2015年新人教版八年级下第16章二次根式复习课课件
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(完整版)新人教版第16章二次根式全章教案页数:19
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八年级数学下册第16章16.3节课件页数:124
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第16章二次根式小结课件页数:12
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第十六章 二次根式 教学课件 PPT (全)1页数:124
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第十六章二次根式复习课件页数:21
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八年级数学下册 第十六章 二次根式章末知识复习课件下册数学课件
)
(A) 1 化简后的结果是 2
2
2
(B)9 的平方根为 3
(C) 8 是最简二次根式 (D)-27 没估计(2 30 - 24 )· 1 的值应在( B ) 6
(A)1 和 2 之间 (B)2 和 3 之间 (C)3 和 4 之间 (D)4 和 5 之间
第十六页，共二十二页。
3.(六盘水中考)无论 x 取何实数,代数式 x2 6x m 都有意义,则 m 的取值范围为
m≥9 .
1
4.(黔南州中考)计算:2 1 × 9 - 12 + 3 7 1 =
2
.
3
8
5.计算:
(1)(2018 安徽)50-(-2)+ 8 × 2 ;
解:(1)50-(-2)+ 8 × 2 =1+2+4=7.
章末知识(zhī shi)复习
1.二次根式的定义:一般地,我们把形如 a (a ≥ 0)的式子叫做二次根式,“ 为二次根号.
”称
(1)二次根式的定义是以形式界定的,如 2 是二次根式; (2)形如 b a (a≥0)的式子也叫做二次根式; (3)二次根式 a 中的被开方数 a,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足 a≥0.
(fēnmǔ)
开得尽方的因数或因式.
第二页，共二十二页。
4.二次根式的乘、除法则: (1)乘法法则: a · b = a b
(a ≥ 0,b ≥ 0);
a
(2)除法法则: a =
b
(a ≥
>
0,b
0).
b
提示:(1)进行乘法运算时,若结果是一个完全平方数,则应利用
a2
=|a|=
a a 0
八年级数学下册第16章二次根式复习课课件新新人教
解： ?a ? 2?2 ? ?a ? 1?2 ???a? 2 a 1 , 分三种情况(qíngkuàng)讨
?当a =(- ≤-2时，原式
a -2)-[-(
a-1)]=-a-2+a -1=-3;
?当-2＜a≤1时，原式 =(a+2)+( a-1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式 =(a +2)-( a-1)=3.
第九页，共28页。
考点讲练
初中(chūzhōng)阶段主要涉及三种非a负≥数0 ，：|a|≥0，
a2≥0. 如果(rúguǒ)若干个非负数0的，和那为么(nà me)这若干个
非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一 .
第十页，共28页。
考点讲练
例3 实数(as、hìbs在hù数) 轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化简：
y x xy
xy
? ?2
2 2 ?2
?
? 6.
1
第二十四页，共28页。
专题 3 类别思想
专题讲练
例3 阅读(yuèdú)材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子(shì zi)可以
? ? 写成另一个(yī ɡè)式子的平方3，? 2如2 ? 1 ? 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
第十五页，共28页。
考点讲练
例5 把两张面积(miàn18j的ī)正都方为形纸片各剪去一个(yī ɡè)面 为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照(ànzhào)如图所
示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸 盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解： S= ??（ 18 -
2 ）?
人教版八年级数学 下册：16章 二次根式 复习和小结【课件】(共16张PPT)
人教版 八年级 下册
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
人教版八年级数学下册第16章二次根式PPT复习课件
A． 5 个
C． 7 个
B． 6 个
D． 8 个
返回
考点
1
三个概念
概念3 最简二次根式
4．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
① 3a b ；
2
2 ② ； 5
2 xy ⑤ ； 2
③ x 2＋y 2 ；
⑥ 0.21 .
返回
④
6；
解：③④是最简二次根式，①②⑤⑥不是．
考点
2
四个性质
性质1
a
1 1 1 2 先化简，再求值： ＋ 2 ＋a －2 ，其中a＝ a a 5
.
甲同学的解法是：
－ a ＋ －a －a,10－ 原式 ＋ a a a a 5 5 a 乙同学的解法是： 1 1 1 1 2 1
2
49
原式
1 1 1 1 1 ＋ a－ ＋a－ a a a a a 5
9－2 2 2 7 2 2 14 2
返回
考点
4
两个技巧
技巧1 倒数法
15．比较 2019－ 2018 与 2018－ 2017 的大小．
解：
1 2019－ 2018
2019＋ 2018 2019－ 2018
2019＋ 2018
2019＋ 2018 2019 －
返回
考点
2
四个性质
性质3 积的算术平方根
3－a a＋1 成立的所有整数
11．能使得
3－a a＋1 =
5 a的和是________ ．
返回
12．化简：
(1) 500 ；
2015新人教版八年级下第16章《二次根式》复习ppt课件(16页)
图 21－1
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 二次根式的化简
例 3 设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，则下 列表示正确的是( C ) A．0.03ab B．3ab
C．0.1ab3 D．0.1a3b
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
开得尽方
的因数或因式．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 知识归类
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
被开方数相同
的二次根式进行合并．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
[解析] 两个以上的二次根式相乘与两个二次根式相乘的方 法一样，把它们的系数、被开方数分别相乘，根指数不变．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 考点攻略
3 5 解：(1)原式＝－ × ×2 10 3
5ab 2ac 15bc · · c b a
＝－ 5×2×15×3abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]· [1＋( 3－ 2)]＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
[解析] C
0.54＝
9×6 32· 3· 2 54 54 ＝ ＝ ＝ ，因为 100 10 10 10
ab3 2＝a， 3＝b，所以 0.54＝ ＝0.1ab3，故答案为 C. 10
数学·新课标（RJ）
人教版数学八年级下册 第16章 二次根式的复习 第2课时 课件
1995 a 0.
a 1995 a 2 000 a．
a 2 000 1995．
a 2 000 19952．
a 19952 =2 000．
若实数x，y满足 x 2 y 2 2 3 y 3 0，求xy 的值．
二
次
根
式
的
性
质
应
用
解：原式 144 25 169 13．
• 典型错误
1
化简： 4 .
3
被开方数为带分数形式，应转化为假分数的形式．
1
3 2
3．
解：原式 4
2 2
3
3
3
13
解：原式
3
39
39
．
2
3
3
• 典型错误
1
化简： ab a
.
a
进行乘除混合运算时，应严格按照从左到右的顺序进行．
了解二次根式、最简二
次根式的概念，会确定
二次根式有意义的条件；
理解二次根式的性质，
能根据性质对二次根
式进行变形；
了解二次根式的加、
减、乘、除运算法则，
会用运算法则进行简
单运算．
• 典型错误
化简：122 52 .
在化简时应按照运算顺序先求出被开方数，再求算术平方根．
解：原式 122 52 12+5 17．
3.5 c 4．
c的整数部分为3 .
3+2
7<2c<8
×2
1.5+
+1.5
+1.5
3.5<c<4.5
第16章二次根式复习课件-人教版八年级数学下册
x2 2x 1
B
考点二 二次根式的性质
(a 1) a 1 2
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
下列根式中，哪些是最简二次根式？
求下列二次根式中字母a的取值范围:
D 下列运算正确的是
考点二 二次根式的性质
（）
（２）当
时，
A.a 1 3个
B.
若1<a<3，化简
B.a 的结果是 . 1
A、2a-b
B、2c-b
A、2a-b
B、2c-b
C.a 1
D.a 1
考点二 二次根式的性质
ac
D
c a (a c b)2
考点二 二次根式的性质
( 3)2 ____3
x 1
(1 x)2 _x___1
(x 2)2 x 2
x2
考点二 二次根式的性质
| a | a2 b2 .
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √ 5 a 2a 2 √
6 a b a b 73 5m2 8 x2 1 √
考点一 二次根式的相关概念
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
解:((21))由由题题意意得得132aa20，0a， a1； 23；
2
5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
考点四 二次根式的运算及应用
若实数a,b满足 A、2a-b
B、2c(-b1)
8
12则
2. ;
当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;
(2)5 15
3 5
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习》优质公开课课件
2.二次根式的性质(2)：
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：
类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 ,
）仍然适用。
2
二、课前热身
1、
2、计算或化简：
①
②
?
3
③在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3、若 ，则实数a在数轴上的对应点一定在( ) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
题型1:二次根式有意义的条件
3.(2005.青岛)
有意义的条件是______
2.（2005.吉林）当 _____时， 有意义。
4.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
①
②
≤3
a=4
说明：二次根式被开方数大于等于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)
解得
解：由题意，得
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
变式应用
1.式子 成立的条件是（ ）
D
题型4:同类二次根式
1.下列与
是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
2.下列与
不是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
（题中 ）
B
D
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：
类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 ,
）仍然适用。
2
二、课前热身
1、
2、计算或化简：
①
②
?
3
③在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3、若 ，则实数a在数轴上的对应点一定在( ) A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点或原点左侧 D、原点或原点右侧
1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
题型1:二次根式有意义的条件
3.(2005.青岛)
有意义的条件是______
2.（2005.吉林）当 _____时， 有意义。
4.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
①
②
≤3
a=4
说明：二次根式被开方数大于等于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)
解得
解：由题意，得
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
变式应用
1.式子 成立的条件是（ ）
D
题型4:同类二次根式
1.下列与
是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
2.下列与
不是同类二次根式的有:( )
B.
C.
D.
A.
（题中 ）
B
D
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
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萨拉齐第四中学：郜志雁 2015.02.08
本章知识框架
本章总结提升
整合拓展创新
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a 中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
本章总结提升
例1 (1)
x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ 1 x＋2； 3 (2) x ＋2 ； x＋5 3－x .
本章总结提升
已知△ABC 的三边 a ，b ，c 满足 (a －5) ＋ b－5 ＋ B | c－1 －2|＝0，则△ABC 为( )
例 3
2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
抢答看谁最棒
本章总结提升
【针对训练】 5．[2013·广东 ] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4 ＝0，则 a2 ＝________． b
本章总结提升
例 4 计算：
1 3 (1) 20 × (－ 15 )÷－ 48 ； 2 3
(2) 18 －
9 3＋ 6 0 2 － ＋( 3 －2) ＋ （1－ 2） . 2 3
本章总结提升
例5
计算：(－3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
. 3＋ 2
2 a －3a＋1＝0， 所以 b＋1 ＝0，
1 1 1 2 2－ a ＋ ＝3，b＝－1，所以 a ＋ 2＝a＋ a a a
1 2＝3 －2＝7，所以 a ＋ 2－|b|＝ 7－1＝6. a
2 2
本章总结提升 ► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
图 16 －T－1
A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0， 则|a－b|－ a ＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
2
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►
类型之三
二次＝0 得到 a＝ b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x ＋ y ＝ 0； x ＋|y| ＝0； x ＋y2＋|z|＝0 等．
2
x＋1 (3) ； x－2
(4)
双人板演，选择练习
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[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于 0；②
分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
本章总结提升
【针对训练】
1 1．要使 3－x ＋ 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1 1 1 A. ≤x≤3 B．x≤3 且 x≠ 2 2 1 1 C. <x<3 D. <x≤3 2 2
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【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－ 1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0 ，∴原式＝1－x.
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4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a －b|－ a2 的结果是( C )
2 － × x2 . x
注意：引导分析X的取值范围
2 解：由题意知－ ≥0 ，∴ x<0，∴ x
2
2 － × x2 ＝ x
2 × －x
2× －x －2x （－x ） ＝ ×(－x)＝ × (－x)＝ ×(－x) 2 － x －x －x ＝ －2x.
2
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[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
[答案] 1
[解析 ] 由|a＋2| ＋ b－4 ＝0 可得 a＋2＝0， b－4＝0，解 a2 得 a＝－2，b＝4，所以 ＝1. b
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1 b 6． 若 a －3a＋1＋b ＋ 2b＋1＝0 ， 则 a ＋ 2－ ＝ ________． a
2 2 2
[答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1) 2 ＝ 0 ， 所 以
2 2 2
其中 a ＝1＋ 2 ，b＝1－ 2.
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[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分
母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将
分式的除法转化为乘法运算．
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【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10 ，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10 ，∴x－2＝－ 10 ， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x －4x－6 ＝x －4x＋4 －10＝(x－2) －10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10 －2)2－10＝10－10＝0.
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2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015
－1
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►
类型之二
二次根式性质的应用
2
对于形如 a 的二次根式的化简，用公式 a
2
a（a≥0）， ＝|a|＝ －a（ a<0）.
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例2
计算：
1
解：( －3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
1 3＋ 2
＝1－ 3 3 ＋ 2 －1＋ 3 － 2 ＝－2 3.
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【针对训练】
7． [2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2 － 3)－ 24－︱ 6 －3︱＝ 6 －3－2 6 －
(3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
本章总结提升 ► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时， 可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
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例6
a －b 2ab －b [2013·襄阳] 先化简， 再求值： ÷ －a ， a a
本章知识框架
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整合拓展创新
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a 中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
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例1 (1)
x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ 1 x＋2； 3 (2) x ＋2 ； x＋5 3－x .
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已知△ABC 的三边 a ，b ，c 满足 (a －5) ＋ b－5 ＋ B | c－1 －2|＝0，则△ABC 为( )
例 3
2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
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【针对训练】 5．[2013·广东 ] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4 ＝0，则 a2 ＝________． b
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例 4 计算：
1 3 (1) 20 × (－ 15 )÷－ 48 ； 2 3
(2) 18 －
9 3＋ 6 0 2 － ＋( 3 －2) ＋ （1－ 2） . 2 3
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例5
计算：(－3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
. 3＋ 2
2 a －3a＋1＝0， 所以 b＋1 ＝0，
1 1 1 2 2－ a ＋ ＝3，b＝－1，所以 a ＋ 2＝a＋ a a a
1 2＝3 －2＝7，所以 a ＋ 2－|b|＝ 7－1＝6. a
2 2
本章总结提升 ► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
图 16 －T－1
A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0， 则|a－b|－ a ＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
2
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►
类型之三
二次＝0 得到 a＝ b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x ＋ y ＝ 0； x ＋|y| ＝0； x ＋y2＋|z|＝0 等．
2
x＋1 (3) ； x－2
(4)
双人板演，选择练习
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[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于 0；②
分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
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【针对训练】
1 1．要使 3－x ＋ 有意义，则 x 应满足( D ) 2x－1 1 1 A. ≤x≤3 B．x≤3 且 x≠ 2 2 1 1 C. <x<3 D. <x≤3 2 2
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【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－ 1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0 ，∴原式＝1－x.
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4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a －b|－ a2 的结果是( C )
2 － × x2 . x
注意：引导分析X的取值范围
2 解：由题意知－ ≥0 ，∴ x<0，∴ x
2
2 － × x2 ＝ x
2 × －x
2× －x －2x （－x ） ＝ ×(－x)＝ × (－x)＝ ×(－x) 2 － x －x －x ＝ －2x.
2
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[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
[答案] 1
[解析 ] 由|a＋2| ＋ b－4 ＝0 可得 a＋2＝0， b－4＝0，解 a2 得 a＝－2，b＝4，所以 ＝1. b
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1 b 6． 若 a －3a＋1＋b ＋ 2b＋1＝0 ， 则 a ＋ 2－ ＝ ________． a
2 2 2
[答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1) 2 ＝ 0 ， 所 以
2 2 2
其中 a ＝1＋ 2 ，b＝1－ 2.
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[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分
母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将
分式的除法转化为乘法运算．
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【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10 ，试求代数式 x2－4x－6 的值．
解：方法一：∵x＝2－ 10 ，∴x－2＝－ 10 ， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x －4x－6 ＝x －4x＋4 －10＝(x－2) －10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10 －2)2－10＝10－10＝0.
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2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015
－1
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►
类型之二
二次根式性质的应用
2
对于形如 a 的二次根式的化简，用公式 a
2
a（a≥0）， ＝|a|＝ －a（ a<0）.
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例2
计算：
1
解：( －3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
1 3＋ 2
＝1－ 3 3 ＋ 2 －1＋ 3 － 2 ＝－2 3.
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【针对训练】
7． [2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2 － 3)－ 24－︱ 6 －3︱＝ 6 －3－2 6 －
(3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
本章总结提升 ► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时， 可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
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例6
a －b 2ab －b [2013·襄阳] 先化简， 再求值： ÷ －a ， a a