第十六章 二次根式 教学课件 PPT (全)1

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

（A）
A.x≥3
B.x≤3
C.x>3
D.x<3
2.若 x x 6 x(x 6), 则（ A ）
A.x≥6
B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和 (3x y 1)2 均为0.
7. 若等腰三角形底边长为 12cm，底边的高为 ( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
☞
回 顾
二 次 根
化
( a )2 a(a 0)
考点三 二次根式的实际应用
例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示 叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这 个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
S=
（
18-
2 ）
2
4
= （3
2-
2 ）
2
4
=2 2 2 4
=16．
针对训练
0a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除
乘法： a g b ＝__a_b___(a≥0，b≥0)； a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．

3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结

第十六章 二次根式
锦囊妙计 解决图案类的规律探究题的技巧
应先观察图案的变化趋势, 然后从第一个图案开始进行分析, 运用从特殊到 一般的探索方式, 分析、归纳出函数解析式, 最后用代入法求出特殊情况下 的函数值.
谢 谢 观 看！
第十六章 二次根式
锦囊妙计 列代数式的常用方法
(1)直接法：根据问题的语言叙述直接列出代数式. (2)公式法：根据公式列出代数式. (3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
第十六章 二次根式
分析 物体的总数等于各层物体数之和, 每层物体的个数和它的层数有关. 设物体 的总数为 y. 从上往下数, 第 1 层放 1 个, 第 2 层放 2 个, 第 3 层放 3 个, …, 第 n 层放 n 个, 即 y=1+2+3+…+n. 求 1+2+3+…+n 需要一定的技巧. ∵y=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n, 又∵y=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1, ∴2y=(n+1)+(n+1)+ …+(n+1)= n(n+1), ∴y=n(n2+1).
第十六章 二次根式
题型三 二次根式中被开方数的非负性的应用
例 题 3 若 b=
1-2a +
2a-1
-1-
1 2
,
则 代 数 式 (a-b)2020 的 值 为
____1_____.
第十六章 二次根式
分析
第十六章 二次根式
锦囊妙计 求二次根式中字母的取值的技巧

而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:

2. 当 x = -2时，求二次根式 2 1 x 的值. 2
随堂练习 2
2.当x 分别取下列值时，求二次根式 4 2 x 的值：
(1) x = 0； (2) x = 1； (3) x = -1.
变式练习：若二次根式 x 2 的值为3，求x 的值.
x = ±3
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
2
1 2
x
的值.
3. 若（ 2x4y)2 x4y0,求4x - y 的值.
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
已知a，b 为实数，且满足 a2b1，12b1 求a 的值.
（1）二次根式的概念; （2）根号内字母的取值范围; （3）二次根式的值.
作业
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
a 1，
1
1 a ， 1 a ，
(1 a )2 ，
3 2a a 1 .
作业
2. 当x = -2时，求二次根式
人教版八年级（下册）
第十六章二次根式
16.1二次根式(第1课时)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那 么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的 算术平方根. 用a(a0)表示.
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0 有一个平方根就是0本身； 负数没有平方根.

02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。

1 有意义,那么A(a, a
a)
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
(6) xy x, y异号 ,

(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2

3
在实数范围内,负数没有平方根
思 考
a和 a 是二次根式吗？
为什么？如果不是，请改正
根式为：a a 0
第十六章二次根式
16.1 二次根式
知识回顾
什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根. 什么叫算术平方根？
正数的正平方根和零的平方根，统称算术 平方根.
用 a (a 0)表示.
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根， 形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
a a 0
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零
掌握并应用二次根式的基本性质
当 a大于或等于0时 (
a )
2
= a
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算： 2 (1)( 12)
2 2 (2)( ) 3
பைடு நூலகம்
(3)( a b ) (a b 0)
2
已知 在第 二

答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时，下列根式有意义？
（1）
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（ a -1）≥2 0，得 a为任何实数．
初步应用 巩固知识
变式 a 取何值时，下列根式有意义？ （1） a2-2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
双重非负性
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6 ；
×
（2） a+10（ a ＞ 0） ； √
（3） a 2 + 1 ；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2）
x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
初步应用 巩固知识 5 ； √
（2） - 3 ； （3）3 2 1 ；
（4） x 2 + 1 ； √ （5） a-2（a ≥ 2）； √
（6） a-b（a＜ b）．

如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
a2 2500
s
b3

你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
1、都表示算术平方根 2、根号里面的式子都含有字母
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
所以，当x取任何实数时，1 x 2 有意义
例1
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2
解:由题 意3 a 2 0
得,
a2 3
(2)
1
1 2a
解:由题意得,
1
1
2a
0
1 2 a 0
1 2a 0
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得,
(a 3)2 0 a 可取全体实数
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
代 数 式 a (a 0 )叫 做 二 次 根 式 .

(3) x2 1 (4) x2
基本要求
些
(5) 1 x
先给出难度级别：
做好知识扩展
难
(6) x
度
2x 1
略高要求 (7)
3x 1 1 x
(8) 2x
1 x
x 1
(9)
x 5 (x 6)0
(10) 2 1 x
较高要求
（2）设计综合题：增强学生对解题技巧的认识
例：（1）已知a2 b 2 4a 4,求 ab的值； （2）若 10 - n是正整数，则n的最大整数值是？ （3）当x取何值时，9x 1 3的值最小，最小值是多少？ （4）已知实数a,b,且 1 a (b 1) 1 b 0,求a2018 b2019 ?
2
b ab
又
2
ab ab
2
2
a b ab
a b 0, ab 0
a b ab 推理能力
（2）注重类比思想
合并同类项 →（合并同类二次根式）二次根式的加减运算
12 27 2 3 3 3 (化简：二次根式的性质）
(2 3) 3 （合并：分配律的逆用）
5 3
（整式加减：整式加减法则）
aa a
6、根据学生情况适当进行补充
（1）代数式书写要求： 1、数字和字母相乘，通常省略乘号，并把数字写在字母的前面； 2、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写； 3、后面接单位的相加（或相减）的式子要用括号括起来； 4、除法运算写成分数形式； 5、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式； 6、相同的因式，写成乘方的形式.
试化简 a2 b2 a b2 b 12 a 12
3、开展探究活动
（1）开展探究交流 （2）加强实际应用 （3）亲密数学文化 （4）开展数学活动