2020年江西省赣州市高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)

赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题1～5.BAACB ；6～10.ADBDC ；11～12.AB .提示：9.令1ln y x =，2y ax =，(0,)x ∈+∞显然在(0,1)x ∈函数没有三各公共点，故1ln ln y x x ==，111y a x x a '==⇒=，所以21y =，故切点为1(,1)a ，代入1ln y x =得1e a =，1ln 42ln 2y ==，函数过点(4,2ln 2)，2ln 2ln 242a ==，故范围为ln 21(,)2e .10.解法一：不妨设(2,0)a = ，(,)b x y = ，则由()3b b a ⋅-= 得22(1)4x y -+=，22(2)a b x y -=-+ 表示圆22(1)4x y -+=上的点到(2,0)的距离，故max3a b -= .解法二：由()3b b a ⋅-= 得23a b b ⋅=- ，2a = ，222222242(3)10a b a b a b b b b -=+-⋅=+--=- ，要a b - 最大，必须2b 最小，而2cos 30b a b θ-⋅-= ，即22cos 30b b θ--= ，解得2cos cos 3b θθ=++ ，min 121(cos 1)b θ=-+==- ，所以max3a b -= .11三角形1F MN 为直角三角形，故它的内切圆半径1112MF MN NF MF MN NF r +-+-==1212MF MN MN MF MF MF a b +---====，故离心力2e =12.①(2)sin()sin()2x f x x f x π-=-=-，所以成立；④(2)sin sin ()2x f x x f x π+=-=，故该函数为周期函数；②由④得，所以2π是()f x 的一个周期，不妨设02x π≤≤，则2()2sin cos 22x x f x =221cos cos 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，则()g t 递增区间是,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭递减区间是[1),(,1]33--，，()g t ∴的极大值为39g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)0g -=，所以最大值不为34.③当2(0,3x π∈时，1cos ,122x t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调.正确结论的个数是2个．故选B ．二、填空题13．12；14．5；15．22142x y +=；16．23.16．分别取AD 和BC 的中点E 、F ，由,PA PD PB PC==知,PE AD PF BC ⊥⊥，又ABCD 是梯形，故EF ∥AB ，从而EF ⊥BC ，故BC ⊥平面PEF ，进而得PE ⊥BC ，而PE ⊥AD ，AD 与BC 相交，故PE ⊥平面ABCD ．由△PBC 的面积为得PF=，由222PF PE EF =+得42PE EF BC⋅≥，进而2PE EF BC ⋅⋅≤，所以1233V PE EF BC =⋅⋅≤．三、解答题17．解（1）由已知得，22sincos sin 2sin 2222A A A A +=…………………………………2分因为sin 02A ≠，所以1sin cos 222A A -=……………………………………………………4分两边平方得，3sin 4A =………………………………………………………………………6分（2）由sin cos 022A A ->得，tan 12A >，从而90A >︒…………………………………7分于是cos 4A =……………………………………………………………………………8分因为△ABC 的面积为1.5，所以4AB AC ⨯=………………………………………………9分由余弦定理得，BC =11分1=………………………………………………………………………………………12分（注：求出AB 和AC 的值给2分，写出余弦定理给1分）18．（1）因为90DAE AEF ∠=∠=︒且A 、D 、E 、F 四点共面，所以AD ∥EF又AD ⊄平面BCFE ，所以AD ∥平面BCFE …………………………………………………2分又平面ABCD 平面BCFE BC =，所以AD ∥BC …………………………………………3分因为BC AB ⊥，所以AD BC ⊥，又AD AE ⊥，所以AD ⊥平面ABE ………………5分而AD ⊂平面ABCD ，故平面ABE ⊥平面ABCD ……………………………………………6分（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形…………………7分由AD ∥EF 及AD ⊥平面ABE 得，EF ⊥平面ABE ………………………………………8分又因为90AEB ∠=︒，所以平面BCFE ⊥平面ADFE ………………………………………9分从而直线CE 与平面AEFD 所成角就是CEF ∠……………………………………………10分因为△ABE 是等腰直角三角形，所以AB =在Rt △CBE 中，tan tan 2BE CEF ECB BC ∠=∠==……………………………………12分另解（建坐标系）（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形………………7分如图建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(2,1,0)A D E C -(2,0,0),(0,1,1),(2,1,1)AD AE CE ==-=- …………………8分设平面AEFD 的法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0AD AE ⋅=⋅= n n 得0,0x y z =-=，故令1z =，得(0,1,1)=n ………………10分设直线CE 与平面AEFD 所成角为θ，则||sin 3||||n CE n CE θ⋅== ，从而tan 2θ=………………………12分19．（1）过M 和N 分别作y 轴的垂线，垂足分别为1M 、1N ，则1||||2pMM MF =-1||||2pNN NF =-依题意知11||||2MM NN +=，即||||2MF NF p +-=……………2分于是，把||||4MF NF +=代入得2p =……………………………………………………4分（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为(0)y kx m m =+<，代入抛物线方程得2440x kx m --=由0∆>得，20k m +>（*）…………………………………………………………………5分设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-．由5OA OB ⋅= 得，12125x x y y +=，即21212(54x x x x +=…………………………………6分把124x x m =-代入得2450m m --=解得1m =-或5m =（舍去）……………………7分（ⅰ）于是直线l 恒过定点(0,1)Q -…………………………………………………………8分（ⅱ）由90FPQ ∠=︒知点P 在以FQ 为直径的圆上，该圆的方程为221x y +=……10分根据（*）得21k >，从而取圆在x 轴的上方部分，又直线l 的斜率存在，因此应剔除与y 轴的交点……………………………………………………………………11分故点P 的轨迹方程为221(0x y y +=>且1)y ≠……………………………………………12分20．（1）记事件C ：“丙受甲感染”，事件D ：“丁受甲感染”，则()0.6P C =，()0.2P D =X 的取值为1,2,3(1)()0.40.80.32P X P C D ==⋅=⨯=(2)()()0.60.80.40.20.56P X P C D P C D ==⋅+⋅=⨯+⨯=(3)()0.60.20.12P X P C D ==⋅=⨯=……………………………………………………3分所以X 的分布列为X123P 0.320.560.12…………………………………………4分10.3220.5630.12 1.8EX =⨯+⨯+⨯=……………………………………………………5分（2）（ⅰ）对于B 区，由2212(2)(2)y y -+-+…27(2)21y +-=知，2(2)21i y -≤（1,2,i =…,7），因为i y 是非负整数，所以|2|4i y -≤，即6i y ≤，所以6N ≤…………………………………………………6分当12,,y y …7,y 中有一个取6，有一个取2，其余取1时，6N =…………………………7分对于A 区，当1230x x x ===，4564x x x ===，79x =时，满足“总体均值为3，中位数4”，此时，9M =………………………………………………………………………………8分所以N M <……………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当6N =时，12,,y y …7,y 只有两种情况：①有一个是6，有五个是1或3，有一个是2；②有一个是6，有一个是1或3，有一个是0或4，其余是2．对于①，共有1557621344C C ⨯=组…………………………………………………………10分对于②，共有11127652840C C C ⨯=组…………………………………………………………11分故共有2180组…………………………………………………………………………………12分21．（1）设直线149y x =+切曲线()y f x =于点00(,)x y 0.5()e 14x f x a a+'=+-所以000.50.500e 1414e (14)149x x a a a a x x ++⎧+-=⎪⎨+-=+⎪⎩………………………………………………………2分解得6a =，00.5x =-…………………………………………………………………………4分（2）0.5()6e 8x f x x+=+下证()149f x x +≥（(,2]x ∈-∞）记0.5()6e 69x g x x +=--，则0.5()6(e 1)x g x +'=-，令()0g x '=，得0.5x =-当0.5x <-时，()0g x '<；当0.5x >-时，()0g x '>．于是()g x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,2)-是递增，故()(0.5)0g x g -=≥，即()149f x x +≥…………………………7分再证32885149x x x -++≤（(,2]x ∈-∞）记32()88144h x x x x =---，则()2(21)(7)h x x x '=+-当0.5x <-时，()0h x '>；当0.52x -<<时，()0h x '<．于是()h x 在(,0.5)-∞-上递增，在(0.5,2)-是递减，故()(0.5)0h x h -=≤，即32885149x x x -++≤………………10分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分第（2）问另证：记32()()885h x f x x x =-+-，则0.5()6e 8(31)(1)x h x x x +'=-+-①当0x ≤时，()h x '递增，且(0.5)0h '-=，所以()h x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,0)-上递增，故()(0.5)0h x h =≥……………………………………………………………………6分②当01x <≤时，()0h x '≥，此时()h x 在(0,1)上递增，所以()(0)50h x h >=>………………………………………………………………8分③当1x >时，记()()m x h x '=，则0.5()6e 4816x m x x +'=-+（()m x '的导数为0.56e 48x +-）设0.56e 480x +-=的根为0x ，易知0 1.5x >，()m x '在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，00.5000()6e 481616(43)0x m x x x +'=-+=-<………………………………………………9分而(1)0m '<，(2.5)0m '>，所以()0m x '=在1x >时只有一个根1(1.5,2.5)x ∈因此()h x '在1(1,)x 上递减，在1(,)x +∞上递增，故22111111()()48168(321)8(381)2h x h x x x x x x ''=----=--+>≥…………………10分从而()h x 在(1,)+∞上递增，所以()(1)0h x h >>…………………………………………11分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分（注：在①②中按13x ≤和113x <≤讨论也行）22.（1）设动圆C 的圆心坐标为(,)x y ，则2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………………………2分消去参数θ得，得1C 的方程为22184x y +=…………………………………………………3分直线l 的直角坐标方程为0x m -=…………………………………………………4分（2）设,2sin )M θθ，MN 的最小值等于点M 到直线l 的距离的最小值点M 到直线l 的距离|||)|22m m d θθθϕ--+-==………5分因为d 的最小值不为0，所以||m >……………………………………………………7分当m >时，min 2m d -=，则12m -=，解得1)m =………………8分当m <-时，min 2m d =-，则12m +-=，解得1)m =-………9分综上，1)m =±………………………………………………………………………10分23.（1）由1a b c ++=得，2222()1a b c ab bc ca +++++=…………………………2分因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，所以222a b c ab bc ca ++++≥……………………………………………………………4分从而22212()3()a b c ab bc ca ab bc ca =+++++++≥，即13ab bc ca ++≤………5分（2）222222()()()222a b c a b c a b c b c a a b c b c a b c a+++++=+++++++≥………7分所以2221a b c a b c b c a++++=≥（当且仅当13a b c ===时取“=”号）……………9分从而1t ≤，故t 的最大值为1………………………………………………………………10分（注第（2）要指明等号成立的条件，未指的扣1分）。

2020 年江西省赣州市高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A={x∈R|x2≥2}，集合 B={-2，-1，0，1，2}．则（∁RA）∩B 中的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知复数 z= 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A. （1，-2）B. （1，2）C. （-2，1）3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（D. （-1，-2））A. y=B. y=ln|x|C. y=ex-e-xD. y=4. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S12=36．a6=2，则 a7=（ ）A. 4B. 8C. 14D. 685. 已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P（sin132°，cos132°），则 tan（α+12°）=（ ）A.B.C. -D. -6. 已知 ， 均为单位向量，则 ⊥ 是| -2 |=|2 + |的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知抛物线 C：y2=px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与抛物线C 的交点为 Q，且|QF|=2|PQ|．则 P 的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 89. 已知直线 y=kx+k+1 经过不等式组表示的平面区域，则实数 k 的取值范围是（ ）A. [- ， ]B. （-∞，- ]∪[ ，+∞）C. （-∞， ]D. （-∞，- ]10. 在 1930 年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇 数，则对它乘 3 再加 1：如果它是偶数，则对它除以 2．如此循环，最终都能得到 1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果 i=（ ）第 1 页，共 12 页A. 6B. 7C. 8D. 911. 已知函数 y= sin2x 的图象与函数 y=3cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A，B，C，则△ABC 的面积为（ ）A.B.C. πD. π12. 已知函数 f（x）=，若 m＜n，且 f（m）=f（n），则 m+n 的取值范围是（ ）A. [ ，+∞）B. [ -2，+∞）C. [ ，e）D. [ -2， ]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知双曲线 x2- =1 的焦点到渐近线的距离为 1，则双曲线的离心率为______．14. 在△ABC 中，sinA= sinB，c= b，则 sinB=______． 15. 已知函数 f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若曲线 f（x）在 x=1 处的切线恰好平分圆 C：x2+y2-4y=0 的周长，则实数 a 的值为______． 16. 已知一个底面半径为 r，高为 h 的圆锥内有一个棱长为 a 的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，若 r= h，则 =______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”．面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考，为了 解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取 20 名学生进行 一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分 100 分）绘制了如图茎叶图，记 成绩不低于 70 分者为“成绩优良”． （1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率； （2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由．第 2 页，共 12 页18. 已知各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2=2，S4=5S2． （I）求数列{an}的通项公式； （2）求使得 8Sn-15an＞0 成立的最小正整数 n．19. 在如图所示的多面体中，平面 ABED 垂直于以 AB 为 直径的半圆面，C 为 上一点，AB∥DE，AD⊥AB， AB=AD=DE=2． （1）若点 F 是线段 BC 的中点，求证：EF∥平面 ACD； （2）若点 C 为 的中点，求点 E 到平面 BCD 的距 离．20. 已知函数 f（x）=asinx-lnx（a∈R），其导函数为 f'（x）． （1）若不等式 f（x）≥1- 在区间（0， ]上恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 a=2 时，证明：f'（x）在区间（0， ）上有且只有两个零点．21. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的短轴长为 2，直线 x=1 被椭圆截得的线段长为 ， O 为坐标原点． （1）求椭圆 C 的方程；第 3 页，共 12 页（2）是否存在过点 M（1，0）且斜率为 k（k≠0）的直线 l，与椭圆交于 P、Q 两点 时，作线段 PQ 的垂直平分线分别交 x 轴、y 轴于 C、D，垂足为 N，使得△ODC 与 △CMN 的面积相等，若存在，试求出直线 1 的方程，若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y2-4 xcosθ-4ysinθ+7cos2θ-8=0，（θ∈R，θ 是参數）．以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐标方 程为 2ρcos（α+ ）=m． （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1 的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1 和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值．23 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1． （1）证明：ab+bc+ca≤ ； （2）若不等式 + + ≥t 恒成立，求 t 的最大值．2020 年江西省赣州市高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）答案和解析【答案】1. B2. D3. C4. A5. D6. C7. D8. D9. A10. C 11. B 12. A13.14. ．15. -316.第 4 页，共 12 页17. 解：（1）从茎叶图中，可得甲班学生成绩不低于 70 分的人数共有 10 人，乙班学生成绩不低于 70 分的人数共有 16 人，且成绩不低于 70 分者为成绩优良；∴甲班“成绩优良”的概率为： =0.5；乙班“成绩优良”的概率为： =0.8．（2）乙班教学效果更佳， 理由 1、乙班大多在 70 以上，甲班 70 分以下的明显更多； 理由 2、甲班样本数学成绩的平均分为：70.2；乙班样本数学成绩前十的平均分为：79.05．理由 3、甲班样本数学成绩的中位数为： =70，乙班样本成绩的中位数 =77.5．18. 解：（1）设公比为 q，则 q＞0；∵S4=5S2．∴q≠1；∴=⇒q4-4q2+5=0⇒q2=4 （q2=1 舍）；∴q=2 （-2 舍） ∴an=a2×2n-2=2n-1； （2）由（1）得：Sn=2n-1； ∴8Sn-15an=8（2n-1）-15•2n-1=2n-1-8； 2n-1-8=0⇒n=4； 1≤n≤3 时，2n-1-8＜0，此时 8Sn＜15an； n=4 时，2n-1-8=0，此时 8Sn=15an； n≥5 时，2n-1-8＞0，此时 8Sn＞15an； ∴使得 8Sn-15an＞0 成立的最小正整数 n 为 5．19. （1）证明：取 AC 的中点 G，连接 DG，FG，则 FG∥AB，且 FG= AB，又 DE∥AB，且 DE= AB，∴DE∥FG 且 DE=FG，则四边形 DEFG 为平行四边形，∴DG∥EF． 又 DG⊂平面 ACD，EF⊄平面 ACD， ∴EF∥平面 ACD； （2）解：由题意，平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩ 平面 ABC=AB， DA⊥AB，DA⊂平面 ABED，∴DA⊥平面 ABC，得 DA⊥BC， 又 AC⊥BC，DA∩AC=A，∴BC⊥平面 ADC．∵点 C 为 的中点，∴AC=BC．又 AC⊥BC，且 AB=4，∴AC=BC= ．此时．∴．设点 E 到平面 BCD 的距离为 d，则，解得 d= ．第 5 页，共 12 页20. 解：（1），由题意可得，f（x）≥1- 在区间（0， ]上恒成立，即a在（0， ]上恒成立，由于 y=cosx 在（0， ]上单调递减，，故 a≥2，（2）证明：当 a=2 时，=，令 h（x）=2xcosx-1，则 h′（x）=2（cosx-xsinx），令 t（x）=cosx-xsinx，则 t′（x）=-2xsinx-xcosx＜0，（0），所以 t（x）在（0， ）上单调递减，且 t（1）=1＞0，t（ ）=-，故存在，使得 t（x0）=0，当 x∈（0，x0）时，t（x）＞0 即 h′（x）＞0，h（x）单调递增，当 x（x）＜0，h（x）单调递减，又 h（0）=-1，h（ ）=＜0，时，h′所以 h（x）在（0， ），（）上各有一个零点，从而 f′（x）在（0， ）上有且仅有 2 个零点．21. 解：（1）由题意可知，b=1，且，得 a=2．故所求椭圆方程为；（2）假设存在满足条件的直线，不妨设过 M 的直线为 y=k（x-1）．联立，消去 y 得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0．设线段 PQ 的中点 N（xN，yN），P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，代入 y=k（x-1），得 N 的纵坐标为，即 N（ ， ），∴直线 PQ 的垂直平分线方程为：y+ =．令 x=0，得 D（0， ∴△ODC 的面积），令 y=0，得 C（，0）， ．△CMN 的面积=．第 6 页，共 12 页∵△ODC 与△CMN 的面积相等且 k≠0，∴，解得 k= ．∴直线 l 的方程为：．22. 解：（1）动圆 C：x2+y2-4 xcosθ-4ysinθ+7cos2θ-8=0，（θ∈R，θ 是参數）．设动员圆心的坐标为（x，y），则，消去参数得到．直线 1 的极坐标方程为 2ρcos（α+ ）=m．转换为直角坐标方程为（2）设 M 和 N 分别 C1 和 1 上的动点，设 M（），所以 MN 的最小距离 d==由于 d 的最小值不为 0，所以当时，，则，解得 m=2．． ，当m时，，则，解得 m=-2（故：．23. （1）证明：由 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当 a=b=c 取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有 3（ab+bc+ca）≤1，即 ab+bc+ca≤ ；）．（2）解： + + +a+b+c= +b+ +c+ +a≥2a+2b+2c，故 + + ≥a+b+c=1，当且仅当 a=b=c= 取得等号）．不等式 + + ≥t 恒成立，所以 t 的最大值为 1．【解析】1. 解：∵集合 A={x∈R|x2≥2}={x|x或 x }，集合 B={-2，-1，0，1，2}．∴CRA={x|-}，∴（∁RA）∩B={-1，0，1}，∴（∁RA）∩B 中的元素个数为 3．故选：B．求出集合 A，集合 B，从而得到 CRA，进而求出（∁RA）∩B，由此能求出（∁RA）∩B 中的元素个数．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：∵z= =，∴复数 z= 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（-1，-2）． 故选：D．第 7 页，共 12 页利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标关于 y 轴的对称点得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：y= 在定义域内不单调，不符合题意；y=ln|x|为偶函数，不符合题意； y=ex-e-x 为奇函数且在定义域 R 上单调递增，符合题意； y= 为非奇非偶函数，不符合题意． 故选：C． 由已知结合函数奇偶性及单调性的定义对选项进行检验即可判断． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4. 解：因为 S12==6（a6+a7）=36．又 a6=2，则 a7=4． 故选：A． 由已知结合等差数列的求和公式及性质即可直接求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的简单应用，属于基础试题．5. 解：由 α 的终边过点 P（sin132°，cos132°），即 x=sin132°＞0，y=cos132°＜0；tanα= ===-tan42°=tan（-42°），则 tan（α+12°）=tan（-42°+12°）=-tan30°=- ．故选：D． 根据三角函数的定义和诱导公式，计算即可． 本题考查了三角函数的定义和诱导公式应用问题，是基础题．6. 解： ， 均为单位向量，| -2 |=|2 + |⇔1-4 • +4=4+1+4 • ．⇔ • =0．∴ ⊥ 是| -2 |=|2 + |的充要条件．故选：C．， 均为单位向量，利用数量积运算性质化简：| -2 |=2 + |，即可得出．本题考查了平面向量、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题．7. 解：从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次， 基本事件总数 n=5×5=25， 两次取出的数字中至少有一个是奇数包含的基本事件个数 m=25-2×2=21，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率 p=．故选：D． 利用乘法原理可得基本事件总数 n，两次取出的数字中至少有一个是奇数包含的基本事 件个数 m=25-2×2，由此能求出两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．第 8 页，共 12 页8. 解：设 y=4 与抛物线的准线 x=- ，交于 N 点，由|QF|=2|PQ|． 及抛物线的性质可得|QF|=|QN|，所以可得 P 为 QN 的中点，所以 Q（ ，4），由 Q 在抛物线上，所以 42=p ，解得 p=8，故选：D． 设直线 y-4 与抛物线的准线交于 N，由|QF|=2|PQ|及抛 物线的性质可得|QF|=|QN|，所以可得 P 为 QN 的中点， 所以 Q 的坐标，由于 Q 在抛物线上，代入抛物线的 方程可得 p 的值． 本题考查抛物线的性质，属于中档题．9. 解：画出不等式组所表示的平面区域， 如图所示： 直线 y=kx+k+1 是过定点 M（-1，1）的直线，由，解得 A（1，2），当直线过点 A 时，k= ；由，解得 B（3，0），当直线过点 B 时，k=- ；由图形知，实数 k 的取值范围是[- ， ]．故选：A．画出不等式组所表示的平面区域，利用数形结合法求出最优解的坐标，计算对应 k 的值，从而写出 k 的取值范围．本题考查了线性规划与数形结合的应用问题，是基础题．10. 解：a=3，i=1，a 为奇数，a=10，i=2，a 为偶数，a=5，i=3，a 为奇数，a=16，i=4，a 为偶数，a=8，i=5，a 为偶数，a=4，i=6，a 为偶数，a=2，i=7，a 为偶数，a=1，i=8，跳出循环，故选：C．根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，属于基础题．11. 解：函数 y= sin2x 的图象与函数 y=3cos2x 的交点为（x，y），令，故 tan2x= ，第 9 页，共 12 页解得 2x=，所以 x=，即 A（ ），B（），C（ ），所以三角形的底边长为 π，高为．．故选：B． 直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的图象和性质的应用求出交点的坐标，进一 步利用三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数图象的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12. 解：如图，若 f（m）=f（n），即 （m+1）=e-n，所以 m=2e-n-1，由图可知 n≥1， 则 m+n=2e-n+n-1，其中 n≥1， 令 f（n）=2e-n+n-1，则 f′（n） =-2e-n+1=0，解得 n=ln2＜1， 所以 f（n）在（1，+∞）上单调地增，则 f（n）≥f（1）= ，所以 m+n 的取值范围是[ ，+∞）故选：A． 作出图象，根据条件可得 m=2e-n-1，构造函数 f（n）=2e-n+n-1，利用导数得到其单调性， 即可得到答案 本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和 极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13. 解：根据条件可得 a2=1，b2=m，则 c=，渐近线方程为 y=± x，故焦点到渐近线距离 d== =b=1，故 c= ，所以离心率 e= = ，故答案为： ． 求出双曲线的焦点到条渐近线的距离，可得 b=1，求出 c，即可求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等 于 b 是关键，属于基础题．14. 解：因为 sinA= sinB，由正弦定理可得，a= ，c= b，由余弦定理可得，cosB===，第 10 页，共 12 页故sin B=．故答案为：．由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理可求cos B，进而可求sin B．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．15. 解：圆C：即为x2+（y-2）2=4，故圆心为（0，2）．又f′（x）=3x2+2（a-1）x+a，∴f（1）=2a，f′（1）=3a+1．故切线方程：y-2a=（3a+1）（x-1）．将（0，2）代入得：a=-3．故答案为：-3．先利用导数求出f（x）在x=1处的切线方程，然后根据切线平分圆的周长，即切线过圆心，将圆心代入切线方程，即可解得a．本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，同时还考查了圆的弦的性质．属于基础题，注意计算须准确．16. 解：如图所示，过正方体的对角线的轴截面，AC=a，CC1=a，O1P=h，O1M=r．由AC∥A1C1，可得△POC∽△PO1M，可得：=，又r=h，代入解得：=，故答案为：．如图所示，过正方体的对角线的轴截面，根据AC∥A1C1，可得△POC∽△PO1M，利用相似三角形的性质即可得出．本题考查了圆锥的轴截面、相似三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. （1）求出成绩优良的个数，与总数相比即可求解；（2）乙教学效果更佳，根据与70分比较、平均分、中位数等即可判断出结论．本题考查了统计量的性质意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. （1）根据已知求出公比，进而求得通项公式；（2）求出8S n-15a n的表达式，通过对n的讨论即可求解．本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的通项公式，属于中档题．19. （1）取AC的中点G，连接DG，FG，可得FG∥AB，且FG=AB，结合已知可得四边形DEFG为平行四边形，得到DG∥EF，再由直线与平面平行的判定可得EF∥平面ACD；（2）由已知结合平面与平面垂直的性质得到DA⊥平面ABC，得DA⊥BC，结合AC⊥BC，可得BC⊥平面ADC，再由已知求得AC=BC=，然后利用等体积法求点E到平面BCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求空间中点到面的距离，是中档题．20. （1）由已知不等式分离参数可得，a在（0，]上恒成立，结合余弦函数的单调性可求；（2）先对函数求导，然后结合导数可研究函数的单调性，再结合零点判定定理可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，求解由不等式的恒成立求解参数范围问题及函数零点的判定，属于中档试题．21. （1）由题意求得b的值，进一步求得a，则椭圆方程；（2）假设存在满足条件的直线，不妨设过M的直线为y=k（x-1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得N的坐标，得到直线PQ的垂直平分线方程，分别求得D与C的坐标，写出△ODC的面积与△CMN的面积，再由△ODC 与△CMN的面积相等列式求得k值，则直线l的方程可求．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．22. （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，运用通过综合法求出不等式的最小值，即可求解t的最大值．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题．。

江西省赣州市2020届高三数学适应性考试（二模）试题 理一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知z 是复数, 21i iz +=+且(其中i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点的坐标为 ().3,1A - ()()()3,.3,113.1,B C D -----2.已知集合1{lg 0},|12xP x x Q x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩=⎭厖则 .{|1} . . .{|1}R AC Q x Q x B P C P R D P x x Q Q =>=∅=⋂⋃⋂=…3.从某班50名同学中选出5人参加户外活动,利用随机数表法抽取样本时,先将50名同学按01,02,……50进行编号,然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字,则选出的第5个个体的编号为(注:表为随机数表的第1行与第2行) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676 A.24B.36C.46D.474.已知函数()f x R 在上单调递减,且当x ∈[0,2]时()2,4,f x x x =-有则关于x 的不等式()30f x +<的解集为().,1A -∞ ()()().1,3 .1, .3,B C D +∞+∞5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的侧面积为.862A ±.66 2 .64 2 .3B C D ++6.若变量x,y 满足约束条件20-0220x y x y x y +⎧⎪≤⎨⎪-+⎩…… ,则3y z x =+的最大值为A.0B.14C.25D.17.2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年,也是全面打赢脱贫攻坚战之年.某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况,现派出甲、乙、丙3个调研组到A 、B 、C 、D 、E 等5个村去,每个村一个调研组,每个调研组至多去两个村,则甲调研组到A 村去的派法有 A.48种B.42种C.36种D.30种 8.将函数()()sin 0,06f x x A A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍,再向右平移个单位得到函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图象,则下列说法正确的是 A 函数()f x 的最小正周期为π B.函数()f x 的单调递增区间为()22,233Z k k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎦∈⎣c.函数()f x 的图象有一条对称轴为23x π= D.函数()f x 的图象有一个对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭9.已知函数()2,041,0xe xf x x x ⎧⎪=⎨+<⎪⎩…(e 为自然对数的底数),若关于x 的不等式()||f x a x <解集中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围为A. 22, .,522e e e B ⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦(](].,4 .,5C e D e10.已知点O 是边长为6的正方形ABCD 内的一点,且15,OBC OCB ︒=∠=∠则OA=A.5B.6C.7D.811.在中国,“女排精神”概括的是顽强战斗、勇敢拼搏精神。

江西省赣州市白石中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数A. B. C. D.参考答案：A略2. 已知复数（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a+i的模为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，∴=0，≠0，∴a=，则|a+i|===．故选：C．3. 已知实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，则的取值范围是（）A．[1，4] B．[，4] C．[1，] D．[，]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，解得A（，﹣）．k PA==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，由题意可得：，可得k=0或k=．，∈[0，]，1﹣∈[，1]．∴∈[1，]．故选：C．4. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB 与CD 相交 C ．AB⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°参考答案：D略5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（）参考答案：D略6. 已知函数的定义域为，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．参考答案：B略7. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：B8. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A． B． C． D．参考答案：D9.设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（）A． B． C． D．参考答案：答案：C10. 下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x2﹣2x+3 C．y=ln（x+1）D．y=2参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数和一次函数的性质，对A、B、C、D四个选项进行判断，从而求解．【解答】解：对于A，y=，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x=1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y=ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了对数函数、指数函数以及二次函数，一次函数的基本性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的零点个数为_____________.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】2 令f（x）=0，得到解得x=-1；和，令y=2-x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图函数y=2-x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f（x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；故答案为：2．【思路点拨】令f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在x-2+lnx=0时，转化为y=2-x与y=lnx的图象的交点个数判断．12. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．14. △ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为．参考答案：【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；HW ：三角函数的最值．【分析】由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB ﹣）2+，进而利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C 的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B ）]=2cosB+sin2[π﹣（+B ）]=2cosB+sin （﹣2B ）=2cosB ﹣cos2B=2cosB ﹣（2cos 2B ﹣1）=﹣2cos 2B+2cosB+1=﹣2（cosB ﹣）2+， ∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴当cosB=时，2cosB+sin2C 取得最大为． 故答案为：．15. 已知f （x ）=4x +1，g （x ）=4﹣x ．若偶函数h （x ）满足h （x ）=mf （x ）+ng （x ）（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m+n= ．参考答案：考点： 函数最值的应用；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数是偶函数，确定m=n ，利用基本不等式求最值，确定m 的值，即可得到结论． 解答： 解：由题意，h （x ）=mf （x ）+ng （x ）=m4x +m+n4﹣x ，h （﹣x ）=mf （﹣x ）+ng （﹣x ）=m4﹣x+m+n4x ，∵h（x ）为偶函数，∴h（x ）=h （﹣x ），∴m=n ∵h（x ）=m （4x +4﹣x ）+m ，4x +4﹣x ≥2∴h（x ）min =3m=1∴m=∴m+n=故答案为：点评： 本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．16. 18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式：___________________.参考答案：V+F-E=217. 15．若满足约束条件，则的最小值为．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

江西省赣州市2020年高三年级摸底考试理 科 数 学2020年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |x x －1＜0}，B ＝{x |x －2＜2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.z ∈C ，若|z |－z －＝1－2i ，则4＋3i z的值是 A.－2 B.－2i C.2 D.2i3.已知(x －a x)8展开式中的常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为 A.28 B.38 C.1或38 D.1或284.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项之和S 9等于A.66B.99C.144D.2975.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，△ABC 的三个顶点都在此抛物线上，且F A ＋FB ＋FC ＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |等于A.9B.6C.4D.36.已知a ，b 为空间两条异面直线，A 是直线a ，b 外一点，则经过A 点与两条异面直线a ，b 都相交的直线的可能情况为A.至多有一条B.至少有一条C.有且仅有一条D.有无数条7.已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，则g (x )＝f (x 2)的最大值为A.1B.3C.5D.98.有下列命题：①函数f (x )＝sin x ＋2sin x(x ∈(0，π))的最小值是22； ②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形；③如果正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＞c ，则a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c； ④如果y ＝f (x )是可导函数，则f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件. 其中正确的命题是A.①②③④B.①④C.②③④D.②③9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x ＋y ＋2x ＋3的最小值为 A.13 B.136 C.4 D.－2310.方程2sin θ＝cos θ在区间[0,2π)上解的个数是A.0个B.1个C.2个D.4个11.设函数f (x )＝∑10n ＝1|nx －1|≥m 恒成立(记∑ni ＝1a i ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )，则m 的取值范围是 A.(－∞，5] B.(－∞，256] C.(－∞，277] D.(－∞，318]12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足|P A|－|PB|＝2，|P A－PB|＝25，P A·PC |P A|＝PB·PC|PB|，I为PC上一点，且BI＝BA＋λ(AC|AC|＋AP|AP|)(λ＞0)，则BI·BA|BA|的值为A.1B.2C. 5D.5－1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.13.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，则P(ξ≥b)的值是(用a表示).14.已知集合{1，12，14，…，12n－1}，它的所有的三个元素的子集的所有元素之和是S n，则limn→∞2S nn2＝.15.已知棱长为26的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为.16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知△ABC 三个内角为A 、B 、C ，若cos A cos B cos C ＞0，且p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )是共线向量.(1)求∠A 的值；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.甲、乙两个人射击，甲射击一次中靶概率是p 1，乙射击一次中靶概率是p 2，已知1p 1、1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，若两人各射击5次，甲的方差是54. (1)求p 1、p 2的值；(2)两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？已知函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增. (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，求实数m 的取值范围.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心.(1)若M为GD的中点，求异面直线CG与MB所成角的大小；(2)若M为线段GD上的动点，求(AM＋BM＋CM)·MD的最大值.已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，记点P 的轨迹为S ，若直线l 过点F 2且与轨迹S 交于P 、Q 两点.(1)求轨迹S 的方程；(2)无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M (m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值；(3)过P 、Q 作直线x ＝12的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，设PM 交AB 于E ，QM 交AB 于F ，λ＝|AE |·|BF |.求证：当λ取最小值时，△PMQ 的面积为9.设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对数列{2n ln a n }，是否存在等差数列{c n }，使得c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2n ln a n 对一切正整数n ∈N *都成立？若存在，求出数列{c n }的通项公式，若不存在，说明理由.高三摸底数学(理科)答案 第页(共3页)赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案2020年3月1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.B8.C9.A 10.C 11.C 12.D13.12(1－a ) 14.2 15.12 16.5125617.解：(1)∵p ，q 共线，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，1分∴sin 2A ＝34.2分 ∵cos A cos B cos C ＞0，∴A 为锐角.3分∴sin A ＝32，∴A ＝π3.5分 (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B )－3B 26分 ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B 8分 ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1.10分 ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6).11分 ∴当2B －π6＝π2时，即B ＝π3时，y max ＝2.12分 18.解：(1)由题意可知ξ甲～B (5，p 1)，∴Dξ甲＝5p 1(1－p 1)＝541分 ⇒p 21－p 1＋14＝03分 ⇒p 1＝12.4分 又1p 1·1p 2＝6，∴p 2＝13.6分 (2)分两类情况：①共击中3次概率C 22(12)2(12)6·C 12(13)(23)＋C 1212·12·C 22(13)2＝16.9分 ②共击中4次概率C 22(12)2·C 22(13)2＝136.11分 所求概率为16＋136＝736.12分 19.解：(1)由函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x ＝1取得极小值.1分∴f ′(1)＝0，∴－1＋2＋2a －2＝0，3分∴a ＝12.4分 (2)由(1)知f (x )＝－14x 4＋23x 3＋12x 2－2x －2， ∴f ′(x )＝－x 3＋2x 2＋x －2.5分令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，x ＝2.6分∴函数f (x )有极大值f (－1)＝－512，f (2)＝－83，极小值f (1)＝－3712.8分 关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，令2|x |－1＝t (t ＞0)，即关于t 的方程f (t )＝m 在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分在t ∈(0，＋∞)上函数f (t )的图象与直线y ＝m 的图象在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，而f (t )的图象与f (x )的图象一致.11分又f (0)＝－2，由数形结合可知，－3712＜m ＜－83.12分 20.解：(1)延长CG 交AB 于N ，∵G 是△ABC 的重心，∴N 是AB 的中点.1分∵∠ACB ＝90°，∴CN ＝12AB ＝6，∴CG ＝23CN ＝4.2分 作ME ∥GC 交DC 于E ，∴∠EMB 是异面直线GC 与BM 所成的角或补角.3分∵M 是DG 的中点，ME ＝12GC ＝2， BE ＝EC 2＋BC 2＝(12DC )2＋62＝210.4分 过M 作MH ⊥GC 于H ，MH ⊥平面ABC ，∴MH ＝2，∴MB 2＝MH 2＋HB 2＝4＋4＋36－2·2·6·cos 60°＝32，∴cos ∠EMB ＝ME 2＋MB 2－BE 22ME ·MB ＝－28.5分 ∴异面直线GC 与BM 所成的角为arccos 28.6分 (2)AM ＋BM ＋CM ＝－(MA ＋MB ＋MC )，∵G 是△ABC 的重心，∴MA ＋MB ＋MC ＝3MG .7分∴(AM ＋BM ＋CM )·MD ＝－3MG ·MD .8分△DGC 是等腰直角三角形，DG ＝2CD ＝4 2.9分设MG ＝x ，则MD ＝42－x ，∴－3MG ·MD ＝－3|MG ||MD |cos 180°＝3·x ·(42－x )10分≤3(x ＋42－x 2)2＝24.11分 ∴(AM ＋BM ＋CM )·MD 的最大值是24.(当且仅当M 为GD 的中点时取得).12分(备注：以上各小题都可以通过建立空间直角坐标系求解，建议参照给分)21.解：(1)由|PF 1|－|PF 2|＝2＜|F 1F 2|知，点P 的轨迹S 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支.1分由c ＝2,2a ＝2，∴b 2＝3.2分故轨迹S 的方程为x 2－y 23＝1(x ≥1).4分 (2)当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)与双曲线方程联立消y 得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3≠0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3＞0，x 1·x 2＝4k 2＋3k 2－3＞0，解得k 2＞3.5分∵MP ·MQ ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋4k 2＝3－(4m ＋5)k 2k 2－3＋m 2.6分∵MP ⊥MQ ，∴MP ·MQ ＝0，故得3(1－m 2)＋k 2(m 2－4m －5)＝0对任意的k 2＞3恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2＝0，m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1.7分 当m ＝－1时，MP ⊥MQ ，当直线l 的斜率不存在时，由P (2,3)，Q (2，－3)及M (－1,0)知结论也成立. 综上，当m ＝－1时，MP ⊥MQ .8分(3)由(1)知，存在M (－1,0)使得MP ⊥MQ ，∴∠AEP ＝∠MEF ＝∠BQF ，∴△P AE ～△FBE ，∴|AP ||FB |＝|AE ||BQ |.9分 |AE |·|FB |＝|AP |·|BQ |＝|PF 2|e ·|QF 2|e ＝14|PF 2|·|OF 2|， |PF 2|＝ex 1－a ＝2x 1－1，|PF 2|＝ex 2－a ＝2x 2－1，∴|AE ||FB |＝14(2x 1－1)(2x 2－1)10分 ＝14[4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋1]＝x 1x 2－x 1＋x 22＋14＝4k 2＋3k 2－3－2k 2k 2－3＋14＝2k 2＋3k 2－3＋14＝94＋9k 2－3＞94. 当斜率不存在时|AE |·|AF |＝94，∴λ的最小值为94.11分 此时，|PQ |＝6，|MF |＝3，S △PMQ ＝12|MQ |·|PQ |＝9.12分 22.解：(1)由A n ＝32(a n －1)，A n ＋1＝32(a n ＋1－1)，1分 ∴a n ＋1＝32(a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n＝3，2分 且a 1＝A 1＝32(a 1－1)， 得a 1＝3.3分∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.4分通项公式为a n ＝3n .5分(2)∵2n ln a n ＝2n ln 3n ＝(n ln 3)·2n＝2n ln 3·2n －1＝2n ln 3(1＋1)n －16分＝2n ln 3(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)7分＝2n ln 3(n C 1－1n －1＋n C 2－1n －1＋n C 3－1n －1＋…＋n C n －1n －1)8分＝2n ln 3(C 1n ＋2C 2n ＋…＋k C k n ＋…n C n n )9分＝(2ln 3)C 1n ＋(2ln 3)·2C 2n ＋…＋(2ln 3)·k C k n ＋…＋(2ln 3)·n C n n .12分故存在等差数列{c n }，c n ＝(2ln 3)·n 对一切正整数n ∈N *，c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2n ln a n 都成立.14分。

2020年江西省赣州市麻州中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲，乙，丙，丁，戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”。

从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有 ( )种A 54B 48C 36D 72参考答案：A2. 已知，，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.【详解】，，，.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.3. 函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B因为函数在上为减函数，则有且，解得，选B.4. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．5. 设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如∥，，则∥；B．如，则；C．如，则；D．如∥，∥，，则∥．参考答案：D6. 若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7. 直线为参数），被圆截得的弦长为A、 B、 C、 D、参考答案：B略8. 定义区间（a，b），，的长度均为d=b﹣a．用表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣，其中x∈R．设f（x）={x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有( )A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】先化简f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?x﹣2＜x﹣1即（﹣1）x＜2﹣1当x∈=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈时，﹣1＞0，上式可化为x＜+1，∴x∈；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为，故d=1．故选：A．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题9. 不等式的解集是（）A. B . C.D.参考答案：C10. 己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为（x），满足（x）<f（x），且 f（x+2）为偶函数， f（4）=l，则不等式f（x）<e x的解集为A．（-2，+）B．（0．+）C．（1, ）D．（4,+）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，则的值为参考答案：略12. 以抛物线y2＝4x上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为＿＿＿＿参考答案：613. 从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为（用数字作答）．参考答案：14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是．参考答案：[2,+∞）15. 设定义在上的函数满足，若，则参考答案：略16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的外接球的表面积为．参考答案：17. 已知函数为（）的反函数，若，则参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年江西省赣州市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√1−2x}，B ={x|x 2−x ≤0}，则A ∩B =( )A. (0,12]B. [0,12]C. (12,1]D. [12,1]2. 复数z 满足z =2i1−i ，则复数z 的虚部为( )A. −1B. 1C. iD. −i3. 已知a =log 20200.9.b =20200.9，c =0.92020.则( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a4. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3+a 7的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A. S 7B. S 8C. S 9D. S 105. 函数f(x)=e x +1e x −1⋅cosx 的图象大致是( )A.B.C.D.6. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是( )A. 15B. 25C. 310D. 147. 数列1，1，2，3，5，8，13…称为斐波那契数列，是十三世纪意大利数学家列昂那多⋅斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，该数列前两项均为1.从第三项开始，每一项等于其前相邻两项之和．设计如图所示的程序框图，若输出的是“兔子数列“的第n 项(n ∈N 且n ≥3)，则图中(1)，(2)应分别填入( )A. b =a +b ，i >nB. b =a +c ，i >nC. b =a +b ，i ≥nD. b =a +c ，i ≥n8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于√6的面的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 关于x 的方程|lnx|−ax =0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e )B. (ln22,e)C. (0,ln22)D. (ln22,1e )10. 平面向量a ⃗ 、b ⃗ 满足b ⃗ ⋅(b ⃗ −a ⃗ )=3，|a ⃗ |=2，则|a ⃗ −b ⃗ |的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. M 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=l(a >0,b >0)右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线MF 2交y 轴于点N ，若△NF 1M 的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 312. 关于函数f(x)=sinx ⋅|sin x2|有下述四个结论：①f(x)的图象关于点(π,0)对称；②f(x)的最大值为34；③f(x)在区间(−2π3,2π3)上单调递增；④f(x)是周期函数．其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x +a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a =______．14. 数列{a n }中a 1=2，a n+1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =62，则n = ． 15. 设中心在原点的椭圆C 的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 是C 上一点，若使△PF 1F 2为直角三角形的点P 恰有6个，且这6个直角三角形中面积的最小值为√2，则C 的方程为______．16. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC =90°.若PA =PD ，PC =PB ，且△PBC 的面积为√BC ，则四棱锥的体积的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，2sin 2A2−sin A2=sin A ．(I)求sinA 的值；(2)若AB +AC =4，△ABC 的面积为32，求边BC 的长．18. 在五面体ABCDEF 中，BC ⊥AB ，∠DAE =∠AEF =90°．(1)证明：平面ABE ⊥平面ABCD ；(2)若AD =BC =CD ，△ABE 是等腰直角三角形，∠AEB =90°，求直线CE 与平面AEFD 所成角的正切值．19. 设点F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，M 、N 是C 上两点．若|MF|+|NF|=4，且线段MN 的中点到x 轴的距离等于1． (1)求p 的值；(2)设直线1与C 交于A 、B 两点且在y 轴的截距为负，过F 作l 的垂线，垂足为P ，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5． (i)证明：直线1恒过定点，并求出该定点的坐标； (ii)求点P 的轨迹方程．20. 春节期间爆发的新型冠状病毒(COVID −19)是新中国成立以来感染人数最多的一次疫情，一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒、可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是0.6和0.4，丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是0.2、0.4和0.4.在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X．(1)求X的分布列和数学期望；(2)该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各区必须每天及时上报新增疑似病例人数，A区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为3，中位数4”，B区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为2，总体方差为3“.设A区和B区连续7天上报新增疑似病例人数分别为x1，x2，……，x7和y1，y2，……，y7，x i和y i(1≤i≤7,i∈N)分别表示A区和B区第i天上报新增疑似病例人数(x i和y i均为非负).记M=max{x1,x2,……,x7}，N=max{y1,y2,……,y7}.①试比较M和N的大小；②求M和N中较小的那个字母所对应的7个数有多少组？21.已知函数f(x)=ae x+0.5+(14−a)x，直线y=14x+9是曲线y=f(x)的一条切线．(1)求a的值；(2)证明：不等式f(x)≥8x3−8x2+5在(−∞,2]上恒成立．22.在平面直角坐标系xOy中，动圆C：x2+y2−4√2xcosθ−4ysinθ+7cos2θ−8=0，(θ∈R,θ是参數).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线1的极坐)=m．标方程为2ρcos(α+π3(1)求动圆C的圆心的轨迹C1的方程及直线1的直角坐标方程；(2)设M和N分别C1和1上的动点，若|MN|的最小值为1，求m的值．23.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．(1)证明：ab+bc+ca≤13；(2)若不等式a2b +b2c+c2a≥t恒成立，求t的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|y=√1−2x}={x|x≤12}，B={x|x2−x≤0}={x|0≤x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤12}=[0,12].故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i(1+i)2=−1+i，∴z=−1−i，则复数z的虚部为−1．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，指数函数的性质，比较大小，属于基础题．根据题意，推出a，b，c的范围，从而得到它们之间的关系．【解答】解：a=log20200.9<log20201=0，b=20200.9>1，c=0.92020∈(0,1)，∴a<c<b，故选：A．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a3+a7的值为一个确定的常数，a3+ a7=2a5，∴a5是一个常数．∴S9=9(a1+a9)2=9a5，为常数，故选：C．由题意利用等差数列的性质，得出结论．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=e x+1e x−1⋅cosx，可知：f(−x)=e−x+1e−x−1⋅cosx=−e x+1e x−1⋅cosx=−f(x)，函数是奇函数．排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)>0，排除D，故选：C．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=4×5=20，利用分步计数原理求出其和等于9包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于9的概率【解答】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数n=4×5=20，其和等于9包含的基本事件有：(7,2)，(3,6)，(5,4)，(1,8)，共4个，∴其和等于9的概率p=420=15．故选：A．7.【答案】D【解析】解：要想计算第n项，因此i≥n，因为要输出结果为b，则b=a+c，故选：D．根据题意输出第n项，以及每一项是前2项和，可以判断．本题考查程序框图，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：S△PAB=12×2×2=2，S△PAD=S△PCB=12×2×√5=√5，S△PCD=12×2×2√2=2√2，该几何体的各个面中，面积小于√6的个数是3个．故选：C．9.【答案】D【解析】解：关于x的方程|lnx|−ax=0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，即|lnx|=ax在区间(0,4)上有三个不相等的实根，也就是函数y=|lnx|与y=ax在区间(0,4)上有三个不同的交点，当a≤0时，显然不满足题意；当a>0时，设直线y=ax与y=lnx(x>1)的切点为(x0,lnx0)，切线方程为y−lnx0=1x(x−x0)，代入O(0,0)，可得−lnx0=−1，即x0=e，则lnx0=1，此时a=1e．再由4a>ln4，可得a>12ln2．∴关于x的方程|lnx|−ax=0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是(ln2 2,1 e ).故选：D．由题意画出图形，可知当a≤0时，显然不满足题意；当a>0时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合x=4时直线在曲线上方求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．10.【答案】C【解析】解：平面向量a⃗、b⃗ 满足b⃗ ⋅(b⃗ −a⃗ )=3，|a⃗|=2，所以b⃗ 2−b⃗ ⋅a⃗=3，所以a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2−3；又a⃗⋅b⃗ ≥|a⃗|×|b⃗ |cosπ=−2|b⃗ |，所以−2|b⃗ |≤|b⃗ |2−3，解得|b⃗ |≥1，所以(a⃗−b⃗ )2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4−2(b⃗ 2−3)+b⃗ 2=10−b⃗ 2≤9，所以|a⃗−b⃗ |的最大值是3．故选：C．根据平面向量的数量积列不等式求出|b⃗ |≥1，再求|a⃗−b⃗ |的最大值．本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，也考查了利用不等式求最值的问题，是中档题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线x 2a2−y 2b 2=l(a >0,b >0)，△NF 1M 的内切圆半径为b ， ∵MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴MF 1⊥MF 2，Rt △NF 1M 内切圆的半径为b ，由等面积法可得： ∴|MF 1|+|MN|−|NF 1|=2b ， ∴|MF 2|+2a +|MN|−|NF 1|=2b ， ∴|NF 2|−|NF 1|=2b −2a ，∵由图形的对称性知：|NF 2|=|NF 1|，即2b −2a =0，得a =b ，即双曲线为等轴双曲线，其离心率为√2． 故选：A ．由题意画出图形，可得△NF 1M 为直角三角形，再由其内切圆的半径为b ，利用等面积法可得|MF 1|+|MN|−|NF 1|=2b ，结合双曲线定义整理得到|NF 2|−|NF 1|=2b −2a ，由图形的对称性知：|NF 2|=|NF 1|，即2b −2a =0，则a =b ，即双曲线为等轴双曲线，离心率可求．本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形中等面积法的应用，是中档题．12.【答案】B【解析】解：①f(2π−x)=sin(−x)|sin x2|=−f(x)，故f(x)的图象关于点(π,0)对称． 所以①正确．②因为f(−x)=sin(−x)|sin x2|=−f(x)，故该函数为奇函数， 不妨设0≤x ≤4π，则f(x)=2sin 2x2cos x2=2(1−cos 2x2)cos x2， 令t =cos x2∈[−1,1]，则f(t)=2(t −t 3)， 则有f′(t)=2−6t 2，则所以f(t)的单调减区间为(−1,−√33)，函数f(t)的单调增区间为(−√33,√33)，函数的单调减区间为(√33,1)，又函数的最大值为f(√33)=4√39，所以最大值不为34.②不正确．③当x ∈(0,2π3)时，t =cos x2∈(12,1)，由②知，f(t)在该区间内有增有减，故不单调．③不正确 ④f(x +2π)=sin(x +2π)|sinx+2π2|=sinx ⋅|−sin x2|=f(x)，故该函数为周期函数．④正确． 故选：B ．直接利用三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得x 7的系数，再根据x 7的系数为15，求得a 的值． 【解答】解：(x +a)10的展开式的通项公式为T r+1=C 10r ⋅x 10−r ⋅a r ，令10−r =7，求得r =3，可得x 7的系数为a 3⋅C 103=120a 3=15，则a 3=18，∴a =12，故答案为12．14.【答案】5【解析】 【分析】本题考查等比数列的项数n 的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，是基础题．推导出{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列的前n项和公式能求出项数n的值．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，∴{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∵S n为{a n}的前n项和，S n=62，∴S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2=62，解得n=5．故答案为：5．15.【答案】x24+y22=1【解析】【分析】由△PF1F2为直角三角形的点P恰有6个得椭圆上以P为直角的三角形有两个，即为上下顶点，所以b=c；数形结合得6个直角三角形中面积最小的是以F1或F2为直角顶点的三角形，进而求出a，b．本题考查了椭圆的简单几何性质，数形结合的思想方法，是基础题．【解答】解：∵以F1为直角的三角形有两个，以F2为直角的三角形有两个，又因为△PF1F2为直角三角形的点P恰有6个，∴以P为直角的三角形有两个，则P为上下顶点，故b=c，显然6个直角三角形中面积最小的是以F1或F2为直角顶点的三角形，即S=12⋅b2a⋅2c=√2．则a=2，b=√2∴C的方程为：x24+y22=1．故答案为：x24+y22=1．16.【答案】23【解析】解：如右图所示：分别取BC与AD的中点E，F，连EF，PE，PF．∵PC=PB，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，∴PE⊥BC，EF⊥BC，又∵PE∩EF=E，∴BC⊥平面PEF．在△PEF中作PH⊥EF于点H，则易知PH⊥平面ABCD．又PA=PD，∴PF⊥AD．若点H与点F不重合，则有EF⊥AD，这与已知底面ABCD是直角梯形矛盾，所以点H与点F重合，即PF⊥平面ABCD．故V四棱锥P−ABCD =13×S四边形ABCD×|PF|=13×12(|AB|+|CD|)×|BC|×|PF|=13|EF|×|BC|×|PF|=|BC|3×|EF|⋅|PF|，又S△PBC=12|BC|⋅|PE|=√|BC|，∴|PE|2=4|BC|.又∵在RT△PEF中有|EF|2+|PF|2=|PE|2，∴V四棱锥P−ABCD =|BC|3×|EF|⋅|PF|≤|BC|3×12(|EF|2+|PF|2)=|BC|6×4|BC|=23(当且仅当|EF|=|PF|时取“=”)，∴(V四棱锥P−ABCD )max=23．故填：23．先由题设条件⇒BC⊥平面PEF，再得出PF⊥平面ABCD，从而得到V四棱锥P−ABCD|=|BC|3×|EF|⋅|PF|，再由基本不等式求出最大值．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．17.【答案】解：(1)由已知可得2sin A2cos A2+sin A2=2sin2A2，因为sin12A≠0，所以sin12A−cos12A=12，两边平方可得sinA=34，(2)由以sin12A−cos12A>0可得tan12A>1，从而A>90°，于是cosA=−√74，因为△ABC的面积为32，所以AB⋅AC=4，由余弦定理可得，BC=√(AB+AC)2−2AB⋅AC(1+cosA)=1+√7．【解析】(1)由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简可求sinA，(2)由已知可求cosA，然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求．本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及余弦定理在求三角形中的应用．18.【答案】(1)证明：∵∠DAE=∠AEF=90°，且A、D、E、F四点共面，∴AD//EF．又AD⊄平面BCFE，EF⊂平面BCFE，∴AD//平面BCFE，而平面ABCD∩平面BCFE=BC，∴AD//BC．∵BC⊥AB，∴AD⊥AB，又AD⊥AE，且AB∩AE=A，∴AD⊥平面ABE，而AD⊂平面ABCD，故平面ABE⊥平面ABCD；(2)解：由AD=BC=CD，AD//BC，BC⊥AB，可知ABCD是正方形．由AD//EF，AD⊥平面ABE，得EF⊥平面ABE，又∵∠AEB=90°，∴平面BCFE⊥平面ADFE，从而直线CE与平面AEFD所成角就是∠CEF．∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=√2BE，在Rt△CBE中，tan∠CEF=tan∠ECB=BEBC =√22．【解析】(1)由已知证明AD//EF，由直线与平面平行的判定可得AD//平面BCFE，再由面面平行的性质得到AD//BC，结合BC⊥AB，得到AD⊥AB，再由AD⊥AE，利用线面垂直的判定可得AD⊥平面ABE，从而得到平面ABE⊥平面ABCD；(2)由题意可得ABCD是正方形，进一步得到EF⊥平面ABE，从而得到平面BCFE⊥平面ADFE，可知直线CE与平面AEFD所成角就是∠CEF，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面角的求法，证明直线CE 与平面AEFD 所成角就是∠CEF 是解答该题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)过点M 和N 分别作y 轴的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|=|MF|−p2，|NN 1|=|NF|−p2，依题意知|MM 1|=|NN 1|=2，即|MF|+|NF|−p =2， 于是，把|MF|+|NF|=4代入得p =2，(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m(m <0)，代入椭圆方程得：x 2−4kx −4m =0， 由△>0得：k 2+m >0 (∗)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2=−4m ， 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5得：x 1x 2+y 1y 2=5，即x 1x 2+(x 1x 24)2=5，把x 1x 2=−4m 代入得m 2−4m −5=0， 解得m =−1或m =5(舍去)，(i)所以直线l 的方程为y =kx −1，恒过定点Q(0,−1)，(ii)由∠FPQ =90°知点P 在以FQ 为直径的圆上，该圆的方程为x 2+y 2=1， 根据(∗)得k 2>1，从而取圆在x 轴的上方部分， 又直线l 的斜率存在，因此应剔除与y 轴的交点， 故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (y >0且y ≠1)；【解析】(1)由抛物线的定义和梯形中位线定理即可求出p 的值；(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +m(m <0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入x 1x 2+y 1y 2=5，即可求出m 的值，从而得到直线l 过的定点坐标，由∠FPQ =90°知点P 在以FQ 为直径的圆上，该圆的方程为x 2+y 2=1，取圆在x 轴的上方部分应剔除与y 轴的交点，故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (y >0且y ≠1)； 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.【答案】解：(1)记事件C ：“丙受甲感染”，事件D ：“丁受甲感染”，则P(C)=0.6，P(D)=0.2， X 的取值为1，2，3，P(X =1)=P(C −D −)=0.4×0.8=0.32，P(X =2)=P(CD −)+P(C −D)=0.6×0.8+0.4×0.2=0.56， P(X =3)=P(CD)=0.6×0.2=0.12， ∴X 的分布列为：EX =1×0.32+2×0.56+3×0.12=1.8．(2)(i)对于B 区，由(y 1−2)2+(y 2−2)2+(y 3−2)2+(y 4−2)2+(y 5−2)2+(y 6−2)2+(y 7−2)2=21，知(y i −1)2≤21，(i =1,2,…,7)，∵y i 是非负整数，∴|y i −2|≤4，∴y i ≤6，∴N ≤6，当y 1，y 2，y 3，…，y 7中有一个取6，有一个取2，其余取1时，N =6， 对于A 区，当x 1=x 2=x 3=0时，x 4=x 5=x 6=4， x 7=9时，满足“总体均值为3，中位数为4”，此时m =9， ∴N <M ．(ii)当N =6时，y 1，y 2，…，y 7只有两种情况， ①有一个是6，有五个是1或3，有一个是2，②有一个是6，有一个是1或3，有一个是0或4，其余是2，对于①，共有C 71C 65×25=1344组， 对于②，共有C 71C 61C 51×22=840组，故共有：1344+840=2184组．【解析】(1)记事件C ：“丙受甲感染”，事件D ：“丁受甲感染”，则P(C)=0.6，P(D)=0.2，X 的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ． (2)(i)对于B 区，由(y 1−2)2+(y 2−2)2+(y 3−2)2+(y 4−2)2+(y 5−2)2+(y 6−2)2+(y 7−2)2=21，知(y i −1)2≤21，(i =1,2,…,7)，从而求出N ≤6，当y 1，y 2，y 3，…，y 7中有一个取6，有一个取2，其余取1时，N =6，对于A 区，当x 1=x 2=x 3=0时，x 4=x 5=x 6=4，x 7=9时，满足“总体均值为3，中位数为4”，由此能求出N <M ． (ii)当N =6时，y 1，y 2，…，y 7只有两种情况，①有一个是6，有五个是1或3，有一个是2，②有一个是6，有一个是1或3，有一个是0或4，其余是2，由此能求出结果． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设直线y=14x+9切曲线y=f(x)的于点(x0,y0)，f′(x)=ae x+0.5+14−a，所以{14=14−a+ae12+x014x0+9=(14−a)x0+ae12+x0，解可得，a=6，x0=−12，证明：(2)由(1)得f(x)=6e x+0.5+8x，先证f(x)≥14x+9，x≤2，设g(x)=6e x+0.5−6x−9，则g′(x)=6(e x+12−1)，当x<−0.5时，g′(x)<0，函数单调递减，当2≥x>−0.5时，g′(x)>0，函数单调递增，所以g(x)≥g(−0.5)=0即f(x)≥14x+9，再证8x3−8x2+5≤14x+9，x≤2，令ℎ(x)=8x3−8x2−14x−4，x≤2，则ℎ′(x)=2(2x+1)(x−7)，当x<−0.5时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当−0.5<x≤2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，故ℎ(x)≤ℎ(−12)=0，即8x3−8x2+5≤14x+9，综上式f(x)≥8x3−8x2+5在(−∞,2]上恒成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；(2)先证f(x)≥14x+9，再证8x3−8x2+5≤14x+9，结合已知不等式的性质可进行构造函数，然后求导，结合导数及单调性的关系分析函数的性质即可．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，属于中档试题．22.【答案】解：(1)动圆C：x2+y2−4√2xcosθ−4ysinθ+7cos2θ−8=0，(θ∈R,θ是参數)．设动员圆心的坐标为(x,y)，则{x =2√2cosθy =2sinθ，消去参数得到x 28+y 24=1．直线1的极坐标方程为2ρcos(α+π3)=m.转换为直角坐标方程为x −√3y −m =0． (2)设M 和N 分别C 1和1上的动点，设M(2√2cosθ,2sinθ)，所以MN 的最小距离d =√2cosθ−2√3sinθ−m|√12+(√3)2=|2√5cos(θ+α)−m|2， 由于d 的最小值不为0， 所以当m >2√5时，d min =m−2√52，则m−2√52=1，解得m =2√5+2． 当m <−2√5时，d min =−2√5+m 2，则−m+2√52=1，解得m =−2(√5+1).故：m =±2(√5+1)．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】(1)证明：由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，可得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，(当且仅当a =b =c 取得等号) 由题设可得(a +b +c)2=1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1， 即有3(ab +bc +ca)≤1， 即ab +bc +ca ≤13； (2)解：a 2b+b 2c+c 2a+a +b +c =a 2b+b +b 2c+c +c 2a+a ≥2a +2b +2c ，故a 2b+b 2c +c 2a ≥a +b +c =1，当且仅当a =b =c =13取得等号)． 不等式a 2b+b 2c+c 2a≥t 恒成立，所以t 的最大值为1．【解析】(1)a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证； (2)a 2b+b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，c 2a +a ≥2c ，运用通过综合法求出不等式的最小值，即可求解t 的最大值．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题．。

2020年江西省赣州市留车中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.35 B. 0.15 C .0.20 D. 0.25参考答案：D2. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m∥α，∥β，则α∥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥α，m⊥β，则α⊥β参考答案：D略3. 已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c= ，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意利用余弦函数的值域和单调性，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：实数a=cos224°﹣sin224°=cos48°，b=1﹣2sin225°=cos50°，c==tan46°＞1，再根据余弦函数y=cosx在（0°，90°）上单调递减，且它的值域为（0，1），可得c＞a＞b，故选：B．4. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D5. 已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A. 0B.C. 0或D. 以上都不对参考答案：B【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．6. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 已知全集U=R，集合,则A. (－∞,－1)∪(1,+∞)B. (－∞,－1]∪[1,+∞)C. (－1,1)D.[－1,1]参考答案：A【分析】由题意首先求得集合A，然后进行补集运算即可.【详解】＝，所以，，表示为区间形式即.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为（）A．5 B．3 C．6 D．4参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由，解得C （1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得y=﹣x+．由图可知，当直线y=﹣x+过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大． 此时z max =1+4×1=5． 故选：A ． 9. 若，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：A10. 已知U ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，，则＝ ( )参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为参考答案：∵双曲线的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±),∴所求椭圆的顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±).∴在椭圆中,a=4,c=.∴b 2=4.∴椭圆的方程为.12. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值S 的取值范围是 ．参考答案：[0,1] 由题得所以当x ∈[0,1]时，S=1； 当x ∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：13. 已知M 是抛物线：（p>0） 上的动点，过M 分别作y 轴与4x-3Y+5=0的垂线，垂足分别为A 、B ，若的最小值为，则p=___________．参考答案： 5 略14. 一个多面体中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度分别为，则这条棱的长为____ _。