华杯赛比例与分数(循环小数)

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛部分复赛部分决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛试题与解答（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。

但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。

[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。

光速=30万千米／秒=1800万千米／分，距离=1亿5千万千米=15000万千米，时间=距离÷速度=15000÷1800[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．光速=30万千米／秒，距离=15000万千米，时间=15000÷30=500（秒），答：光从太阳到地球约需8.3分钟。

（2）计算[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。

同学们可以比较一下后面的两种解法。

[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。

30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。

原式通分，有〔解法2〕[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。

这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。

问：其中最轻的箱子重多少公斤？[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：83=中+小，85=大+小，86=大+中．这样分析后，便很容易想到简单的解法。

[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×答：最轻的箱子重41公斤。

有史以来最全的华杯赛解析（介绍、分析、建议、难度分析一网打尽）华杯赛介绍华杯赛，全称“全国华罗庚金杯少年数学邀请赛”，是1986年创办的全国性大型少年数学竞赛活动，至今已举办了21届。

全国已有近100个城市，3000多万名少年儿童参加了比赛，是目前全国最权威的小学数学比赛。

华杯赛的分组：华杯赛分为小学中、高年级组和初一、初二组，其中小中组参赛要求为不高于4年级，小高组参赛要求为不高于6年级。

（此文均为小高组内容）华杯赛的奖项分配：初赛的前30%进入决赛，获决赛个人一、二、三等奖比例为本市参加决赛人数的36%。

其中：一等奖为参加决赛人数的6%，二等奖为12%，三等奖为18%。

试题分析初赛决赛的试题分析我们通常参加的华杯赛分为初赛与决赛两个部分。

通过对近十年分真题的分析和研究我们会发现：虽然初、复赛的题量，分值都不尽相同，但其所考查的知识点基本没有太大变化，归结起来依然是：计算，计数，几何，应用题，行程问题，数论以及组合杂题这七大模块。

但是由于所针对的孩子程度不同，所以初赛和决赛在侧重点和难易程度上也有所不同。

下面我将为大家分别详细介绍初赛和复赛的题型以及考点。

初赛部分：初赛总共有10道题（6选择+4填空）都只需写答案，不需要过程。

每道题10分共100分，考试时间60分钟。

研究近四年的初赛真题，我们能得到近四年的初赛考点分布情况：再将这些考点进行简单的难易区分，由简到难依次是（后面括号数字代表其近四年题量）：计算（3），应用题（3），几何（6），行程（4），计数（6），数论（8），组合杂题（9）所以我们可以发现，从初赛起，华杯赛就对7大模块开始了全面的考察，而且在更考验思维能力、相对不容易的考点上更加侧重。

初赛主要的目的还是考察孩子们的奥数思维，起到一个“选优”的选拔作用。

决赛部分：到了决赛，题量会有所增加，共有14道题（8填空+4简答+2解答），其中选择题每道10分，简答题每道10分，解答题每道15分，总分150分，考试时间90分钟。

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题解答 少年二组一试一、填空题1. 小林做下面的计算: 37÷M , 其中M 是一个自然数, 要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数. 小林得到的结果是9.684469. 这个结果的整数位是正确的, 小数各位的数字也没错, 只是次序错了. 则正确的计算结果是 .【答案】.648649.9【解答】设36,37937≤+=m m M , 而279.036720.0720.0,720.0371 =⨯≤⨯=m , 所以 37M 是循环节为3的纯循环小数. 设)9990(999937<<+=A A M 0.684469 是7位小数四舍五入的结果, 因此是2个循环节, 它的最后一位是循环节的第3位小数加1. 所以, 正确值的排序是846.0 . 正确的结果是648649.9. 2. 小兔和小龟从A 地同时出发到森林游乐园, 小兔1分钟向前跳36米, 每跳3分钟就原地玩耍, 第1次玩耍0.5分钟, 第2次玩耍1分钟, 第3次玩耍1.5分钟, ⋯, 第k 次玩耍k 5.0分钟, 小龟途中从不休息和玩耍. 已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒, A 地到森林游乐园有2640米, 则小龟1分钟爬行 米.【答案】12米.【解答】小兔到达森林游乐园需要跳动3173362640=÷(分钟). 既然342433173+⨯=, 小兔在到达森林游乐园签在途中就要共玩耍15025125.0125.115.0=⨯⨯=++++ （分钟）.设小龟1分钟爬行m 米, 则可以列出方程：31326401503173=-+m . 解此方程, m ＝12（米）.3. n a a a a ,,,,321 是满足n a a a a <<<<< 3210的自然数, 且na a a a 11111413321++++= , 那么n 的最小值是 .【答案】4.【解答】因为3173146211413>==-, 111212317331211413>=-=--, 231111121211131211413=-=---, 所以n 的最小值<5.若2=n , 则1,111413>>+=q p q p , 31328,21413<<<q q . 所以, 2=q 并且1462114131=-=p , p 不是整数. 若3=n , 则1,1111413>>>++=r q p rq p , 41342,31413<<<r r . 所以, 2=r 或3=r . 如果2=r ,qq p q 273111<=+<, 43≤≤q . 不难验证, q 为3或4时, p 都不是整数. 如果3=r ,qq p q 24225111<=+<, 32≤≤q . 但是, q r <=3, 所以3≠r .综合上述讨论, n 的最小值是4.【注】将1413分成4个不同的自然数的倒数之和的分法不惟一, 另外还有 1234(,,,)(2,3,12,84);(2,3,14,42);(2,3,15,35);(2,4,6,84);(2,4,7,28).a a a a =二、解答题4. 长方形O 1O 2BA 的宽AO 1=1厘米, 分别以O 1与O 2为圆心, 1厘米为半径画圆1O 和圆2O , 交线段O 1O 2于点C 和D , 如图A-49所示. 则四边形ABCD 的面积等于多少平方厘米?【答案】1平方厘米.【解答】四边形ABCD 是个梯形, AB =O 1O 2是大底, CD 是小底.1212()11 2.AB CD O O CD O C O D CD CD CD CD +=+=+-+=+-+=所以12122)(1=⨯=⨯+=AO CD AB S ABCD （平方厘米）. 5. 如图A-50, 在直角三角形ABC 中, 90=∠ABC ,''//B A AB , ''//C B BC , ''//C A AC , 且三对平行线的距离都是1, 若10=AC , 8=AB , 6=BC , 求三角形'''C B A 上的点到三角形ABC 三边的距离和的最大值.【答案】'A .【解答】设A B C∆中的任意一点P 到边AC , AB , BC 的距离分别为 1h , 2h , 3h ,则2倍ABC ∆的面积 = 48 =BCh AB h AC h ⨯+⨯+⨯321=)()()(21321BC AB h BC AC h h h h BC -⨯+-⨯+++⨯.所以BC BC AB h BC AC h h h h )()(4821321-⨯--⨯-=++. 只有当P 点在'A 的位置时, 1h 和2h 都有最小值1. 所以当P 点在'''C B A ∆中时, 有76)62810(48321=⨯-+-≤++h h h . 6. n 张纸片, 每张都写有不大于n 的3个不同正整数, 任意2张纸片恰有一个数是相同的. 求纸片上所有写的数的和.【答案】84.【解答】设a 是出现最多的数字. 一共有k 张, 则这k 张纸片一共写有2k+1个不同的数字, 因为每个数都不大于n , 所以n k ≤+12. 因此, n k <, 所以, 至少还有一张纸片没写上a. 这张没写a 的纸片与前面k 张纸片中任一张纸片都恰有一个数相同, 这些数字彼此不同, 而且这个数不是a . 但是这张纸片上只有三个不同的数字, 所以, k =3. 因此, 712=+≥k n . 另外, n 张纸片写有3n 个数, 同一个数最多写3次, 所以, n ,,2,1 每个数都写了3次.如果7>n , 三张写有1的纸片上有7个不同的数, 由于7>n , 所以, 还有一个数不出现在这三张纸片上, 记为b . 写有b 的纸片上有3个数, 这张纸片与写有a 的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字, 这个数字不是1, 也不是b . 但是写有b 的纸片上, 除了b 外, 还只有2个数字, 不可能与写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字. 所以n =7．每个数恰在三张纸片上出现, 所有写的数的和为84283)721(3=⨯=+++⨯ .下面是一个实例：。

第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题复赛试题决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛（1）请将下面算式结果写成带分数：[分析] 这是每位小学生都会算的题目，但初赛要求在30秒内计算出正确的结果，就需要在平时锻炼快算的技巧。

注意0.5乘236之积为118，仅比分母小1。

抓住这个特点，算起来便很快了。

[注] 华罗庚爷爷在四十年代给他的孩子出了一道题：“全家九口人，每人每日食半两油，问全家一个月30天要食几斤油？”当时一斤等于16两。

快速心算的思路是：每人一月食15两油，即一斤少一两。

全家九口人，一月食9斤少9两，即8斤7两。

列成算式是本题便是根据华爷爷的问题改编而成的。

（2）一块木板上有13枚钉子（右图）。

用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（下图）。

请回答：可以构成多少个正方形？[答案]共11个。

[分析]可以构成的正方形有好几种，大小和位置不一样。

要想无一遗漏地数出全部正方形，最好用分类法。

[解]依正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1。

面积为1的正方形，有5个（图a）；面积为2的正方形，有4个（图b）；面积为4的正方形，有1个（图c）；还有1个面积比4大的正方形（图d）。

[讨论]本题也可以按其他特征来分类。

例如按正方形各边的方向的特征，如果各边是水平和竖直方向的，有6个（图a和图c）；各边都是倾斜的有5个（图b和图d）。

用分类法的关键是抓住事物的特征，给列举的类排序。

既要穷尽所有的可能性，以避免遗漏，又要注意每二类之间是否有共同的部分，如果有，则需要加以排除。

（3）这里有一个圆柱和一个圆锥（下图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。

请回答：圆锥体积与面积的比是多少？[分析]这是一道普通的体积计算题。

华杯赛考试大纲及备考攻略一．华杯赛常考考点总结计算：分数小数互化、循环小数化分数、约分、运算级别、加法、乘法运算律常用公式、常用数据记忆裂项(整数、分数裂项;分数拆分)、通项公式、换元法估算、取整、取小数论：奇偶数质数、合数整除及位值原理约数、(最大)公约数、(最小)公倍数余数及同余完全平方数数字迷进制(常考二进制)几何：平面几何的周长及面积规则图形：掌握公式、高不规则图形：割补法、转化为规则的常用模型：同底等高模型、四边形定理、蝴蝶定理、鸟头定理、燕尾定理、容斥定理立体几何的体积及表面积圆柱、圆锥等公式 (挖洞后)立体的体积表面积与体积图形的染色与切割平面图形的旋转圆形的滚动应用题：行程问题：多次相遇、多次追及、环形行程、走走停停、变速行驶工程问题：多人合作、中途请假、做做停停、工资分配、工作交换经济、浓度问题：概念转换、利润计算、浓度计算、利润最大化、溶液配比、溶液装置变换最值问题：最短时间、最大利润、最大乘积、最小损耗容斥原理：集合的交集、并集与补集抽屉原理(构造抽屉是难点) 抽屉原理一：告诉苹果和抽屉，求最值抽屉原理二：告诉抽屉和最值，求苹果(最不利) 抽屉原理三：整数分组其他问题：决赛中约考察15分构造与染色：奇偶染色、证明问题加乘原理排列组合捆绑与插空枚举与树形图容斥与排除归纳与递推标数法对应法重要：线分面，面分体。

如果怒了用枚举二、如何备考各大杯赛1、第一阶段：奥数各大专题复习。

杯赛考察的是孩子的综合实力，几乎涉及奥数所有专题，孩子平时的学习情况基本决定了孩子的竞赛成绩。

有计划有准备的奥数学习的孩子去参加各大杯赛考试，获奖的概率将大大增加。

因此，有必要为了每一种杯赛而制定学习计划，否则将会得不偿失。

现阶段可以把老师讲过的知识整理一遍，把每个知识模块都画一张脑图。

以一本参考书为蓝本进行练习，这本书一定要是按知识模块分类的书，不是综合性题型的书，每天晚上拿出30分钟做几道题。

注意：薄弱的知识点一定要记下来！以便后期薄弱知识模块学习更有针对性！2、第二阶段：薄弱知识模块突破。

华杯赛考试纲要分数小数互化、循环小数化分数、约分、运算级别、加法、乘法运算律常用公式、常用数据记忆裂项(整数、分数裂项;分数拆分)、通项公式、换元法估算、取整、取小数论：决赛中约考察50分奇偶数质数、合数整除及位值原理约数、(最大)公约数、(最小)公倍数余数及同余完全平方数数字迷进制(常考二进制)几何：决赛中约考察30分平面几何的周长及面积规章图形：掌控公式、高不规章图形：割补法、转化为规章的常用模型：同底等高模型、四边形定理、蝴蝶定理、鸟头定理、燕尾定理、容斥定理立体几何的体积及表面积圆柱、圆锥等公式(挖洞后)立体的体积表面积与体积图形的'染色与切割平面图形的旋转圆形的滚动应用题：决赛中约考察25分行程问题：多次相遇、多次追及、环形行程、走走停停、变速行驶工程问题：多人合作、中途请假、做做停停、工资安排、工作交换经济、浓度问题：概念转换、利润计算、浓度计算、利润最大化、溶液配比、溶液装置变换最值问题：决赛中约考察25分最短时间、最大利润、最大乘积、最小损耗容斥原理：几何的交集、并集与补集抽屉原理(构造抽屉是难点)抽屉原理一：告知苹果和抽屉，求最值抽屉原理二：告知抽屉和最值，求苹果(最不利)抽屉原理三：整数分组其他问题：决赛中约考察15分构造与染色：奇偶染色、证明问题加乘原理排列组合捆绑与插空枚举与树形图容斥与摒除归纳与递推标数法对应法重要：线分面，面分体。

假如怒了用枚举试题特点：全部为综合题以历年真题为基础，80%为基础题型知识点偏重：数论、几何压轴题：基础题节省大量时间平常提升做题难度，乐于思索把繁复问题简约化，不失去问题本质(枚举)。

华杯赛重难点考点解析（一）1.关于计算题，我们如何把握决胜技巧？◆考点1：小数提取公因数2237.522.312.523040.7⨯+⨯+÷-⨯+2004.051997.052001.05⨯-⨯公式运用221.23450.76552.4690.7655++⨯换元法(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)循环小数⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。

⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。

(0.1 5+0.2 18)⨯0. 3⨯11111(结果表示成循环小数)真题训练【18A】2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8【18B】◆考点2：多位数基础计算计算：88...8⨯33 (3)2007个8 2007个3求尾数请你计算99…9⨯99…9+199…9结果的末尾有多少个连续的零？2008个9 2008个9 2008个9求和33…3⨯66…6乘积的各位数字之和？2008个3 2008个6真题训练【18B】(2008年第13届华杯赛初赛第5题)若a=1515…15⨯333…3，则整数a的所有位数上的数字和等于( ) 1004个15 2008个3A. 18063B. 18072C. 18079D. 18054◆ 考点3：等差数列求和 1351997199924619961998++++++++++ （）-（）真题训练 【19A 】【19B 】◆考点4：分数换元法1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112111311143114120092009++++++++++裂项111111111357911131517612203042567290++++++++公式运用 32＋1 52＋1 72＋1 19932＋1 19952＋1 ——— ＋ ——— ＋ ——— ＋ … ＋ ———— ＋ ———— 32－1 52－1 72－1 19932－1 19952－1通项归纳111111212312100++++++++++繁分数8531654333113615.3149÷÷-+⨯真题训练 【20A 】【20B】【18C】【20C】【19B】2.如何用方程法，解决90%的应用题？找等量关系某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的415，问原有苹果和桃子各有多少吨？真题训练【18A】【19A】【20B】。

第一讲计算、数论计算关键词：分数混合计算，比较与估算，数列数表，循环小数，高斯记号数论关键词：位值原理，不定方程，整除，约倍质合，周期（一）计算1.（12届华杯决赛）计算：123[20.75(3.742)9]41.75.225+−÷÷=2.（17届华杯决赛高年级组）算式()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5−÷×−×+×−×⎡⎤⎣⎦的值的20倍为.3.（14届华杯决赛）方格中的图形符号“◇”,“○”,“▽”,“☆”代表填入方格中的数,相同的符号代表相同的数,如图所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别是36,50,41,37,则第三行的四个数的和为37415036○◇◇◇○○◇◇○▽○▽☆☆☆◇?4.（14届华杯决赛）六个分数12,13,15,17,111,113的和在哪两个连续自然数之间?若将算式111111123456782007200820092010−+−+−+××××××L 的值化为小数,则小数点后第1个数字是.6.（13届华杯决赛）记137151023248161024A =+++++L 那么比A 小的最大自然数是.7.（16届华杯决赛）以[]x 表示不超过x 的最大整数,设自然数n 满足123120111515151515n n −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ,则n 的最小值是多少?（二）数论8.（16届华杯决赛）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,则这个月的20日可能是星期几?将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”.删去这个数中所有位于奇数位上的数字;按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是.10.（17届华杯决赛高年级组）张兵1953年出生，在今年之前的某一年,他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他岁.11.（15届华杯决赛）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”,那么不超过2012的“好数”的个数为,这些“好数”的最大公约数是.12.（14届华杯决赛）某班学生要栽一批树苗.若每个人分配k棵树苗,则剩下38棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3棵,那么这个班共有名学生.将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数,如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数,则称这个2n位数为卡布列克(Kabulek)怪数，例如，2+=,所以3025(3025)3025是一个卡布列克怪数.请问在四位数中有哪些卡布列克怪数?14.（12届华杯决赛）一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是________.15.（14届华杯决赛）已知a,b,c是三个自然数,且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270.求b与c的最小公倍数.16.（13届华杯决赛）设六位数abcdef满足fabcde=f×abcdef,请写出所有这样的六位数.已知98个互不相同的质数1298,,,p p p ⋯,记2221298N p p p =+++⋯,问:N 被3除的余数是多少？第二讲应用题、几何应用题关键词：行程，分数几何关键词：直线型计算、角度、曲线形、立体（一）应用题1.（16届华杯决赛）工程队的8个人用30天完成了某项工程的13,接着增加了4个人完成其余的工程,那么完成这项工程共用了天.2.（17届华杯决赛高年级组）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二.若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里的黑球与红球数量的比值为.3.（17届华杯决赛高年级组）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食,如果从甲粮库调90袋到乙粮库,则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有袋的粮食.悉尼与北京的时差是3小时,例如：悉尼时间12:00时,北京时间是9:00,某日,当悉尼时间9:15时,小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地,小马于北京时间19:33分到达北京.小马和小杨路途上时间之比为7:6,那么小杨到达悉尼时,当地时间是.5.（16届华杯决赛）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的车速是乙的车速的1.2倍.乙骑了5千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的16.排除故障后,乙的速度提高了60%,结果甲乙同时到达B地.那么A,B两地之间的距离是千米.6.（15届华杯决赛）汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇20分钟后再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90千米,80千米,60千米,那么甲乙两站的路程是千米.7.（13届华杯决赛）甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进,甲行走一圈需要4分钟,乙行走一圈需7分钟.他们同时同地同向出发,甲走完10圈后,改为反向行走,出发后,每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时,两人都击掌示意.问：当两人第15次击掌时,甲共走了多少时间?乙走了多少路程?甲、乙二人分别在A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向B 地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A 地行走。

， ， ， ， 华杯赛初赛备考讲义含解析（小学高年级组）第一节 计算、几何精讲考点概述计算考点 一、整数、小数、分数的基本计算； 二、整数、小数、分数的常见巧算方法；（凑整、抵消、约分、提取公因数、裂项） 三、分数比较大小；（通分子、通分母、通分差、取倒数） 四、分数与循环小数．（纯循环小数化分数、混循环小数化分数）几何考点 一、基本面积公式；（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形） 二、割补法计算面积；三、等积变换； 四、各类几何模型；（等高模型、蝴蝶模型、共角模型、一半模型、沙漏模型、金字塔模型、燕尾模型等） 五、勾股定理与弦图； 六、立体几何．（基本公式、展开图、三视图）真题精讲例题1. 将 5.425 ⨯ 0.63 的积写成小数形式是．（2007 年 12 届）【答案】 3.4180 ．【解答】 5.425=5425 = 5420 ，所以 5.425 ⨯ 0.63= 5420 ⨯ 63 = 34146 =34176 ，999 999 999 100 9990 9990而 4176 =1 ⨯ 4176 =1 ⨯ 4 180 =1⨯ 4.180 = 0.4180 ，所以 5.425 ⨯ 0.63 = 3.4180 ． 9990 10 999 10 999 10例题2. 从 1 1 1 1 1中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 6最接近，去掉的两个数是 ()．2 3 4 5 67（A ） 1 ， 1 （B ） 1 ， 1 （C ） 1 ， 1 （D ） 1 ， 1（2010 年 15 届）25263534【答案】D ． 【解答】通分1 = 210 , 1 = 140 , 1 = 105 , 1 = 84 , 1 = 70 , 6 = 360 .2 4203 4204 4205 4206 4207 420显然，210+84+70=364 最接近 360．练习1. 2012.25 ⨯ 2013.75－2010.25 ⨯ 2015.75＝．（2013 年 18 届）2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，…，而 1 = 2，所以从23 5 7 9 11 13 1000 20002001 【答案】7．【解答】记 x =2010.25，y = 2013.75，则原式= (x + 2) y - x ( y + 2) = 2( y - x ) = 7 ．练习2. 两数之和与两数之商都为 6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（）（2011 年 16 届）（A ） 26 4 （B ） 5 1 （C ） 6 （D ） 67 7 7 49 【答案】D ．【解答】设两数分别为 x 与 6x ，那么 7x =6，x = 6 ，所以这两个数分别为 6 与 36 ，两数之积为216 ，7两数之差为 30，216 - 30 = 6 ．7749749 7 49练习3. 若 a =2005 ⨯ 2006 , b = 2006 ⨯ 2007 , c = 2007 ⨯ 2008，则有()．2007 ⨯ 2008 2008 ⨯ 2009 2009 ⨯ 2010（A ） a > b > c （B ） a > c > b （C ） a < c < b （D ） a < b < c （2008 年 13 届） 【答案】D ．【解答】比较 a 与 b ，两边同时可以约掉2006，而2005<2007，所以 a < b ， 20082007 2009比较 b 与 c ，两边同时可以约掉 2007 ，而 2006 < 2008，所以 b < c ，故选D ． 2009 2008 2010练习4. 在 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11，…中，从开始，1 与每个数之差都小于 1 ．3 5 7 9 11 131000（2004 年 9 届）【答案】 1999 ．2001【解答】这一排分数与 1 的差分别为开始，就开始小于 11000，所以答案为 1999 ．2001例题3. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC = CD = DB ，M 是 CD 的中点，H 是弦 CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2009 年14 届）MC DHA O N B【答案】2．【解答】如下图，可以利用等积变换变成一个扇形：MC DHA O B因为AC = CD = DB ，M 是CD 的中点，所以CM 是半圆弧的1，所以阴影扇形面积为半圆面积的1，6 6为2．例题4. 大正方形格板是由81 个1 平方厘米的小正方形铺成，B、C 是两个格点．若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC 的面积恰好等于3 平方厘米，则这样的A 点共有个．（2010 年15 届）CB（A）6 （B）5 （C）8 （D）10【答案】C．【解答】方法一：从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10 条水平线，每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求．以此穷举法可以得到：第1 条水平线上没有格点符合要求，第2 条水平线上仅有A7 符合要求．如右图所示，类似可以得到格点A2，A1，A6符合要求，对称地，可以得到A ，A ，A ，A 符合要求．故答案是C．5 4 3 8方法二：先通过尝试找到A ，然后找到经过A ，而且平行于BC 的线，画出来，那么这条线经过的格1 1点都是符合要求的（等积变换），这样可以得到A ，A ，A ，A ，然后利用对称性，可以得到A ，A ，A 3 ，A8．故答案是C．2 1 6 7 5 4练习5. 正方形ABCD 的面积为9 平方厘米，正方形EFGH 的面积为64 平方厘米．如图所示，边BC 落在EH 上．已知三角形ACG 的面积为6.75 平方厘米，则三角形ABE 的面积为平方厘米．（2012 年17 届）【答案】2.25．【解答】如图：连接EG，由于AC 和EG 都是对角线，因此相互平行，所以三角形ACG 的面积等于三角形ACE 的面积，所以S△ABE =S△ACE-S△ABC=6.75 -4.5=2.25 ．练习6. 右图ABCD 是平行四边形，M 是DC 的中点，E 和F 分别位于AB 和AD 上，且EF 平行于BD．若三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，则三角形CEB 的面积等于（）平方厘米．（2013 年18 届）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20【答案】B【解答】如右图，连接FC，BF，DE．因为M 是DC 的中点，三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，所以由三角形面积公式可知：三角形CDF的面积等于10 平方厘米．两个三角形，同底等高，面积则相等．由此可知：由DC / / AB ，得△CEB 的面积=△BDE 的面积；由EF / /B D ，得△BDE 的面积=△BDF 的面积；由AD / /B C ，得△BDF 的面积=△C DF 的面积，所以三角形CEB 的面积等于10 平方厘米．练习7. 如右图所示，梯形ABCD 的面积为117 平方厘米．AD∥BC，EF = 13 厘米，MN = 4 厘米，又已知EF⊥MN 于O，那么阴影部分的总面积为平方厘米．（2011 年16 届）【答案】65．【解答】四边形 EMFN 的面积= 1⨯ EF ⨯ MN =26 ．（对角线相互垂直的四边形面积为对角线相乘再除2以 2），又根据蝴蝶模型， S △ABM =S △EFM ， S △DCN =S △EFN ，所以空白部分总面积为四边形 EMFN 的面积 的 2 倍，为 52，所以阴影部分总面积=117－52=65．练习8. 右图由 4 个正六边形组成，每个面积是 6，以这 4 个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为 4 的等边三角形有 个．（2011 年 16 届） 【答案】8．【解答】如图，将原图按三角形格线分割，于是我们要找的其实是由 4 个小正三 角形组成的正三角形，注意顶点必须六边形顶点，箭头朝上的有四个（如图）， 根据对称性，箭头朝下的也有 4 个，共 8 个．例题5. 如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦 AB 与小圆相切，且与直径平行，弦 AB 长12 厘米．图中阴影部分的面积是 平方厘米．（圆周率取 3．14）（2004 年 9 届）AB【答案】56.52．【解答】设大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，那么阴影部分面积为 1 π R 2 - 1 π r 2 = 1π ( R 2 - r 2 )，所以关 2 2 2 键是求出半径的平方差．如图，过大圆圆心作 AB 的垂线，连接圆心与 B 点，由勾股定理可得，62 + r 2 = R 2 ，所以 R 2 - r 2 = 36 ．A6 BrR那么阴影部分面积= 1⨯ 3.14 ⨯ 36=56.52 ．2例题6. 一个长方体的长、宽、高恰好是 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的 2 倍，那么这个长方体的表面积是 ．（2007 年 12 届）（A ）74（B ）148（C ）150（D ）154【答案】B．【解答】设这三个连续的自然数分别为x－1，x，x＋1，那么可以列出方程：(x-1)x(x+1)=2(x-1+x +x +1)⨯ 4 ，化简后为：x(x2 -1)= 24x ，由于x 肯定不是0，所以两边同时约掉x 后，可得方程：x2 -1= 24 ，所以x = 5 ，这三个连续的自然数分别为4、5、6，那么表面积为：(4⨯5 +5⨯ 6 +4⨯6)⨯ 2=148 ．练习9. 如图所示，是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12 厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2 厘米，最多能露出4 厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取π= 3.14 ）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10”）（2006 年11 届）CA B【答案】226.08．【解答】沿AC 放置时，另一端沿吸管露出最少，为2 厘米，说明AC=12－2=10 厘米，沿BC 放置时，另一端沿吸管露出最多，为4 厘米，说明BC=12－4=8 厘米，根据勾股定理，AB2 = 102 - 82 = 36 ，所=9π⨯8=72π=226.08 ．以AB=6，底面半径为3，所以V杯练习10. 右图中，AB 是圆O 的直径，长6 厘米，正方形BCDE 的一个顶点E 在圆周上，∠ABE = 45︒．那么圆O 中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取π= 3.14 ）．（2013 年18 届）【答案】10.26【解答】因为∠ABE = 45︒，∠EAB 所对的圆弧和∠ABE 所对的圆弧弧度相等，且圆弧的直径相同，故∠EAB = 45︒，三角形ABE 是直角三角形．由勾股定理：2BE2 =AB2 = 62 = 36 （平方厘米），正方形BCDE 的面积＝BE2 =18 （平方厘米）．圆O 的面积－正方形BCDE 的面积＝（圆非阴影部分的面积+圆和正方形相交部分的面积）－（正方形BCDE 中非阴影部分面积+圆和正方形相交部分的面积）＝圆非阴影部分面积－正方形非阴影部分面积＝32 ⨯π-18 = 28.26 -18 =10.26 （平方厘米）．练习11. 图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）．（A）1，2 （B）2，3 （C）3，4 （D）4，5（2012 年17 届）【答案】D【解答】注意到展开图中不能出现“田”字结构，因此排除掉ABC，选D．练习12. 如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M 和BC 的中点N，减掉△MBN 得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD 纸片展开铺平后的图形是．（2006 年11 届）D C D CNNA MB A M【答案】D．【解答】注意对折方向，可以判断B 点是原正方形中心，因此是中心被掏空的形状，再注意减掉的形状是三角形，也就是展开后，横竖四等分以后，每一部分缺的都是三角形，结合这两点，答案为D．课后作业：1. 计算：⎡⎛0.8 +1 ⎫⨯ 24 + 6.6⎤÷9- 7.6 =（）．（2012 年17 届）⎢ 5 ⎪ ⎥14⎣⎝ ⎭ ⎦（A）30 （B）40 （C）50 （D）60【答案】B．【解答】原式= [1⨯ 24 +6.6]⨯14 - 7.6 = 30.6 ⨯14 - 7.6=47.6 - 7.6=40 ．9 92. 算式1 -27+ 2 ⨯ 0.3的值为．（2010 年15 届）0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.44【答案】1 8．211 -2 5 3【解答】7 +2 ⨯ 0.3= 7 + 5 =5+2=18．0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.441+39 7 3 214 4 103. 下面有四个算式：①0.6 + 0.133=0.733 ；②0.625= 5 ；8③ 5+3=5 + 3=8=1；14 2 14 + 2 16 2④3 3 ⨯ 4 1 =14 2 ．7 5 5其中正确的算式是（）（2009 年14 届）（A）①和②（B）②和④（C）②和③（D）①和④【答案】B．【解答】①式错，因为0.6 并不循环，②式对，③式错，不符合分数加法规则，④式对，因此选B．4. 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则A、B、C 处填的数各是、、．（2004 年9 届）提示：注意相对两个面展开后的位置．C 2B 1A 4【答案】6、5、3．【解答】注意到，展开图中的形状，黑色两个面在合上后是相对的，所以在原图中，A 和1 相对，B 和2 相对，C 和4 相对，所以A=6，B=5，C=3．5. 如图，ABCD 是个直角梯形（∠DAB＝∠ABC＝90o）．以AD 为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36 平方厘米，连接BE 交AD 于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2006年11 届）提示：等积变换．（A）6.36 （B） 3.18 （C）2.12 （D）1.59 【答案】B．【解答】连接BD、AE，利用等积变换，S△PDC =S△PDB，所以S阴=S△EDB，再次利用等积变换，可以得到S△EDB =S△EDA，而三角形EDA 面积是长方形ADEF 的一半，为3.18，所以以S阴=S△EDB=S△EDA=3.18 ．6. 一块长方形的木板，长为90 厘米，宽为40 厘米，将它锯成2 块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画出分割线．（2004 年9 届）提示：阶梯形．【答案】如图，沿粗线剪开即可．．【解答】图形面积为90×40=3600 平方厘米，因此拼成的正方形边长为60 厘米，我们把这个图形画出来与原图形进行比较：3020两条边的差分别为30 和20，因此把90 厘米那边30 厘米一截，40 厘米那边20 厘米一截，分成6 块之后，稍作尝试即可．7. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0 （B）2（C）3 （D）4（2014 年19 届）【答案】C．【解答】当4 条直线都互相平行时，平面被分成5 个部分，不满足要求，因此最多只能3 条直线互相平行．构造：有3 条直线互相平行，另外一条直线与它们都互相垂直，此时平面被分成8 个部分．8. 如右图所示，AF = 7 cm，DH = 4 cm，BG = 5 cm，AE =1c m．若正方形ABCD内的四边形EFGH 的面积为78 cm2，则正方形的边长为（）cm．（A）10 （B）11 （C）12 （D）13（2014 年19 届）提示：类比弦图．【答案】C．【解答】用竖直线和水平线将正方形ABCD 分割为如右图所示的5 个长方形，中间长方形的面积是4⨯ 3＝12 ，所以，正方形的面积= (78-12)⨯ 2 +12＝144 ，正方形的边长是12．9. 如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的( )．提示：分割图形．（A）1 （B）2 （C）2 （D）52 3 5 12（2010 年15 届）【答案】A．【解答】由图可知，左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积，因此阴影部分的面积占平行四边形面积的1 . 2第二节数论、应用题精讲考点概述数论考点五、数的整除性相关知识六、质数合数七、约数与倍数八、余数问题应用题考点一、常考应用题类型（和差倍应用题，比例应用题，经济问题，浓度问题等）1. 画线段图帮助解题2. 列方程解应用题二、行程问题：1. 行程问题常见类型（相遇问题，追及问题，火车问题，流水行船问题，环形路线问题，多次相遇与追及问题等）2. 画线段图（形象直观地呈现题意，便于对题目条件进行分解与组合，挖掘隐含条件）3. 方程与比例解行程问题真题精讲例1．在一个圆周上有70 个点，任选其中一个点标上1，按顺时针方向隔一个点的点上标2，隔两个点的点上标3，再隔三个点的点上标4，继续这个操作，直到1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了2014 的点上标记的最小整数是．（2014 年19 届）【答案】5【解析】将70 个点中某个点为起始点，然后按顺时针方向依次将这70 个点记为第1 个，第2 个，第3 个，…，第70 个，用a 表示第a 个点上标记的数字是i．i i依题意a1= 1 ，a2 = 3 ，a3 = 6 ，a4 = 10 ，…，且按规律得：a 2014 =1+ 2 + 3 + + 2014 =2014 ⨯ 2015=202910522029105 = 28987 ⨯ 70 +15 ，而a5 = 15 ，因此第15 个点上标记的最小整数为5．例2．若a = 1515 15 ⨯ 333 3 ，则整数a 的所有数位上的数字和等于．（2008 年13 届）1004个15 2008个3（A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054【答案】B【解析】a = 505 05 ⨯ 999 9 ，利用结论A⨯ 999 9 的数字和为9n ，可知a 的数字和为18072，选B．1004个5 2008个9 n个9练习1．恰有20 个因数的最小自然数是（）．（2010 年15 届）（A）120 （B）240 （C）360 （D）432【答案】B．【解析】因为20=2×10=4×5=2×2×5，因此，具有20 个因数的自然数的质因数分解形式只有19 ，⨯9 ，3 ⨯4 ，⨯⨯ 4 这4 种，对应类型的最小自然数分别为219 ，3⨯ 29 ，33 ⨯ 24 ，3⨯5⨯ 24 ，其中最小的是240，选B．练习2．在19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（）．（2009 年14 届）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】质数判定，检验所有平方小于2009 的质数即可．练习3．若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）．（2011 年16 届）（A）100 （B）101 （C）102 （D）103【答案】C【解析】最小连续4 个合数为24，25，26，27，它们之和为102．例3．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180 只．有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（）只．（2012 年17 届）（A）240 （B）248 （C）420 （D）842【答案】A【解析】设猫有x 只，狗有y 只，则认为自己是猫的动物共有80%x + 20% y 只，从而80%x + 20%y = 32%(x +y) ，可以得到4x =y ，再结合狗比猫多少180 只，可得x = 60 ，y = 240 ，从而狗有240 只，选A．例4．一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．（2013 年18 届）（A）22 （B）20 （C）17 （D）16【答案】A【解析】记青蛙每向上爬行1 米，所用时间为t 分钟，则下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一，也为t 分钟．当青蛙刚爬至离井口3 米时，离井底9 米，所用时间是17 分钟．将2 米分为1 段，则一段所需时间为4t，第一次离井口3 米的时候是，向上爬了3 段之后再向上爬了3 米，第二次离井口3 米的时候是，向上爬了4 段之后再向上爬了1 米，此时总共花了17t 的时间，此时为8 点17，过了17 分钟，所以t=1，即每分钟1 米．向上爬出井口的时候，总共是向上爬了5 段，然后向上爬了2 米，总共花了22 分钟．练习5．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是( )cm．（2010 年15 届）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】B．【解析】设剪下的长度为x cm，那么有：23 -x ≥ 2(15 -x) ，解得x ≥ 7 ，因此剪下的长度至少为7cm，选B．练习6．某次考试有50 道试题，答对一道题得3 分，答错一道题扣1 分，不答题不得分．小龙得分120 分，那么小龙最多答对了（）道试题．（2014 年19 届）（A）40 （B）42 （C）48 （D）50【答案】B【解析】得分120 分，说明至少需要答对40 道题，其余10 道题不答，满足题意．若答对41 道题，答错3 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对42 道题，答错6 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对43 道题，得分依然为120 分，需要再答错9 道题，此时至少需要有52 道题，52>50，因此不满足题意．解法二：设作对x 题，做错y 题，未答z 题，则有：3x - y =120, x +y +z = 50,合并两个等式，得到：4x =170 - z, x = 42 +2- z ，x 是非负整数，尽可能大，故z = 2, x = 42 ，即小4龙最多答对42 道试题．练习7．两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33 条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3．那么每个水池内有金鱼（）条．（2010 年15 届）（A）112 （B）168 （C）224 （D）336【答案】B【解析】这是一道工程问题的变形，每个水池内有金鱼33 ÷ ( 5-3) =168 （条）．5 + 3 4 + 3解法2：可以认为是比例应用题，设亮亮第一次捞到3n 条，则红红第一次捞到4n 条，依题意，有3n + 33=5，解得n=24，因此水池内共有金鱼7n=168 条．4n - 33 3练习8．用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成．如果增加3 台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3 台计算机，则比原定时间多用5小时．那么原定完成录入这部书稿的时间是（）6小时．（2011 年16 届）（A）5 3【答案】A （B）103（C）56（D）116【解析】增加3 台计算机，则只需原定时间的75%，所以原先有9 台计算机；如果减少3 台计算机，则所需时间为原定时间的9=3，比原定时间多用了5小时，所以原定要5÷⎛3-1⎫=5小时．9 -32 6 6 2 ⎪ 32⎝ ⎭例6． 图中是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C ．小圈轨道的周长是 1.5 米，大圈轨道的周长是 3 米．开始时， A 连接 C ，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时 变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接．若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟．（2010 年 15 届）【答案】2.1【解析】根据条件，在小圈火车行驶一圈用时1.5 ÷10 = 0.15 分钟，在大圈火车行驶一圈用时3 ÷10 = 0.3 分钟．设回到 A 点时用时为 t 分钟，这样我们有下表：回到 A 的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 910到 A 点用时 0．3 0．6 0．9 1．2 1．35 1．5 1．65 1．8 1．95 2．1经过的轨道ACACACABABABABABABAC下面我们给出一个一般的解答：设玩具火车绕小圈轨道 m 圈，绕大圈轨道 n 圈，则玩具火车运动路程是 S = 1.5m + 3n ，时间是1.5m + 3n ．如果 ⎡1.5m + 3n ⎤ 是偶数，则变轨开关 AC 连通，如果 ⎡1.5m + 3n ⎤是奇数，则变轨开关 AC 10 ⎢ 10⎥ ⎢ 10⎥⎣⎦⎣⎦连通．我们寻找最小的 m + n ，使1.5m + 3n是偶数．无妨设 101.5m + 3n = 10K ，或 3m + 6n = 20K ，这里 K 是偶数，并且有 3 为约数，是玩具火车运动的时间，因此最小的 K 是 6．即求 m 和 n 使m + 2n = 40 ．12 当 n ＝3，S AA C = 2S ABC = 12 ，故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈，时间是 10= 1.2（分钟）；当 n ＝4， m ＝5 时，⎡ 7.5 + 12 ⎤ = 1 ， ⎡ 9 + 12 ⎤= 2 ，故玩具火车绕小圈轨道 6 之后再次进入大圈轨道， ⎢ 10 ⎥ ⎢ 10 ⎥3⎣⎦ ⎣ ⎦此时1.5m + 3n＝1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 4= 2.1 （分钟）（可以称为一个拟循环）1010将玩具火车再次进入大圈运行，运行圈数记为 n ． n ＝3 时， 1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 7= 3 （分钟），玩具火车应2210当再次进入小圈运行，运行圈数记为 m ，既然1.5 ⨯ 7> 1 > 1.5 ⨯ 6，故玩具火车绕小圈运行 7 圈后，应 210 10再次进入大圈运行，此时 1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯ 7= 4.05 （分钟）．10 10 将玩具火车再次进入大圈运行， 运行圈数记为 n ．既然1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 > 5 > 1.5 ⨯13 + 3 ⨯10 ，10 10故玩具火车绕大圈运行 4 圈后，应再次进入小圈运行，此时1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 = 5.25 （分钟）， 10 10则玩具火车绕大圈运行 5 圈后，1.5m + 3n = 1.5 ⨯18 + 3 ⨯11= 6 (分钟)． 10 10结论玩具火车第 29 次回到 A 时， 变轨开关 AC 连通，即回到原始状态．练习9. 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：4、6、 5 1 和 4 2，则原来给定的 4 个整数的和为．（2009 年 14 届）3 3 【答案】10【解析】设 4 个整数分别为 a 、b 、c 、d ，则有a +b +c +d = 4 、 a + b + d + c = 6 、a + c + d + b = 5 1、 3 3 3 3b +c +d + a = 4 2，四式相加可得 2(a + b + c + d ) = 20 ，从而 a + b + c + d = 10 ．3 3练习10. A 、B 、C 、D 、E 五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A →C ，B →E ，C →A ，D →B ，E →D ．开始时 A 、B 拿着福娃，C 、D 、E 拿着福牛，传递完5 轮时，拿着福娃的小朋友是（）．（2009 年14 届）（A）C 与D （B）A 与D （C）C 与E （D）A 与B【答案】A【解析】A 和C 之间的传递以2 为周期，B、E、D 之间的传递以3 为周期，所以5 轮之后，A 和C 之间的福娃最后在C 手中，B、E、D 之间的福娃最后在D 手中，所以最后拿着福娃的是C 与D．练习11. 某学校组织一次远足活动，计划10 点10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）．（2014 年19 届）（A）11 点40 分（B）11 点50 分（C）12 点（D）12 点10 分【答案】B【解析】从10 点10 分到13 点10 分共有3 个小时，比计划时间少用9 分钟，即每小时少用3 分钟，少用5 分钟的时候即是到达B 点的时间．此时需要5÷（3÷60）=100 分钟，即1 小时40 分钟，所以到达B 点的时间是11 点50 分．练习12. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，且在A，B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，而乙车只行驶了1 小时就到达A，则两车第15 次（在A，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．（2012 年17 届）【答案】B【解析】设甲、乙的速度分别为V甲、V乙，则甲、乙相遇时，他们行驶的路程比为V甲:V乙；另一方面，第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，乙车继续行驶了1 小时到达A，所以这两段的路程比也为V乙: 4V甲，从而V甲:V乙=V乙: 4V甲，进而有V甲:V乙= 1: 2 ，进而可以得到甲从A 到B 需要6 小时，乙需要3 小时，一个周期为12 小时且周期内相遇两次，7 个周期后，甲、乙相遇14 次，且分别回到A 和B，2 小时后，甲、乙第15 次相遇，总共用时7 ⨯12 + 2 = 86 小时．课后练习1. 任意写一个两位数，再将它依次重复3 遍成一个8 位数．将此8 位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是．（2004 年9 届）【答案】4【解析】abababab ÷ab =1010101，1010101 除以9 的余数为4．2. 2008006 共有个质因数．（2006 年11 届）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】C【解析】2008006 = 2 ⨯ 7 ⨯11⨯13⨯17 ⨯ 59 ．3. 小明所在班级的人数不足40 人，但比30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．（2014 年19 届）（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7【答案】D【解析】如果男、女生人数的比是2:3，那么全班人数一定是5 的倍数，男生14 人，女生21 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:4，那么全班人数一定是7 的倍数，男生15 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是4:5，那么全班人数一定是9 的倍数，男生16 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:7，那么全班人数一定是10 的倍数，但本班人数不足40 人，但比30 人多，所以男、女生人数的比不可能是3:7．4. 开学前6 天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60 道题，开学时，两人都完成了数学作业．在这6 天中，小明做的题的数目是小强的3 倍，他平均每天做（）道题．（2009 年14 届）y 7 ⎩（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15【答案】D【解析】这 6 天小明比小强多做了 60 道，平均每天多做 10 道，小明每天做题量是小强的 3 倍，所以 小强每天做 5 道，小明每天做 15 道．5. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9:7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7:5，那么盒子里原有的黑子数比白子数 多（ ）个．（2013 年 18 届）（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）8【答案】C【解析】设原有黑子数为 x ，白子数为 y ，得方程⎧ x - 1 = 9⎧7 x - 9y = 7⎪ ⎪ ⎪ ⎨x 7 即 ⎨⎪ = ⎪⎩ y - 1 5⎪5x - 7y = - 7由此解得x = 28 ， y = 21 ．故 x - y = 7 ．解法二：前后两次均取出一枚棋子，剩下棋子的总数不变，而 9 + 7 = 16 ，7 + 5 = 12 ，16 与 12 的最小 公倍数为 48 ，因此设取出一枚棋子后，剩下棋子的总数为 48 份．第一次余下的黑子数为 48 ÷ (9 + 7) ⨯ 9 = 27 份；第二次余下的黑子数为 48 ÷ (7 + 5) ⨯ 7 = 28 份；两次相差 1 份．而前后两次余 下的黑子数相差 1，因此 1 份对应 1 枚棋子．原有黑子 28 个，原有的白子数为 28 ÷ 7 ⨯ 5 + 1 = 21个， 黑子比白子多 28 - 21 = 7 个6. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和 2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（ ）立方米的水．（2013 年 18 届） 【答案】D【解析】由已知， 1 号阀门每分钟注入 1 18池水，而 2 号阀门放出 1 24池水．到A 池深 0.4 米时，正好在 A 池中留存了 1池水，31 ÷ ⎡ 1 -1 ⎤ = 24 (分钟)．⎣ ⎦3 ⎢18 24 ⎥故此时恰好放了24 分钟，正好把B 池放满，进而B 水池中有水3⨯ 2 ⨯1.2 = 7.2 （立方米）．7. “低碳生活”从现在做起，从我做起．据测算，1 公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14 吨．如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21 千克．某市仅此项减排就相当于25000 公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3 台空调计，该市家庭约有万户．（保留整数）（2010 年15 届）【答案】556【解析】25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6．8. 甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．（2014 年19 届）10080604020米/分5分10 15 20 25 30甲10080604020米/分分5 10 15 20 25 30乙【答案】300【解析】由图所示，前10 分钟，甲和乙速度相同；第10 分钟至第20 分钟，乙速度是100 米/分，甲的速度是80 米/分，故乙多走了200 米；第20 分钟至第25 分钟，甲乙速度相同；第25 分钟至30 分钟，乙的速度是80 米/分，甲的速度是60 米/分，故乙多走了100 米；乙共计多走了300 米．9. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇后，甲掉头返回A 地，乙继续前行．甲到达A 地后掉头往B 行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A 到B 共需小时．（2011 年16 届）【答案】7.2【解析】甲、乙相遇后，同时向B 行驶，甲先是花了3 小时到达A 地，然后甲掉头行驶了半小时和乙相遇，从而甲乙相遇后，乙行驶了3.5 小时，且这段路甲只需要2.5 小时，所以甲、乙的速度比为7:5，从而甲花了3 小时的这段路，乙需要3⨯ 7 ÷ 5 = 4.2 小时，所以乙从A 到B 共需3 + 4.2 = 7.2 小时．第三节数字谜、计数、组合精讲考点概述数字谜考点：竖式问题常用方法：（1）加数相加时每进1 位，和的数字和将比加数的数字和之和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．（3）与整除相关的问题，注意运用以前学过的整除知识．计数问题考点：1. 枚举法（有序、分类）2. 加乘原理（分类，加法；分步，乘法）3. 排列组合（排列，有序；组合，无序；常用方法，插空、捆绑、插板、排除等）4. 综合运用（结合几何、数论等知识）组合问题考点：1. 最值问题：（1）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再找出最大值或最小值．（2）两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大．（3）极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法．2. 逻辑推理、统筹对策、抽屉原理等．真题精讲。

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.17的“秘密” 10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推导以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论纯循环小数 混循环小数分子 循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧 知识点拨教学目标循环小数的计算·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990ab ab ab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

华杯赛试题及答案六年级华杯赛试题及答案（六年级）一、选择题（每题5分，共20分）1. 一个数的1/3等于另一个数的1/4，那么这个数与另一个数的比是：A. 3:4B. 4:3C. 1:1D. 无法确定答案：B2. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，那么它的体积是：A. 480立方厘米B. 400立方厘米C. 360立方厘米D. 480立方厘米答案：C3. 一个数的1/2与另一个数的1/3相等，这两个数的比是：A. 2:3B. 3:2C. 1:1D. 无法确定答案：B4. 一个数的3倍加上这个数的2倍等于45，这个数是多少？A. 9B. 15C. 10D. 5答案：B二、填空题（每题5分，共30分）5. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是________厘米。

答案：31.46. 一个数的5倍是30，那么这个数是________。

答案：67. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米，那么它的表面积是________平方厘米。

答案：2368. 一个数的3/4等于另一个数的1/2，那么这个数与另一个数的比是________。

答案：2:39. 一个数的2/3等于24，那么这个数是________。

答案：3610. 一个数的4倍减去这个数等于36，那么这个数是________。

答案：12三、解答题（每题15分，共45分）11. 一个长方体的长、宽、高分别是12厘米、10厘米和8厘米，求它的体积和表面积。

解答：长方体的体积 = 长 ×宽 ×高 = 12 × 10 × 8 = 960立方厘米。

长方体的表面积 = 2 ×（长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高） = 2 ×(12 × 10 + 12 × 8 + 10 × 8) = 2 × (120 + 96 + 80) = 2 × 296 = 592平方厘米。

有史以来最全的华杯赛解析（介绍、分析、建议、难度分析一网打尽）华杯赛介绍华杯赛，全称“全国华罗庚金杯少年数学邀请赛”，是1986年创办的全国性大型少年数学竞赛活动，至今已举办了21届。

全国已有近100个城市，3000多万名少年儿童参加了比赛，是目前全国最权威的小学数学比赛。

华杯赛的分组：华杯赛分为小学中、高年级组和初一、初二组，其中小中组参赛要求为不高于4年级，小高组参赛要求为不高于6年级。

（此文均为小高组内容）华杯赛的奖项分配：初赛的前30%进入决赛，获决赛个人一、二、三等奖比例为本市参加决赛人数的36%。

其中：一等奖为参加决赛人数的6%，二等奖为12%，三等奖为18%。

试题分析初赛决赛的试题分析我们通常参加的华杯赛分为初赛与决赛两个部分。

通过对近十年分真题的分析和研究我们会发现：虽然初、复赛的题量，分值都不尽相同，但其所考查的知识点基本没有太大变化，归结起来依然是：计算，计数，几何，应用题，行程问题，数论以及组合杂题这七大模块。

但是由于所针对的孩子程度不同，所以初赛和决赛在侧重点和难易程度上也有所不同。

下面我将为大家分别详细介绍初赛和复赛的题型以及考点。

初赛部分：初赛总共有10道题（6选择+4填空）都只需写答案，不需要过程。

每道题10分共100分，考试时间60分钟。

研究近四年的初赛真题，我们能得到近四年的初赛考点分布情况：再将这些考点进行简单的难易区分，由简到难依次是（后面括号数字代表其近四年题量）：计算（3），应用题（3），几何（6），行程（4），计数（6），数论（8），组合杂题（9）所以我们可以发现，从初赛起，华杯赛就对7大模块开始了全面的考察，而且在更考验思维能力、相对不容易的考点上更加侧重。

初赛主要的目的还是考察孩子们的奥数思维，起到一个“选优”的选拔作用。

决赛部分：到了决赛，题量会有所增加，共有14道题（8填空+4简答+2解答），其中选择题每道10分，简答题每道10分，解答题每道15分，总分150分，考试时间90分钟。

第一届华杯赛初赛试题答案1．【解】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。

2．【解】方框的面积是。

每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。

重叠部分共有8个()×5一l×8＝(100—64)×5—8 ＝36×5—8 ＝172(平方厘米)。

故被盖住的面积是172平方厘米。

3．【解】 105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。

4. 【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。

先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。

5．【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。

于是，四个数字的总和是14＋9＝23。

6．【解】松鼠采了：112÷14＝8(天)假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个)实际只采到112个，共少采松籽：160－112＝48(个)每个下雨天就要少采：20－12＝8(个)所以有48÷8＝(6)个雨天。

7．【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。

已经知道，高为10米，于是长×宽＝210平方米把210分解为质因数：210＝2×3×5×7由于长和宽必须大于高(10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。

也就是15米和14米。

14米＋15米＝29米。

答：长与宽的和是29米。

8．【解】39－32＝7。

这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(＝3－2)倍。

因此第一辆车在8点32分已行7×3＝21(分)，它是8点11分离开化肥厂的(32－21＝11) 。

2016华杯赛（计算）一、循环小数化分数1、纯循环小数化分数循环节有几位，分母就是几个9组成的多位数。

例如：0.˙3 =93=31；0.˙47˙3=999473 练习：0.˙7=0.˙9= 1.˙1=4.˙6=2、混循环小数化分数分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末端的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位上的数字是9，末几位上的数字是0，9的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部门的数字的个数相同。

例如：0.1˙3=90113-=9012=152 0.1˙75˙9=999011759-=99901758=1665293 练习：0.˙7˙3= 0.˙15˙9 = 0.3˙1˙4= 1.1˙1˙2=二、取整运算当只关心某数的整数部分时，规定用[x]表示不超过x 的最大整数，称为高斯符号，或称为取整运算。

又记{x}=x-[x]，即{x}为x 的小数或真分数部分，如[3.14]=3,{3.14}=0.14。

显然有0=<{x}<1，当x 为整数时，等号成立。

三、定义新运算例：如果a ★b=3a-2b ，例如4★5=3×4-2×5=2，当x ★5比5★x 大5时，x 是多少？练习：1、已知a 、b 是任意自然数，我们规定：a ⊕b=a+b-1、a ☉b=ab-2,那么4☉[(6⊕8)⊕（3☉5）]=_________________。

2、对于任意的两个非零的数a 和b ，规定新运算△：a △b=b a a b ⨯-。

（1）求（1△2）+（2△3）+（4△4）+……+（99△100）（2）求（211⨯△321⨯）+（431⨯△541⨯）+（651⨯△761⨯）+……+（100991⨯△1011001⨯）四、常用公式1、平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）2、完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 23、等差数列公式：项数=1公差)首项末项(+- 和=2项数)末项首项(⨯+ 4、裂项相消：11n 1)1(n 1+-=+n n练习：1、计算：（1）18×73＋0.65×138－72×18＋135÷1137（2）41×（4.85÷185－3.6＋6.15×353）＋[5.5－1.75×（132＋2119）]（3）12－22＋32－42＋……＋992－1002＋1012（4）1155×（4325⨯⨯＋5437⨯⨯＋……＋109817⨯⨯＋1110919⨯⨯）（5）求[33114⨯]＋[33214⨯]＋……＋[339714⨯]＋[339814⨯]的和。