GPa，求 。 若 ＝ ， 上端对下端的相对扭转角。 上端对下端的相对扭转角。 mmax= [τ]Wt=110Nm

结构力学第三章-扭转.


对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2

d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A

O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略

扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m


剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
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cc' ( ) dx
在横截面上 d
cc
'

cc d
'
d ( ) dx
d 称为单位长度相对转角 。 dx d 对于两个相邻的截面， 为常数。 dx
18
2. 物理方面
弹性范围内的切应力—切应变关系
d ( ) dx
d ( ) G ( ) G dx
① τ和τ’为同一点的剪应力；
② τ和τ’广所在的两平面相互垂直； ③ τ和τ’的方向都垂直它们所在的两个截面的交线。 否则， τ和τ’不存在互等关系。
14
3.剪切胡克定律
G
其中，比例常数G 称为切 变模量。常用单位GPa
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在 关系 E 表明3个常数只有2个是独立的 G
实心圆截面
I
d 4
32
I dA
2 A
4
空心圆截面
I
D 1
4
32
,
d D
22
最大切应力发生在横截面边缘上各点:
( )max
T max T I I
max
T WP
WP为圆截面的抗扭截面系数。
实心圆截面
W
d 3
16
空心圆截面
28
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以 直接确定形心位置的图形 )；然后由式 (7—2)分别计算它
们对于 给定 坐标轴 ( 同一个给定坐标系 ) 的静矩，并求其
代数和，即
n
S y A1 zc1 A2 zc 2 An zcn Ai zci
i 1 n
S z A1 yc1 A2 yc 2 An ycn Ai yci
P

A
y z IP I y Iz
2
2
34
3) 惯性积 (Product of inertia)
I yz yzdA
A
单位为m4
4) 惯性半径 (radius of gyration )
定义
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性矩和极惯性矩恒为正 ；而惯性积则由于坐
标轴位置的不同，可能为正，可能为负。三者
y1 y
z1 z y dA
Iy Iz I yz
o
z
?
I y1 I z1 I yz1
I y1 I z1
I y Iz 2 I y Iz 2 2

I y Iz 2 I y Iz 2
cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
转轴定理不要求 原坐标轴通过横 截面的形心。
通过其形心。
如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，
如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形 对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
27
y
S z ydA
A
h
z C

h/2
h/2
y bdy
2 h/2 h/2
b
1 b y 2
0
对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.
T = Me
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
6
§ 4-2 动力传递与扭矩
扭矩图


7
§ 4-2 动力传递与扭矩
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M 9549 P
n
8
§ 4-2 动力传递与扭矩
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
9
§ 4-2 动力传递与扭矩
d 一个不变的量。 G 对于特定的某个截面是 dx
切应力沿横截面的半径呈线性分布。
19
3. 静力学方面——平衡
如何把内力静力学方程。
20
d ( ) G ( ) G dx
( )dA T
W
D 3 1 4
16
d , D
23
§4-5 极惯性矩与抗扭截面系数
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内力
分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横截面的 几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效 问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括： 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
25
图形几何形状的中心称为形心(Centroid of an area) 若将 面积 视为垂直于图形平面的 力 ，则 形心 即为 合力的作用点。
设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：
S y Azc
zc
Sy A

A
zdA A ydA A
26
S z Ayc
Sz yc A
I y1 z 1
I y Iz
sin 2 I yz cos 2
43
转轴公式推导过程：
44
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩
I y1z1 I y Iz sin 2 I yz cos 2 0
2 就可以得到某个 ＝o，相应的坐标轴 yo和zo
如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零， 则称这一对坐标轴为过这一点的主轴 (principal axis) 。
的单位均为m4。
35
对于圆形横截面： 此时坐标轴通过横截面的形心， 得到极惯性矩为：
I P r dA
2 A
A r dA 2 r dr
2
I P r 2rdr
2 0
R

R 4
2
D

d 4
32
类似的得到圆环截面对于 圆环中心的极惯性矩为： I D 4 1 4 d P
0
T 2 2 Ro
薄壁圆管扭转应力计算公式
12
2. 纯剪切和切应力互等定理 单元体截面上只有切应力而无正应力作 用，这种应力状态叫做纯剪切应力状态。
该定理的内容为：同一点的、
位于两个互相垂直面上且垂直 于两面交线的二剪应力，其大
小相等、方向均指向两面的交
线或均背离两面的交线。
13
应明确，τ=τ’只在同时满足下列条件时才成立：
力偶在单位时间内所作的功就是功率 P ，等 于该力偶之矩M与相应角速度ω的乘积。 P M 量纲分析：1J
3
= 1N m
1w = 1N m / s
kW r/min
5
n P 10 M 2 60
Nm
P M 9549 n
§ 4-2 动力传递与扭矩
2.扭矩和扭矩图
第三章 扭转
1
第三章 扭转
§ 4-1 引言
§ 4-2 动力传递与扭矩
§ 4-3 切应力互等定力与剪切胡克定律 § 4-4 圆轴扭转横截面上的应力 § 4-5 极惯性矩与抗扭截面系统 § 4-6 圆轴扭转破坏与强度条件 § 4-7 圆轴扭转变形与刚度条件 § 4-8 简单静不定轴
2
§ 4-1 引言
i 1
注意：各个分面积中，距 离的度量都是：在 同 一 个 坐标系中求解！
29
再利用式子(7-3)，可以得到组合图形的形心坐标：
zc
Sy A

Az
i 1 n
n
i ci
A
i 1
i
Sz yc A
Ay
i 1 n i
n
ci
在各个表达式中，各个 距离的度量都是 参考同 一个坐标系！
A
i 1
i
30
31
例题 A-2 求下图的截面形心C。 任意建立一个参考坐 标系，如左图所示。
Sz
10103
0
bydy 2500 109 m3
Sz 2500 109 3 y1 5.0 10 m 3 3 A 50 10 10 10
32
Sz
共同特点： 构件为直杆，并垂直于杆件轴线 的平面内有力偶。 扭转变形是指杆件受到大小相等, 方向相反且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶作用,使杆件的横截面 绕轴线产生转动。
3
§ 4-2 动力传递与扭矩
1.外力偶矩
直接计算
4
§ 4-2 动力传递与扭矩
2. 按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦
32
36
当坐标轴通过某 圆形 横截面的中心，则该圆形横截 面对其中任意两根轴具有相同的惯性矩。其数值均为：
d Iy Iz I 64
4
4
类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：
D 4 Iy Iz I 1 64
d D
37
当坐标轴原点位于矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：
I y1、I z1总是增加的。 I yz1的增加与否，与 a，b的正负号有关。
I I a A
2 z1 z
I I abA
yz 1 yz
移轴定理要求：
原坐标轴通过横截面的形心。
40
y y1 z1
b
z dA y
o a O’
2
y1 z1
z
I z dA z b dA z 2 zb b dA
70103
10103
bydy 2.4 105 m3
S z 2.4 105 y1 0.04m 4 A 6 10
y1、y2和yc都是在oyz坐标系中度量的。
Sz yc A