2020-2021学年河北大名县第一中学高二上学期12月考数学(理)试题Word版含答案

17届高二年级12月月考文 科 数 学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是（ ） A.,11a b a b >-≤-若则 B.若b a ≥，则11-<-b a C.,11a b a b ≤-≤-若则 D.,11a b a b <-<-若则 2、等差数列-3，1，5，…的第15项的值是（ ） A ．40B ．53C ．63D ．763、不等式102x x+≤-的解集为（ ） A .{|12}x x -≤≤ B .{|12}x x -≤< C .{|1x x ≤-或2}x ≥ D . {|1x x ≤-或2}x >4、抛物线为24x y =的准线方程为（ ）A 、1=xB 1-=xC 161=y D 161-=y 5、在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．456、12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．217、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A ．2,3260,0y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩ B ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．2,3260,0y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩8、曲线191622=+y x 与曲线)90(116922<<=-+-m my m x的关系是（ ） A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、有相等的长、短轴 9、“1-<x ”是“02>+x x ”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知A=3π,a=3,b=1, 则c= （ ） A. 1 B. 2 C. 3-1 D. 3 11、在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则 C cos 的值为（ ） A ． 41-B ．41C ．32-D ．32 12、已知抛物线x y 42=的准线过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点且与双曲线交于A 、B两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为23，则双曲线的离心率为（ ） A ．23B ．4C 、3D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上. 13、已知命题:p x ∀∈R ，02>x，则:p ⌝14、已知x ，y 满足约束条件 50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z -=3的最小值为______________ 15、若方程11222=-+-k y k x 表示的图形是椭圆，则k 的取值范围为 ． 16、设矩形()AD AB ABCD >的周长为24，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，则△ADP 的面积最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）叙述并证明余弦定理。

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线240x by +-=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则b 的值为（ ）A ．2B ．－2C ．－3D ．32．连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ）A ．13B ．25C ．29D ．493．下表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是3.05ˆyx =+，则a 等于（ ） A ．6 B ．6.05 C ．6.2 D ．5.954．已知()()231f x x xf '=+，则()2f '=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1206．如图，双曲线C ：221910x y -=的左焦点为1F ，双曲线上的点1P 与2P 关于y 轴对称，则2111P F PF -的值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．87．方程(20x y +-=表示的曲线是（ ）A ．一个圆和一条直线B ．半个圆和一条直线C ．一个圆和两条射线D ．一个圆和一条线段 8．若椭圆()2210,0mx ny m n +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．2二、多选题9．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．4m =C ．可以预测，当11x =时，y 约为2.6D ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,410．下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α 11．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论正确的是（ ）A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是|1{m m m ∈<或9}m > B ．方程2(3)0x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{01}m mm ∈<≤∣ C ．方程2(3)0x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{01}m mm ∈<≤∣ D ．方程2(3)0x m x m +-+=无实数根的必要条件是{|1}m m m ∈>12．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）三、填空题13．抛物线24y x =的准线方程为______.14．已知()03f x '=，则()()0002lim x x x f x f x∆→+∆-=∆______. 15．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为____________16．若点(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则PQ 的最小值为__________．四、解答题17．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，()0a >；命题:q 实数x 满足()()320x x --≥.（1）若1a =，p ，q 均为真命题，求x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)--（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 19．某食品厂为了检测某批袋装食品的质量，从该批食品中抽取了一个容量为100的样本，测量它们的质量（单位：克）．根据数据分为[)92,94，[)94,96，[)96,98，[)99,100，[)100,102，[)102,104，[]104,106七组，其频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这批袋装食品质量的中位数．（保留一位小数） （2）记产品质量在[)98,102内为优等品，每袋可获利5元；产品质量在[)92,94内为不合格品，每袋亏损2元；其余的为合格品，每袋可获利3元．若该批食品共有10000袋，以样本的频率代替总体在各组的频率，求该批袋装食品的总利润．20．已知函数()()321233f x x x x m m R =-++∈. （1）若曲线()y f x =的图象与x 轴相切，求m 的值；（2）求曲线()y f x =斜率最小的切线方程.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点（1）求证：//AN 平面PBC ．（2）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值（3）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在求出DM DP的值，若不存在说明理由. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点12(2,1),,P A A 分别是椭圆C 的左右顶点，且直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若直线PM 与直线PN 斜率之积为1，试问直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．参考答案1．D【分析】根据题中条件，得到直线过圆心，进而可求出结果.【详解】因为直线240x by +-=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，所以直线240x by +-=过该圆的圆心，又圆222410x y x y ++-+=的圆心坐标为()1,2-，所以()21240b ⨯-+⨯-=，解得3b =.故选：D.2．C【分析】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足2217x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆2217x y +=内部的概率.【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足2217x y +<，故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，故点P 在圆2217x y +=内部的概率是82369=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.3．C【解析】由题中数据可得1234545716,4244a a x y +++++++====，即样本中心为：516(,)24a +. 代入回归方程 3.05ˆyx =+，得：16a 5 3.0542+=+，解得 6.2a =. 故选C.点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出a 的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.4．A【分析】对函数求导，并令1x =代入可求得()1f '.将()1f '的值代入()f x '可得导函数()f x '，即可求得()2f '的值.【详解】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+， 令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，则()11f '=-，所以()()23123f x x x '=+⨯-=-，则()22231f '=⨯-=，故选：A.【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意()1f '为常数，属于基础题. 5．A【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11AC BC AA ===，则()11,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()11,0,1=--AC ， 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，由11100n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =， 所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,22n A C n A C n A C ⋅<>==-⋅， 所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30. 故选：A.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.6．C【分析】设双曲线的右焦点为2F ，连接22P F ，根据双曲线的对称性得到1122PF P F =，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为2F ，连接22P F ，因为双曲线上的点1P 与2P 关于y 轴对称，根据双曲线的对称性，可得1122PFP F =， 所以21112122236P F PF P F P F -=-=⨯=.故选：C .7．C【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为2290x y +-=或222090x y x y +-=⎧⎨+-⎩，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线20x y +-=在圆2290x y +-=外面的两条射线，如图所示．【详解】解：22(2)0x y x y +-+-变形为：2290x y +-=或222090x y x y +-=⎧⎨+-⎩， 表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线20x y +-=在圆2290x y +-=外面的两条射线，如右图． 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键． 8．B 【分析】把1y x =-代入椭圆221mx ny +=得()2211mx n x +-=，由根与系数的关系可以推出线段AB 中点坐标为,n m m n m n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，再由原点与线段AB 中点的连线的斜率为12，能够算出12m n =，进而利用离心率的计算公式求出即可. 【详解】解：把1y x =-代入椭圆221mx ny +=得()2211mx n x +-=，整理得()2210m n x nx n +-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122n x x m n +=+，1222ny y m n+=-+. ∴线段AB 中点坐标为,nm m n m n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，∴原点与线段AB 中点的连线的斜率12mm m n k n n m n+===+.由椭圆22111x y m n+=，可知21a m =，21b n =，则22211c a b m n=-=-.则椭圆的离心率2e ====. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的性质及其应用，考查转化的思想，属于中档题. 9．ACD 【分析】根据回归直线斜率知A 正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得m ，可知B 错误，D 正确；将11x =代入回归直线知C 正确. 【详解】对于A ，由ˆ0.710.3yx =-+得：ˆ0.7b =-，故,x y 呈负相关关系，A 正确； 对于B ，68101294x +++==，6321144m m y ++++==，110.7910.34m +∴=-⨯+，解得：5m =，B 错误； 对于C ，当11x =时，0.71110.3 2.6y =-⨯+=，C 正确；对于D ，由5m =知：4y =，回归直线必过点(),x y ，即必过点()9,4，D 正确. 故选：ACD. 10．ABD 【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A 、B ，若直线的方向向量与平面α的法向量垂直，则线面平行，可判断C ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D ．【详解】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对； 对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n en=5==，则则直线l 与平面α所成角的正弦值为D 对； 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题． 11．CD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可. 【详解】在A 中，二次方程有实数根，等价于判别式()2340m m ∆=--≥，解得1m 或9m ≥，即二次方程有实数根的充要条件是|1{m m m ∈≤或9}m ≥，故A 错误；在B 中，二次方程有一正一负根，等价于()23400m m m ⎧-->⎪⎨<⎪⎩，解得0m <，方程有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<，故B 错误；在C 中，方程有两正实数根，等价于()234030,0,m m m m ⎧∆=--≥⎪->⎨⎪>⎩解得01m <≤，故方程有两正实数根的充要条件是{01}m mm ∈<≤∣，故C 正确；在D 中，方程无实数根，等价于()2340m m ∆=--<得19m <<，而{}{}191m m m m <<⊆>，故{|1}m m m ∈>是方程无实数根的必要条件，故D 正确； 故选：CD ． 【点睛】结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的充分条件，则p 可推出q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集； （2）若p 是q 的必要条件，则q 可推出p ，即q 对应集合是p 对应集合的子集； （3）若p 是q 的充要条件，则p ，q 可互推，即p 对应集合与q 对应集合相等. 12．ACD 【分析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，QNF S =△.【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON ==142QNF S =⨯=△.故选：ACD. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题. 13．116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程 14．6 【分析】根据导数的定义，将所求的式子用0()f x '表示，即可求解. 【详解】()()0002limx f x x f x x ∆→+∆-∆()()00022lim2x f x x f x x∆→+∆-=∆02()6f x ='=.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用导数的定义求值，要注意函数值的变化量和自变量的变化量要一致，属于容易题.15．6- 【分析】记椭圆221:143x y C +=的左焦点为()1,0E -，由椭圆定义，得到24PE PF a +==，再由圆的方程，得到圆2C 的圆心为()3,4-，半径为2r，画出图形，结合图形，得到22466PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-，即可求出结果.【详解】记椭圆221:143x y C +=的左焦点为()1,0E -，由椭圆的定义可得，24PE PF a +==，所以4PQ PF PQ PE -=+-， 由2268210x y x y ++-+=得()()22344x y ++-=，即圆2C 的圆心为()3,4-，半径为2r ，作出图形如下：由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，2246666PQ PF PQ PE PC PE EC -=+-≥+-≥-==（当且仅当2,,,C Q P E 四点共线时，等号成立.）故答案为：6.【点睛】 思路点睛：求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果. 16．【解析】设直线y x m =+与曲线23ln y x x =-+相切于()00,P x y ，由函数23ln y x x =-+，可得32y x x'=-+，令00321x x -+=，又00x >，解得01x =，即有013ln11y =-+=-，可得切点()1,1P -，代入11m -=+，解得2m =-，可得与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线2y x =-，而两条平行线2y x =+与2y x =-的距离d ==即有PQ的最小值为点睛：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题；设出切点，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点，求出与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线y x m =+，再求出此两条平行线之间的距离，即可得出. 17．（1）[)2,3；（2）()1,2. 【分析】解一元二次不等式求出p ，q 均为真命题时x 的取值范围. （1）将1a =代入，根据交集运算求解即可； （2）根据题意，q 是p 的充分不必要条件，只需233a a <⎧⎨>⎩，解不等式即可求解.【详解】解：由题意得，当p 为真命题时，3a x a <<； 当q 为真命题时，23x ≤≤（1）若1a =时，若p ，q 均为真命题，则1323x x <<⎧⎨≤≤⎩解得23x ≤<，所以x 的取值范围为[)2,3.（2）若q 是p 的充分不必要条件，则233a a <⎧⎨>⎩得12a <<， 所以实数a 的取值范围为()1,2. 【点睛】根据充分、必要条件求参数范围的方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解；（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.18．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-. 【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题. 19．（1）99.6；（2）35600元. 【分析】（1）根据频率分布直方图中的中位数在长方形面积为0.5的地方取得得解． （2）求出批食品中优等品、不合格品、合格品的袋数得总利润. 【详解】（1）因为(0.020.040.12)20.360.5,0.360.0920.540.5++⨯=<+⨯=>， 所以样本质量的中位数在[98,100)内．设样本质量的中位数为m ，则980.0920.360.52m -⨯⨯+=， 解得99.6m ≈，故这批袋装食品质量的中位数为99.6．（2）由题意可得，这批食品中优等品有10000(0.090.10)23800⨯+⨯=袋， 这批食品中不合格品有100000.022400⨯⨯=袋， 这批食品中合格品有1000038004005800--=袋．故该批袋装食品的总利润为3800558003400235600⨯+⨯-⨯=元．【点睛】频率分布直方图中的中位数求法在长方形面积为0.5的地方取得是解题关键,属于基础题. 20．（1）0m =或43-；（2）83y x m =-++. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，设切点为(),0a ，由0fa ，求得a 的值，进而得到m 的方程，可解得m 的值；（2）求得()y f x =的导数，利用配方法可得导数的最小值，以及切点，由点斜式方程可得所求切线的方程． 【详解】 （1）函数()321233f x x x x m =-++的导数为()243f x x x =-+'， 设切点为(),0a ，可得()2430f a a a '=-+=，解得1a =或3a =， 当1a =时，则()4103f m =+=，可得43m =-；当3a =时，()30f m ==. 综上可得0m =或43-； （2）()()224321f x x x x '=-+=--，当2x =时，()y f x '=的最小值为1-， 可得切点为22,3m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时切线的方程为()223y m x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即为83y x m =-++. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题． 21．（1）证明见解析；（2）23；（3）存在M ，且23DM DP =. 【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）证明：过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分別以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ， N 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则112,,22AN ⎛⎫=- ⎪⎭， 设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z =，(0,1,1)BP =-，(2BC =， 则0220m BP y z m BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，，令1y =，解得：()0,1,1m =.11022AN m =∴⋅=-+，即AN m ⊥， 又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，(21,0)AD =-， 所以0220AP n c AD n a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1a =，解得(1,22,0)n =. 所以2cos ,32m nm n m n ⋅===⋅⨯. 即平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为23. （3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(22,1,)(x y z λ-+=-，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =8CM m CM m λ⋅==， 化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =. 【点睛】 方法点睛：本题考查线面平行的证明，及线面角，面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a ba b θ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a ua u θ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u vu v θ⋅=22．（1）22163x y +=；（2）过定点，定点为(6,3)-. 【分析】（1）设12,A A 坐标分别为(,0),(,0)a a-，由1221142PA PA k k a ⋅==--，可得a =据过点(2,1)P ，带入即可得解；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，带入椭圆方程22163x y +=整理可得：222(1)4260k x kbx b +++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，所以2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++，根据条件带入整理即可得解，当直线l 的斜率不存在时，直接求解即可，综合考虑即可得解.【详解】（1）易知12,A A 坐标分别为(,0),(,0)a a -， 则12211112242PA PA k k a a a ⋅=⋅==-+--，解得a =(2,1)P 为2222:1x y C a b+=上一点， 可得22411a b+=，b = 所以椭圆C 的方程为22163x y +=； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 带入椭圆方程22163x y +=整理可得：222(1)4260k x kbx b +++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ， 所以2121222426,1212kb b x x x x k k-+=-=++， 121211122MP NP y y k k x x --⋅=⋅=--，整理可得：12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=， 11y kx b =+，22y kx b =+，带入整理可得：221212(1)(2)()230k x x kb k x x b b -+-+++--=，2121222426,1212kb b x x x x k k-+=-=++带入可得： 22222264(1)(2)()2301212b kb k kb k b b k k --+-+-+--=++， 整理可得：22212823012k b kb b k----+=+， 即22128230k b kb b +++-=，(21)(63)0k b k b +-++=，所以210k b +-=，此时直线方程为21y kx k =-+过定点(2,1)，舍去，或630k b ++=，此时直线方程为63y kx k =--，过定点(6,3)-，当斜率不存在时设直线方程为x t =（t <，带入椭圆方程可得22260y t +-=， 所以120y y +=，21262t y y -=，12x x t ，同理由12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=可得：解得2t =（舍去）或6t =，此时6x =也过定点(6,3)-，综上可得直线l 过定点，定点为(6,3)-.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定点问题，考查了利用韦达定理解决圆锥曲线问题，计算量较大，属于难题.本题几个关键点如下：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决直线和圆锥曲线的最重要的方法，体现了转化思想；（2）计算能力和计算技巧，在解决圆锥曲线问题时，计算能力和计算技巧至关重要.。

河北省大名县第一中学2021届高三数学12月月考试题 文一、单选题(每题5分，共60分） 1．设集合{}1A x y x ==-，集合{}220B x x x =->，则()R A B ⋂等于（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．∅2．已知复数11iz i+=-，则i z +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 3．若sin 78m =，则sin 6=（）A ．12m + B ．12m- C ．1m + D ．1m- 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁5．在ABC ∆中，60,3,2BAC AB AC ∠=︒==，若D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则BE AC ⋅=（ ）A ．54-B ．12-C ．43D ．43-6．执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出,a b 的值分别为（ ） A ．sin1,cos1B ．sin1,sin1C ．cos1,cos1D ．cos1,sin17．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．（6题图）8．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）A 2 B 3 C ．2D 59．已知函数()2sin cos (0)66f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图像上各点向左平移6π个单位长度得到函数()g x ，则()g x 的一条对称轴为（ ） A ．0x = B ．3x π=C ．2x π=D ．34x π=10．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与直线222x a b +=相切，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．223B 33．2211．三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形.若球O 的表面积为16π，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．93B ．33C ．23D ．3312．已知对任意的21[,e ]ex ∈，不等式2e x ax >恒成立（其中e 2.71828=是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e (0,)2 B ．(0,e) C ．(,2e)-∞- D ．24(,)e-∞二、填空题（每题5分，共20分） 13．抛物线212y x =的准线方程是_____. 14．已知1x =是函数2()()xf x x ax e =+的一个极值点，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为__________．15．若,x y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则2y z x +=的取值范围为___________．16．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为__________． 三、解答题17．已知数列{}n a 满足()*1102n n a a n N +-=∈，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()*11111n n n b n N a a +=-∈--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 18．在ABC ∆ C 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,A B C 成等差数列． （1）若32AB BC ⋅=-， 3b =，求a c +的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围． 19．如图，在三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，D 为BC 上一点，24AC AB ==，7BD CD ==.（1）证明：AD ⊥平面PAB .（2）若A 到PB 的距离等于AD ，求三棱锥P ABC -的体积.20．某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现可用线性回归模型拟合当地该商品销量y （百件）与返还点数t 之间的相关关系. 请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+，并预测若返回6个点时该商品每天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整. 已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（ⅰ）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X 的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0. 1）；（ⅱ）将对返点点数的心理预期值在[)1,3和[)11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，设抽出的2人中，至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少？ 参考公式及数据：①1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑，a y bt =-；②5118.8i ii t y==∑.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆O ：222(0)x y r r +=>与x 轴交于点M ，N ，P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程； （2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点A ，B ，求AB 的取值范围.22．已知函数()ln f x x ax =+(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当0a <时，求函数()f x 的零点个数．参考答案CDBCA DACDD AA13．12y =- 14．32- 15．4(,2],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 16．317．（1）2nn a =（2）213n T -<≤-【详解】 （1）由1102n n a a +-=知()*12,n n a n N a +=∈∴数列{}n a 是等比数列，且公比为2q =. 234,2,a a a +成等差数列，()()32411122,24228a a a a a a ∴+=++=+ 12a ∴= 2n n a ∴=（2）122311111111n T a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪⎪----⎝⎭⎝⎭ 11111111111n n n a a a a ++⎛⎫+⋯+-=- ⎪----⎝⎭ 1111111221n n ++=--=---易知n T 单调递减，123n T T ∴≤=- 当n →+∞时， 1n T →-n T ∴的取值范围为213n T -<≤-18．（1）2）(. 【详解】（1）因为,,A B C 成等差数列，所以3B π=．因为32AB BC ⋅=-，所以3cos()2ac B π-=-，所以1322ac =，即3ac =．因为b =2222cos b a c ac B =+-，所以223a c ac +-=，即2()33a c ac +-=．所以2()12a c +=，所以a c += （2）22sin sin 2sin()sin 3A C C C π-=--＝1sin )sin 2C C C C =+-=．因为203C π<<(C ∈．所以2sin sin A C -的取值范围是(． 19．（1）见解析；（2）4 【详解】（1）证明：在ABC ∆中，24AC AB ==，BD CD ==2cos7ABC ∠==，所以在ABD ∆中，2472237AD =+-⨯=，故AD =因为222437AB AD BD +=+==，所以AB AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABC ，所以PA AD ⊥， 又PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB .（2）过点A 作AE PB ⊥，垂足为E ，则AE AD ==.在Rt PAB ∆中，设PA a =，则PB .因为AB AP PB AE ⨯=⨯，则2a ()22434a a =+，解得212a =，所以PA a ==所以13P ABC ABC V S PA -∆=⨯⨯123ABD S PA ∆=⨯⨯1122432=⨯⨯⨯=.20．（1）0.320.08y t =+，2百件.（2）平均数为6，中位数为5.7；（ⅱ）35【详解】 （1）123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====，522222211234555ii t==++++=∑，()()()551155222211518.853 1.04ˆ0.3255553ii i i i i i ii i tty y t y t ybt t tt ====----⨯⨯===-⨯--=∑∑∑∑，ˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=， 则y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，当6t =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i ）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x ，及中位数的估计值分别为：20.140.360.380.15100.1120.056x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 中位数的估计值为10020602525 5.7603--+⨯=+≈（ⅱ）由题可知，6人中“欲望紧缩型”消费者人数为：2643⨯=人，“欲望膨胀型”消费者人数为：1623⨯=人，则抽出的两人中至少有1人是“欲望膨胀型”消费者的概率是：1124222635C C C p C +== 21．(1) 圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2). 详解：(1)因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b y b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=. 当0y b =时，()12PMN max S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =.所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得331,,1,,322A B AB ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m A x kx m B x kx m =+++. 因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()()22221212228412484348320,,4343km m k mk x x x x k k -∆=+-=+>+=-=++.243AB k ==+=令2134t k =+，则2130344t k <=≤+，所以AB43t <≤，所以AB，所以33AB <≤. 综上，AB 的取值范围是⎡⎢⎣⎦.22．（1）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a-上递增，在1(,)a -+∞上递减． （2）当1a e <-时，函数()f x 没有零点；当1a e=-时，函数()f x 有一个零点；当10a e-<<时，函数()f x 有两个零点．【详解】()f x 的定义域为()0,+∞．(1)()11'ax f x a x x+=+= ， ①当0a ≥时，()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a <时，令()'0f x =，则1x a=-， 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，()'0f x >，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减． (2) 由(1)可知，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．故()max 111f x f ln a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当11ln a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1a e <-时，10f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时函数()f x 没有零点． ②当11ln a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1a e =-时，10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时函数()f x 有一个零点． ③当11ln a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即10a e -<<时，10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令01b <<且1b a<-，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故()f x 在1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点； 再者，22111112f ln ln a a a a a⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1t a =-，则(),t e ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，(),t e ∈+∞ 则()2'10g t t=-<，故()g t 在(),e +∞上单调递减，故()()20g t g e e <=-<，210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故2110f f a a ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在211,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．综上所述：当1a e <-时，函数()f x 没有零点；当1a e=-时，函数()f x 有一个零点；当10a e-<<时，函数()f x 有两个零点．。

2019年12月月考数学试题考试范围：选修2-1，2-2（第一章）一、选择1.在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由0AB AC ⋅<可得出角A 为钝角，然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系. 【详解】cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，cos 0A ∴<，则A 为钝角，∴“0AB AC ⋅<”⇒“ABC ∆是钝角三角形”，另一方面，“ABC ∆是钝角三角形”⇒“A 是钝角”.因此，“0AB AC ⋅<”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，要结合充分条件与必要条件的定义来判断，考查推理能力，属于中等题.2.命题“对x R ∀∈，都有20x ≥”的否定为（ ） A. 对x R ∀∈，都有20x <B. x R ∃∉，使得20x <C. 0x R ∃∈，使得200x <D. 0x R ∃∈，使得200x ≥【答案】C 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对x R ∀∈，都有20x ≥”的否定为：0x R ∃∈，使得200x <．故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 3.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C. 命题“0x R ∃∈，001x ex ≤+”的否定为“x R ∀∈，1x e x >+”D. 若a b b c ⋅=⋅，则a b = 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明A 错误；由复合命题的真假判断B ；写出特称命题的否定判断C ；由向量的数量积的定义判断D ．【详解】解：对于A ，命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是“若a b <，则22am bm <”，是假命题，如20m =时，22am bm =，故A 错误；对于B ，命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少一个为真命题，故B 错误；对于C ，命题“存在000,1xx Re x ∈+”的否定为：“对x R ∀∈，1x e x >+”，故C 正确；对于D ，若a b b c ⋅=⋅，则12cos cos a b b c θθ⋅=⋅，当0b ≠时即12cos cos a c θθ=可得,a c 在b 方向上的投影相等，无法得到a b =，当0b =时，00m ⋅=（m 为任意向量），同样无法得到a b =，故D 错误．故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．4.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为（ ）【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，APF ∴∆的周长为1122PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2a AF +是定值，要使APF ∆的周长最小，则1PA PF +最小，即P 、A 、1F 共线，()0,66A ，()13,0F -，∴直线1AF 的方程为1366x +=-， 即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-（舍），所以P 点的纵坐标为26，111166662612622APF AFF PFF S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.故选C.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点P 的坐标是关键．5.设A 、B 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点，P 、Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若1mn =-，则双曲线C 的离心率e 是（ ）【答案】A 【解析】 【分析】设点()00,P x y ，则点()00,Q x y -，由点P 在双曲线C 上得出()2220220a ay b x =-，然后利用斜率公式得出221b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率.【详解】设点()00,P x y .则()00,Q x y -，00AP y m k x a ∴==+，00BQy n k x a ==--， 则20220y m n a x ⋅=-，又2200221x y a b -=，即()2220220a ay b x =-，()2222022220b x a b a mn a x a-∴==--， 由1mn =-有a b =，c e a ===C.故选A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也考查双曲线方程的应用，解题的关键在将点横坐标与纵坐标通过点的坐标满足双曲线方程建立等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.6.设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P为直线54a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A.58B.4C.34D.2【答案】A 【解析】 【分析】 设直线54a x =与x 轴交于点Q ，由已知得225||2||222aPF QF c c ==-=，由此能求出椭圆C 的离心率．【详解】解：如图，设直线54ax =与x 轴交于点Q ， 由已知得121230PF F F PF ∠=∠=︒，160PF Q ∠=︒，PQ x ⊥轴， 212||||2PF F F c ∴==，P 为直线54a x =上一点，25||4aQF c ∴=-， 225||2||222aPF QF c c ∴==-=， 58a c ∴=，∴椭圆C 的离心率为58ce a ==．故选A ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用．7.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ）A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+D.12a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可． 【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．8.二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD ，则该二面角的大小为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】根据二面角定义即求〈AC,BD 〉,利用向量的模以及数量积定义可得结果. 【详解】由已知可得，0,0,AB AC AB BD CD CA AB BD ⋅=⋅==++2222||222CD CA AB BD CA AB AB BD BD CA ∴=+++⋅+⋅+⋅＝32＋22＋42＋2×3×4cos 〈CA,BD 〉＝17， ∴cos 〈CA,BD 〉＝－12，即〈CA,BD 〉＝120°， ∴二面角的大小为60°， 故选:B【点睛】本题考查利用向量求二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 9.长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】 【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21xa x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤可化()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=, 则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 11.函数1ln y x=的大致图象可能是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数过点(),1e 排除A ，求导根据函数的单调性排除BC 得到答案. 【详解】取x e =，得到1y =，即函数过点(),1e ，排除A ； ()211'ln ln y y x x x =∴=-,0x >且1x ≠ 当1x >时，函数单调递减；当01x <<时，函数单调递减，排除BC . 故选D【点睛】本题考查了函数的图形的识别，意在考查学生对于函数性质和图像的灵活运用. 12.已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()f x f x '<恒成立，则( )A. ()()201902019e f f > B. ()()20192020f ef < C. ()()201902019ef f <D. ()()20192020ef f >【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数判断函数()y g x =的单调性，并比较()0g 与()2019g 、()2020g 与()2019g 的大小关系，可得出正确选项.【详解】构造函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，()()f x f x '<，则()0g x '>， 所以，函数()y g x =在R 上为增函数. 则()()02019g g <，即()()201920190f f e<，所以，()()201902019e f f <； ()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f e e>，所以，()()20192020ef f <， 故选C.【点睛】本题考查利用函数单调性比较函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13.设():00x a a α<<>，:83x a β<-，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围为____________. 【答案】(]0,2 【解析】 【分析】由α是β的充分条件得，()()0,,83a a ⇒-∞-，列不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】解：由α是β的充分条件得，()()0,,83x a x a ∈⇒∈-∞-， 083a a ∴<≤-，解得：02a <≤， 故答案为(]0,2【点睛】本题考查充分条件的判断，转化为集合之间的包含关系问题，是基础题.14.如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===AB AD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．2【解析】 【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯2=，12AC ∴=2．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 15.已知点()2,P y 在抛物线24y x =上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用焦点弦长的性质即可得出． 【详解】点(2,)P y 在抛物线24y x =上，P ∴点到焦点F 的距离213=+=．故答案为：3．【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题．16.已知关于x 的不等式()3ln 2x x λ-≤有解，则整数λ的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】令函数()()3ln f x x x =-，利用导数求出函数()y f x =的最小值，即可得出整数λ的最小值.【详解】构造函数()()3ln f x x x =-，则()33ln ln 1x f x x x x x-'=+=-+， ()2130f x x x''=+>对任意的0x >恒成立，所以，函数()y f x '=在()0,∞+上单调递增. 33ln 1022f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()12ln 202f '=->.由零点存在定理知，存在3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()3ln 10f t t t '=-+=.当0x t <<时，()0f x '<；当x t >时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在x t =处取得最小值， 即()()()()()2min3393ln 316t f x f t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫==-=--=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由双勾函数的单调性可知，函数96y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以，当322t <<时，391622t t ⎛⎫-<-+<- ⎪⎝⎭， 0x ∃>，使得()3ln 2x x λ-≤，926t tλ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭，因此，整数λ的最小值为0. 故答案为0.【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题17.设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）3π【解析】 【分析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作//FH AD交PA于H，连接BH13PF PD=113HF AD∴==又//AD BC且1BC=//HF BC∴且HF BC=∴四边形HFCB 为平行四边形//CF BH∴BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB//CF∴平面PAB（2）PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD PB BC∴⊥又AD AB⊥，//AD BC AB BC∴⊥则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0B，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,3,0A()3,3,3PD∴=-，()0,3,3PA=-，()3,3,0BD =设平面PAD法向量()1111,,n x y z=则11111113330330n PD x y zn PA y z⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z=，则11y=，1x=()10,1,1n∴=设平面PBD的法向量()2222,,n x y z=则22222223330330n PD x y zn BD x y⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21x=，则21y=-，2z=()21,1,0n∴=-1212121cos ,222n n n n n n ⋅∴<>===-⨯ 122,3n n π∴<>=二面角B PD A --为锐二面角 ∴二面角B PD A --的大小为3π【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.19.如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，122AB BC PA PC ====，120ABC ∠=︒．（1）证明：PA BC ⊥；（2）设点E 为PC 中点，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；21 【解析】 【分析】(1)由题可利用余弦定理计算AC ,再利用勾股定理证明PA AC ⊥,进而得到PA ⊥平面ABC ,进而证明PA BC ⊥(2)由(1)可知PA ⊥面ABC ,故可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出AE 对应的向量与面PBC 的法向量即可求得AE 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】(1) 2AB BC ==,120ABC ∠=︒,由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=,故23AC =又22241216PA AC PC +=+==,故PA AC ⊥.又平面PAC ⊥平面ABC ,且平面PAC 平面ABC AC =,故PA ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ,故PA BC ⊥.证毕.(2)由(1)有PA ⊥平面ABC ,故以A 为坐标原点,垂直,AC AP 为x 轴,AC 为y 轴正向,AP 为z 轴正向建如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ,3,0)B ,(0,0,2)P ,(0,23,0)C ,3,1)E . 故(0,3,1)AE =,(0,23,2)PC =-,(3,0)BC =-,设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =则23200030z m PC m BC x y ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩, 令1y =有313x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ,故(3,1,3)m =,设AE 与平面PBC 所成角为θ,则()()()22222321sin 731313AE m AE mθ===+++故答案为：217【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法. 一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可.20.已知函数()ln(1)f x x =+与函数2()g x x ax b =++在0x =处有公共的切线. （1）求实数a ，b 的值；（2）记()()()F x f x g x =-，求()F x 的极值.【答案】（1）1a =，0b =．（2）极大值为0；无极小值． 【解析】（1）分别对()f x ，()g x 求导，然后根据题意可得(0)(0)f g ''=，()()00f g =，即可求解a ，b 的值；（2）根据（1）可知函数()F x 的解析式，然后求导，列出()F x '，()F x 的变化情况表，根据函数单调性即可求解. 【详解】（1）()11f x x '=+，()2g x x a '=+， 由题意得()()00f g '='，()()00f g =， 解得1a =，0b =.（2）()()()()2ln 1F x f x g x x x x =-=+--，()()23121(1)11x x F x x x x x -+=--=>-++'， ()F x '，()F x 的变化情况如下表：由表可知，()F x 的极大值为()00F =，无极小值.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及函数的极值，注意认真计算，规范书写，属基础题.21.已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．【答案】（1）2215x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得a =，由离心率公式可得c ，再由,,a b c 的关系可得b ，即可得到所求的椭圆方程；（2）先求出直线l 的斜率不存在时直线AN 的方程，直线AN 过点()3,0Q ；当直线l 的斜率存在，设过点()1,0的直线l 的方程为()1y k x =-，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条件，即可得到定点且定点为()3,0Q ．【详解】（1）由椭圆()222210x y C a b a b+=>>：则a =，即c e a ==，解得2c =，∴2221b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为2215x y +=.（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程1x =，代入椭圆方程可得y ==,1,,5,A B N ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，直线AN 的方程为(3)5y x =--，直线AN 过点()3,0Q . 当直线l 的斜率存在，设过点()1,0的直线l 的方程为()1y k x =-，由()22155y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 整理得()22221510550kxk x k +-+-=．由()()42221004155580200k kkk ∆=-+-=+>恒成立，设()()()11222,,,,5,A x y B x y N y ，则21221015k x x k +=+①，21225515k x x k-=+②， ()21211155AN k x x y y k x x --==--，由()222105322ON k x y y k --===-， ()()1212212113515225AN ON x x x x x x x k K k k x x -++⎛⎫---=-=⨯ ⎪--⎝⎭由①②可得()221212225510353501515k k x x x x k k--++=-⋅+=++， 则0AN ON k k -=，即AN ON k k = 综上可得直线AN 过定点()3,0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理以及直线的斜率公式求解，该题还考查了转化思想和运算能力、推理能力，属于难题． 22.已知函数1()ln ax f x x x-=-. （1）当1a =时，求f (x )的单调区间；（2）若对1,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围 (其中e 是自然对数的底数)．【答案】（1）递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）(],1e -∞- 【解析】 【分析】（1）将1a =代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据()'0f x >单调递增,()'0fx <单调递减可求出()f x 的单调区间（2）从()0f x ≤分离出出常数1ln a x x≤+,设新函数()11ln ,,g x x x e x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,min ()a g x ≤,求出新函数的最小值即可得到a 的取值范围 详解】(1)11()ln 1ln x f x x x x x-=-=--, ()f x 的定义域为(0,)+∞．()'22111f xx xx x -==-,()'001f x x >⇒<<,()'01f x x <⇒>.所以()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞．(2) ()0f x ≤⇔1ln a x x ≤+,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 令()11ln ,,g x x x e x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦()22111x g x x x x-=-+=', 由()01g x x ='⇒= 当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0g x,()g x 在[1e ,1]上单调递减 当()1,x e ∈时,0g x ,()g x 在[1,e]上单调递增,11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()11g e e =+,1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g e >,所以g(x)在[1e ,e]上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以1a e -≤,所以实数a 的取值范围为(],1e -∞-【点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.。

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第二次周测试题内容:统计,逻辑，椭圆，双曲线; 时间:50分钟.1．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．3D2．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点A ，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．3D ．3．过点（﹣4，2），且与双曲线y 222x -=1有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22184y x -=D ．22148y x -=4.圆221:(1)(1)4C x y ++-=与圆222:(3)(4)25C x y -+-=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．设1F ，2F 分别是双曲线2219y x -=的左右焦点.若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于（ ）A ．BC ．D ．6．（多选）已知P 是椭圆2214x y +=上一点，12,F F 是其两个焦点，则12F PF ∠的大小可能为（ ）A ．34π B ．23π C ．2π D ．4π 7．（多选）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是（ ）A ．若C 为椭圆,则13t <<B ．若C 为双曲线,则3t >或1t <C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<8.焦点为()()6,0,6,0-，且经过点()5,2-的双曲线方程为 .9.双曲线1222=-x y 的渐近线方程为 .10.已知椭圆373722=+y x 的焦点21,F F ，点P 在椭圆上，且321π=∠PF F ,则21PF F ∆的面积为 .11．过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.12．已知命题021:2>--x x P ，则p ⌝对应的x 集合为___________．13．某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数.14.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上.绝密★启用前参考答案1．A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程by x a=±，由题意可得2b a =，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 【详解】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，一条渐近线的方程为2y x =，可得2b a =，即有223c a b a =+=， 可得3==ce a． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和a ，b ，c 的关系，考查运算能力，属于基础题． 2. C 3. A 4. B 5. D 6．BCD 【解析】 【分析】设12,PF m PF n ==，由题意的定义得到24m n a +==，然后在12FPF △中，由余弦定理得2212122cos 12m n F PF mn mn +-∠==-，然后结合基本不等式242m n mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭求解.【详解】设12,PF m PF n ==，则0,0m n >>，且24m n a +==，在12F PF △中，由余弦定理可得2221212()2122cos 122m n m n mn F PF mn mn mn+-+--∠===-，因为242m n mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121cos 2F PF ∠-，当且仅当m n =时取等号， 故12F PF ∠的最大值为23π， 所以12F PF ∠的大小可能为2,,324πππ． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点三角形以及椭圆定义的应用和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．AD 【解析】 【分析】就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型. 【详解】若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若1t <，则方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程221mx ny +=为双曲线方程等价于0mn <，若0,0m n ><，则焦点在x 轴上，若0,0m n <>，则焦点在y 轴上；方程221mx ny +=为椭圆方程等价于0,0m n >>且m n ≠，若m n >，焦点在y 轴上，若m n <，则焦点在x 轴上；若0m n =>，则方程为圆的方程.8. 1201622=-x y 9.2±=y X10.33 11．()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线l 的方程,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得>0∆,即可求得λ的取值范围. 【详解】因为双曲线方程为222y x λ-=则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y 因为点P 恰为线段AB 的中点 则12122,2x x y y +=+=则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =-22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++= 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点 所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠ 所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系,中点弦问题,根据交点情况求参数的取值范围,属于中档题. 12．【解析】 试题分析：，因此为．考点：命题的否定． 13．（1）120（2）68 66.67（3）120 【解析】 【分析】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩可知，每个学生成绩被抽取的机会均等，即可计算（2）由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在[80，90）的学生频率，再估计这次月考数学成绩的平均分和中位数（3）由频率直方图可知成绩80分以上的频率，即可计算全年级80分以上的人数. 【详解】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩，每个学生成绩被抽取的机会均等，故40180020P == （2）由频率分布直方图得成绩在区间[80，90）内的频率为：1-（0.005+0.015+0.045+0.020+0.005）×10=0.1，所以平均分=0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68 由频率分布直方图得：[40，60）的频率为：（0.005+0.015）×10=0.2， [60，70）的频率为：0.045×10=0.45， ∴估计这40名学生成绩的中位数为：0.50.2601066.670.45-+⨯≈（3）由（1）及频率分布直方图可知，学生成绩80分以上的频率为：0.1+0.05=0.15， 故地理考试全年级80分以上的人数为8000.15120⨯=人.14．（1）2212x y +=；（2）证明见解析．【解析】 【分析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222ty y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22t u t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a ===．故椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122t u t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+．所以00y u +=，所以002y u+=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题. ．。

河北省大名县2020—2021学年高二上第一次月考数学试题含答案大名高二第一次月考数学试题（2021.9）注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时刻120分钟.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知数列,21,n ⋅⋅⋅,9则73是它的（ ） A.第30项B.第31项C.第32项D.第33项2. 一个各项为正数的等比数列，其每一项都等于它前面的相邻两项之和，则公比q =（ ） A ．23B. 5C.215- D.215+ 3. 已知三角形三边比为5:7:8，则最大角与最小角的和为（ ） A ． 90B. 120C. 135D. 1504. 已知锐角三角形ABC 的面积为23，4=BC ，3=CA ，则角C 的大小为（ ）A. 75B. 60C. 45D. 305. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ）A ．27B ．36C ．45D ．546. 在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=,则△ABC 一定是（ ） A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形7. “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》，通过运算得到答案是（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 在△ABC 中，若 30=A ，6=a ,4=b ,那么满足条件的△ABC （）A ． 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2=m S ，102=m S ，则=m S 3（ ） A ． 14B. 24C. 32D. 4210. 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 872的最大项为第k 项，则k =（） A. 5或6 B. 5 C. 6D. 4或511. 在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 关于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 关于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡关于地平面的坡角为θ，则cos θ=()A ．23＋1B ．23－1C.3－1D ．3＋112. 已知数列{}n a ，若112,21n n a a a n +=+=-，则2017a =（ ） A ．2021B ．2017C ．2020D ． 2021第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置)13. 若数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则n a =________________．14. 已知△ABC 中，2=a ，3=b ， 60=B ，则角C = .15.某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 动身的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，现在C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走 千米可到达城A.16. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且576S S S >>，给属下列五个命题：①0<d ；②011>S ；③使得n S 0>最大的n 值是12；④数列{}n S 中最大项为12S ；⑤76a a >，其中正确的命题的序号是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答时应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤)17. （本题满分10分）在等差数列{}n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{{}n a 的首项、公差及前n 项和．18. （本题满分12分）在ABC ∆中， 4,13a c ==,sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小。

河北省大名县一中2020届高三数学上学期12月月考试卷 文一、选择题（共60分，每题5分）1．集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =I ，{}1,2,3,4,5A B =U ，则集合B 中的元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．若复数z 满足2i 43i z +=+，则z =（ ） A ．52i--B ．52i +C ．52i -+D ．52i -3. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若1cos ,32A a ==,则sin sin sin a b cA B C++=++ ( )A.12B. 32C. 3D. 24．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（ ） A ．332π+ B ．32π C ．334π+2 D ．334π+5．执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S = ( )第5题A. 67B.89C.37D.496. 等比数列{}n a的各项均为正数,且564718a a a a+=,3132310log log...loga a a+++=( )A.12B.32log5+ C.8 D.107.已知命题p：,x∃∈R210x x-+≥;命题q：若22a b<,则a<b.下列命题为真命题的是( ) A．p q∧ B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝8. 方程4log7x x+=的解所在区间是( )A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,79．若双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为（）A．2B．3C．5D．2210．已知某函数图象如下图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．2xxy=B．22xy=-C．e xy x=-D．|2|2xy x=﹣11．已知P是ABC△内部一点，且++=uu r uu r uu r rPA PB PC20，在ABC△内部随机取点M，则点M取自ABP△内的概率为（）A．23B．13C．12D．1612．若2x()()22e xf x x ax=-的极值点，则函数()y f x=的最小值为（）A．(2222e+B．0C．(2222-D．e-二．填空题（共20分，每题5分）13．已知向量()1,2a=r，(),1b x=-r，若()a a b-r r r∥，则a b⋅=r r____________．14. 若实数,x y满足521x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩若32x zy-=则z的最小值是__________15.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为__________16．设函数21()2f x x a x =--对于任意[11] x ∈-，，都有()0f x ≤成立，则实数a =_________． 三. 解答题（本题共70分）17．（10分）设数列{}n a ()123n ⋯＝，，，的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．18.（12分）已知等腰梯形ABCE （如图1所示）中，1//,4,2AB EC AB BC EC === 0120ABC ∠=,D 是EC 中点,将ADE ∆沿AD 折起,构成四棱锥P ABCD - (图2)（1）求证: AD PB ⊥;（2）当平面 PAD ⊥平面ABCD 时,求三棱锥C PAB -的体积. 19．（12分）已知()12sin()cos 3,0,64f x x x x ππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知max min (),()AC f x BC f x ==，22CD =求C ∠． 20.（12分） 某超市在2020年五一正式开业,开业期间举行开业大酬宾活动,规定:一次购买总额在区间[)100,200内者可以参与一次抽奖,根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下:（1）.求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留到整数);（2）.若根据超市的经营规律,购买金额x 与平均利润y 有以下四组数据: 购买金额x(单位:元) 100 200 300 400 平均利润y(单位:元)15254060试根据所给数据,建立y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+,并根据1中计算的结果估计超市对每位顾客所得的利润。

大名县第一(dìyī)中学2021-2021学年高二数学12月月考试题〔普通班〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60分〕1.设,那么“〞是“〞的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.抛物线的准线方程是〔〕A. B. C. D.3.设是直线l的方向向量，是平面的法向量，那么直线l与平面a( )A. 垂直B. 平行或者在平面a内C. 平行D. 在平面a内4.〔〕A. 1B. -1C. -3D.5.假设函数y=f〔x〕的导函数y=f′〔x〕的图象如下图，那么y=f〔x〕的图象可能〔〕A. B. C. D.6.f〔x〕=x2+3xf′(1)，那么(nà me)f′(2)=〔〕A. 1B. 2C. 4D. 87.点P在抛物线上,那么当点P到点的间隔与点P到抛物线焦点间隔之和获得最小值时,点P的坐标为〔〕A. 〔2,1〕B. 〔-2,1〕C.〔-1，〕D. 〔1，14〕8.二面角α-l-β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，那么CD的长等于〔〕A. B. C. 2 D.9.假设函数y=x3-3bx+1在区间[1，2]内是减函数，b∈R，那么〔〕A. B. C. D.10.假设函数有两个不同的极值点，那么实数a的取值范围是〔〕A. 1a B. C. D.11.如图，在三棱锥A-BCD中，平面(píngmiàn)ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，假设线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，那么线段PA长的取值范围是〔〕A. B.C. D.a ，假设存在唯一的整数，使得12.设函数，其中1，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20分〕13.假设命题“〞是假命题,那么实数a的取值范围是___．14.假设函数f (x)＝2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1，k+1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是__________．15.点P是椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,假设,那么的大小______．16.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，那么点D1到平面A1BD的间隔是____．三、解答题〔第17题10分，第18—22题，每一小题12分，一共70分。

大名一中高二年级上学期第一次月考理科数学（时间120分钟，总分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1、数列1，3，7，15，…的通项公式n a 等于（ ）．A 、n 2B 、n 2+1C 、n 2-1D 、12-n 2、在△ABC 中，A=45o，B=30o， b=2，则a 的值为（ ）A ．4B ．22C ．3D ．3 3、若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ．a-b>d-cB ．a+d>b+cC ．a-c>b-cD ．a-c ＜a-d 4、已知等差数列{}n a 的通项公式32,n a n =-则它的公差为 （ ）A ．2-B ． 3C ． 2D ．3- 5、已知a b >，则下列不等关系正确的是（ ）A 、22a b >B 、22ac bc >C 、22a b >D 、22log log a b > 6、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A 、4-B 、6-C 、8-D 、10- 7、若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是( )A ．ac bc >B ．22a b >C ．a c b c +>+D ．22ac bc >8、在ABC △中，bc c b a ++=222，则A =（ ）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒9、若01a <<,则不等式1()()0a x x a-->的解集是( )A.1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|x x a x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D.1|x x x a a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或10、已知△ABC 中，sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2C ，bsin B －csin C ＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11、△ABC 的三边长分别为c b a ,,，点D 为BC 边上的中点，下列说法正确的是（ ）.A 、()222221a b c AD -+>B 、()222221a b c AD -+= C 、()222221a b c AD -+< D 、()222221a b c AD -+≤12、设*N m ∈,m 2log 的整数部分用()m F 表示，则()()()102421F F F +⋅⋅⋅++的值为（ ）A 、8204B 、 8192C 、9218D 、以上都不正确 二、填空题（每题5分，共20分） 13、在△ABC 中，若2,60,a B b =∠=︒=c = ．14、已知数列{}n a 的前n 项和n S =12+n ，则n a = ．15、已知数列{}n a 满足：m m a (1=为正整数），⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n nnnn a a a a a ,13,21，若16=a ，则m 的所有取值构成的集合为 .16、△ABC 的内角A ，B ， C 所对的边为c b a ,,其中ο30,3,1===A b a 则①ο60=B ； ②△ABC 的面积为23； ③△ABC 外接圆的面积为4π； ④△ABC 内切圆的半径为213-； 其中所有叙述中正确的个数有 个． 三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17、（10分）某文具店购进一批新型文具，若按每件15元的价格销售，每天能卖30件，若售价每提高1元，日销售量减少两件.为了使这批文具每天获得400元以上的销售收入，应该怎样制定这批文具的价格？18、（12分）已知数列()()2222,,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-⨯+L L…()()2222,,,,,1335572121n n⨯⨯⨯-⨯+L L …的前n 项和为n S ． （Ⅰ）计算1234,,,S S S S ；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的计算结果，猜想n S 的表达式，不必证明．19、（12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 。

高二数学理科试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件2．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π34.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1C.54D.746.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 7.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b > （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<8已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.2311若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)12．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一个点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸市大名县第一(dìyī)中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线(qūxiàn)表示(biǎoshì)椭圆，则k的取值范围(fànwéi)是（）A. B.C. D. 或2.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要(bìyào)不充分条件是（）A. B. 或 C. D. 或3.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为（）A. 31B. 15C. 32D. 164.已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为（）A. 63、64、66B. 65、65、67C. 65、64、66D. 64、65、645.有线性相关关系的变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A. 17B. 86C. 101D. 2556.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A. B. C. D.7.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第Ⅰ营区，从201到500住在第Ⅱ营区，从501到600住在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A. 16，26，8B. 17，24，9C. 16，25，9D. 17，25，88.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机(suí jī)出拳，则一次游戏两人平局的概率为A. B. C. D.9.给出如下(rúxià)四个命题：①若“p且q”为假命题(mìng tí)，则p、q均为假命题(mìng tí)；②命题(mìng tí)“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生的概率为（）A. B. C. D.11.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是______．14.某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．15.设椭圆(tuǒyuán)的两个(liǎnɡ ɡè)焦点为F1，F2，M是椭圆上任(shàng rèn)一动点，则的取值范围(fànwéi)为______ ．16.在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中，已知F是椭圆的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点且PF⊥x轴．若，则该椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分，第18-22题每题12分）17.已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．18.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在[80，90)内的频数为36．(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩？(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．19.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区202X年农村居民家庭人均纯收入．附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式20.随机抽取某中学甲乙(jiǎ yǐ)两班各10名同学(tóng xué)，测量他们的身高（单位：cm），获得身高(shēn ɡāo)数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均(píngjūn)身高较高；（2）计算(jì suàn)甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为-1，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．22.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0，2)，右焦点F与点的距离为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点(0，-3)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案(dá àn)】D【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】本题考查了椭圆(tuǒyuán)的标准方程(fāngchéng)及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．【解答】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选D．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了充分必要条件，考查不等式解法，是一道基础题；解题时，先求出不等式2x2-5x-3≥0的解集，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：解不等式2x2-5x-3≥0得：x≥3或x≤-，∴不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是：x＜0或x＞2，故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题目．根据样本数据的方差是，得出对应数据的方差是【解答】解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础题，在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可．【解答】解：由频率分布(fēnbù)直方图可知(kě zhī)，众数(zhònɡ shù)为=65，由10×0.03+5×0.04=0.5，所以(suǒyǐ)面积相等(xiāngděng)的分界线为65，即中位数为65，平均数为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.故选B.5.【答案】D【解析】解：∵，∴===，则=5×+11=5×+11=6+11=17，则15=15×17=255，故选：D．根据条件求出，的值，即可得到结论．本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（，）是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法；红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选C．7.【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】本题解题的关键是看出(kàn chū)每一个组里的人数(rén shù)，属于基础题．依题意可知(kě zhī)，在随机抽样中，首次(shǒu cì)抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数．本题考查系统抽样方法，【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，所以,解得n，故可分别求出在001到200中有17人，,解得m，在201至500号中共有42-17=25人，则501到600中有50-17-28=8人．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：甲锤剪子包袱乙锤（锤，锤）（锤，剪子）（锤，包袱）剪子（剪子，锤）（剪刀，剪子）（剪子，包袱）包袱（包袱，锤）（包袱，剪子）（包袱，包袱）∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）．∴甲和乙平局的概率为：=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”，故正确；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故正确；④在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确．故选：C．根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④．本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档．10.【答案(dá àn)】B【解析(jiěxī)】【分析(fēnxī)】本题主要(zhǔyào)考查古典概型求概率(gàilǜ)，利用间接法，先计算有相邻的两个人站起来的概率，属中档题.【解答】解：由题意可知，四个人抛硬币，一共有24=16种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率，故没有相邻的两个人站起来的概率为，故选B.11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题. 在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率. 【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，∴弦所在的直线的斜率为.故选D.12.【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】本题考查椭圆(tuǒyuán)的定义以及(yǐjí)离心率范围，考查计算能力，属于中档题．根据已知及椭圆的性质及几何意义，求出离心率e的取值范围. 【解答】解：∵由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|∴|PF1|=，|PF2|=又即所以：所以椭圆的离心率e的取值范围是[，1），故选C．13.【答案】∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0【解析】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是的否定为∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.【答案】560【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用. 【解答】解：设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x．抽样比例为，∵女生比男生少抽了10人，∴，解得x＝560．故该校的女生人数为560. 故答案为560.15.【答案】[-2，1]【解析】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1-；=（--x，-y），=（-x，-y）；=（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2，由题意可知：x∈[-2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[-2，1]．故答案为：[-2，1]．由题意可知：焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1-，=（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[-2，1]．本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．16.【答案(dá àn)】【解析(jiě xī)】解：把x=-c带入椭圆(tuǒyuán)方程(fāngchéng)得+=1，解得y=±，∴PF==，由PF=AF可得：=（a+c），即=，∴e==．故答案(dá àn)为：．计算PF，根据化简得出离心率的值．本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．17.【答案(dá àn)】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立(chénglì)，∴(x-)2+，即，解得：；q：椭圆(tuǒyuán)的焦点(jiāodiǎn)在x轴上，∴m-1＞3-m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知(zhēnzhī)，p，q皆为真，解得．【解析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q 为真命题，求出m的交集即可．18.【答案】解：(1)由频率分布表可得第4组的频率为：1-0.05-0.225-0.35-0.075=0.3∴a==0.03，n==120.(2)由分层抽样的特点可得：第一组应抽0.05×40=2个，第五组应抽0.075×40=3个(3)设第一组抽到的2个分数记作A1，A2，第五组的3个记作B1，B2，B3从这两组中抽取2个有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种，故所求的概率为：P=.【解析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，和古典概型计算公式，属于基础题.(1)由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率，进而可得a和n的值；(2)利用分层抽样的特点进行求解；(3)由(2)可知第一组，第五组分别抽到的2个分数，3个分数，分别记作A1，A2，和B1，B2，B3由列举法可得答案．19.【答案】解：（1）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=-=4.3-0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将202X年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区202X年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元【解析】（1）根据(gēnjù)所给的数据，利用(lìyòng)最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式(gōngshì)求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程(fāngchéng)．（2）根据(gēnjù)上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区202X年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题20.【答案】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班（2），甲班的样本方差为：×[（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2]=57.2．（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分）【解析】本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．即椭圆方程为=1.（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=,不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=．原点到直线的AB距离d=，所以三角形的面积S=．由S=可得k2=2，∴k=±，所以直线AB：=0或AB：=0．【解析】本题考查椭圆(tuǒyuán)的标准方程(fāngchéng)，考查直线与椭圆(tuǒyuán)的位置(wèi zhi)关系，联立直线与椭圆(tuǒyuán)方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB 与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．22.【答案】解：(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由|FB|=2，得，即，故．又∵b=2，∴a2=12，从而可得椭圆方程为．(2)由题意可设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由消去y得x2+3(kx-3)2=12，即可得方程(1+3k2)x2-18kx+15=0…(*)当方程 (*)的△=(-18k)2-4(1+3k2)×15=144k2-60＞0即时方程(*)有两个不相等的实数根．设M (x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程(*)的两个不等的实根，故有．从而有，．于是，可得线段MN的中点P的坐标为又由于k≠0，因此直线AP的斜率为，由AP⊥MN，得，即5+6k2=9，解得，∴，∴综上可知存在直线l：满足题意．【解析】(1)直接根据条件(tiáojiàn)得到以及(yǐjí)b=2；求出a2=12即可得到(dé dào)椭圆(tuǒyuán)的方程(fāngchéng)；(2)设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论．内容总结（1）河北省邯郸市大名县第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C. D. 或2.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（）A. B. 或 C. D. 或3.若样本数据x1，x2，（2）求出a2=12即可得到椭圆的方程。

大名县一中2021-2021学年高二数学上学期12月半月考试题〔清北班〕 理创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．复数22i 1i ⎛⎫⎪+⎝⎭等于〔 〕A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．集合{}|3A x y x ==-，{}0,1,2,3,4B =，那么A B =〔 〕A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．(]{},34-∞3．函数lncos 22y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π⎪⎭的图象是〔 〕A ．B ．C ．D ．4．两个单位向量a 和b 夹角为60︒，那么向量-a b 在向量a 方向上的投影为〔 〕 A ．1-B ．1C ．12-D ．125．双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，那么双曲线的HY 方程为〔 〕A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=6．在ABC △中，1a =，3b =，6A π=，那么角B 等于〔 〕 A ．3π或者23π B ．23πC ．3π D ．4π 7．就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

教师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如下图的程序框图，假设输入64x =，那么输出的结果为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．58．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是〔 〕 A ．435B ．635C ．1235D ．363439．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒， 那么1AA =〔 〕 A 3B ．3C 5D 610．将函数())cos2sin 23cos 30222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图像，假设()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，那么ω的最大值为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．411．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，假设()1y f x =-的图像关于1x =对称，且()02f =，那么()()20172018f f +=〔 〕A ．0B ．2C ．3D ．412．设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线by x a=与椭圆在第一象限内的交点，假设()FO FC BO BC λ+=+，那么椭圆的离心率是〔 〕 ABCD1二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________．14．假设变量x ，y 满足约束条件2534x y x y +≥≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，那么z x y =+的取值范围是__________．15．()0,α∈π，tan 2α=，那么cos2cos αα+=__________．16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，假设四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，那么该四棱锥外接球外表积的取值范围是______．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕设n S 为数列{}n a 的前n 项和，37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． 〔1〕证明：{}1n a +为等比数列；〔2〕求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？18．〔12分〕某体育公司对最近6个月内的场占有率进展了统计，结果如表：〔1〕可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？假如能，恳求出y 关于x 的线性回归方程，假如不能，请说明理由；〔2〕公司决定再采购A ，B 两款车扩大场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购本钱之外的其他本钱，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策根据，应选择采购哪款车型？参考数据：()62117.5ii x x =-=∑，()()6135iii x x yy =--=∑，()62176ii y y =-=∑133036.5≈．参考公式：相关系数()()()()12211niii nni i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．〔12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．〔1〕证明：BE PD ⊥；〔2〕假设F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值．20．〔12分〕ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()10B ,，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴．〔1〕求点C 的轨迹方程；〔2〕设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．〔12分〕函数()2x f x e ax =-．〔1〕假设1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；〔2〕假设()f x 在()0+∞,有两个零点，求a 的取值范围． 22.函数()1f x x =+〔1〕求不等式()211f x x <+-的解集；〔2〕关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，务实数a 的取值范围．理 科 数 学周测 答 案一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】()2222i 4i 42i 1i 2i1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，应选C ． 2．【答案】C【解析】集合{{}||3A x y x x ===≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3AB =，应选C ．3．【答案】B【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以D 错误，故答案为B ． 4．【答案】D【解析】1cos602⋅=︒⋅=a b a b ，那么向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()21cos 2ϕ-⋅-⋅-===a ab a b aa b aa． 应选D ． 5．【答案】D【解析】双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，可得2m =，那么双曲线的HY 方程是22128x y -=．应选D ．6．【答案】A【解析】∵1a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理得：sin sin a b A B=． 那么13sin 32sin 12b AB a⨯===，又∵0B <<π，b a >，∴3B =π或者23π． 应选A ．7．【答案】C【解析】输入64x =，1i =，640x =>，21log 6432x ==，112i =+=；30x =>，21log 32x =，213i =+=；21log 302x =>，221log (log 3)2x =，314i =+=；221log (log 3)02x =<，完毕运算，输出4i =，应选C ．8．【答案】C【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为213437C C 1235C =．故答案为C ． 9．【答案】D【解析】如下图，连接11A C ，∵11B B A A ∥，∴11A AC ∠是异面直线1AC 与1BB 所成的角，即1130A AC ∠=︒，在111Rt A B C △中，22111111112AC A B B C =+=+=，在11Rt A AC △中，有111tan30A C AA =︒，即11126tan3033A CAA ===︒．应选D ．10．【答案】B【解析】函数())cos2sin 23cos 30222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭sin sin 2sin 3x x x x ωωωωπ⎛⎫=-+==- ⎪⎝⎭， ()f x 的图象向左平移3ωπ个单位，得2sin 33y x ωωππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44T π≥，即244ωππ≥，解得2ω≤，所以ω的最大值为2．应选B ． 11．【答案】B【解析】因为()1y f x =-的图像关于1x =对称， 所以()y f x =的图像关于0x =对称，即()f x 为偶函数， 因为()()()221f x f x f +-=，所以()()()12121f f f -+--=，所以()10f =，()()2f x f x +=，因此()()201710f f ==，()()201802f f ==，()()201720182f f +=，应选B ． 12．【答案】A【解析】根据()FO FC BO BC λ+=+，由平面向量加法法那么， 那么有BF 为平行四边形FOBC 的对角线，故BFO BFC S S =△△，联立椭圆22221(0)x y a b a b +=>>、直线b y x a =方程，可得C ，∵BFO BFC S S =△△，那么 2BOFC BOF S S bc ==△，1122BOFC BOC OFC S S S b c bc =+=+=△△，可得()1a c =，∴c e a =A ．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．【答案】530x y +-=．【解析】5e 2x y =+﹣的导数55e x y '=﹣﹣， 那么在0x =处的切线斜率为05e 5-=-，切点为()0,3， 那么在0x =处的切线方程为53y x =-+，即为530x y +-=． 故答案为530x y +-=． 14．【答案】[]1,7【解析】作出不等式组2534x y x y +≥≤≤⎧⎪⎨⎪⎩对应的平面区域如下图阴影局部ABC △；由z x y =+得y x z =-+，即直线的截距最大，z 也最大；平移直线y x z =-+，可得直线y x z =-+经过点()3,4C 时，截距最大，此时z 最大， 即347z =+=；经过点A 时，截距最小，由=4 2=5y x y ⎧⎨⎩+，得3=4x y -⎧⎨⎩=， 即()3,4A -，此时z 最小，为341z =-+=； 即z 的取值范围是[]1,7，故答案为[]1,7．15． 【解析】∵()0,α∈π，tan 2α=，∴0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么2222sin 1cos 44cos cos αααα-=⇔=，解得cos α=∴21cos2cos 2cos 1cos 215αααα+=-+=⨯-+=．． 16．【答案】28,203π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦ 【解析】四棱锥S ABCD -中，可得：AD SA ⊥；AD AB AD ⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ， 过S 作SO AB ⊥于O ，那么SO ⊥平面ABCD ， 设SAB θ∠=，故18sin 33S ABCD ABCD V S SO θ-=⋅=，所以sin 1θ⎤∈⎥⎣⎦，211cos 3322θθππ⎡⎤⇒∈⇒-≤≤⎢⎥⎣⎦,，在SAB △中，2SA AB ==，那么有，SB =，所以SAB △的外接圆半径2sin SB r θ=， 将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径R =224411cos S R θ⎛⎫⇒=π=π+⎪+⎝⎭，所以28203S π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,．故答案为28,203π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析．【解析】〔1〕证明：∵37a =，3222a a =-，∴23a =， ∴121n n a a -=+，∴11a =，()1111222211n n n n a a n a a ---++==≥++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列． 〔2〕由〔1〕知，12n n a +=，∴21n n a =-， ∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----= ∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列． 18．【答案】〔1〕ˆ29y x =+；〔2〕见解析【解析】〔1〕∵()62117.5ii x x =-=∑，()()6135iii x x yy =--=∑，()62176i i y y =-=∑36.5≈．∴()()350.9636.5niix x y y r --===≈∑， 所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．()()()12135217ˆ.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又123456 3.56x +++++==，111316152021166y +++++==，∴16ˆ59ˆ2 3.ay bx =-=-⨯=， ∴回归直线方程为ˆ29yx =+． 〔2〕用频率估计概率，A 款车的利润X 的分布列为：∴()()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=〔元〕．B 款车的利润Y 的分布列为：∴()()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=〔元〕． 以每辆车产生利润俄期望值为决策根据，故应选择B 款车型． 19．【答案】〔1〕见解析；〔2． 【解析】〔1〕依题意，以点A 为原点，以AB 、AD 、AP 为轴建立空间直角坐标系如图，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-， 故0BE PD =⋅，BE PD ⊥．〔2〕()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =， 由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ≤≤，故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--， 由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=， 因此()()2122220λλ-+-=，34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，那么1100AB BF ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量 取平面ABD 的法向量()20,0,1=n ，那么121212110cos 1010⋅===⋅n n n ,n n n ，所以二面角F AB D --的余弦值为1010．20．【答案】〔1〕()240y x x =≠；〔2〕23π． 【解析】〔1〕设点C 的坐标为()x y ,，那么BC 的中点D 的坐标为122x y +⎛⎫⎪⎝⎭,，点A 的坐标为02y ⎛⎫⎪⎝⎭,． 12y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,，2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去． 所以轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．〔2〕依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+，点C 、E 的坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，圆心P 的坐标为()00x y ,．由241y x x my ==+⎧⎪⎨⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-． ∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+． ∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+． 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，那么2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQx m r r m m α+====-++， 当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α获得最小值为12，2α获得最大值为3π， 所以α的最大值为23π． 21．【答案】〔1〕见解析；〔2〕2e 4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,．【解析】〔1〕证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．那么()'2x f x e x =-， 令()2x g x e x =-，那么()'2x g x e =-，令()'0g x =，得ln2x =． 当()0,ln2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x > ∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=．〔2〕解：()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，2xe a x⇔=在()0,+∞有两个根，即函数y a =与()2xe G x x=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3e 2'x x G x x -=，当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递增 当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增 所以()G x 最小值为()2e 24G =，当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，的取值范围是2e 4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,．22.【答案】〔1〕()(),11,A =-∞-+∞；〔2〕()1,+∞． 【解析】〔1〕∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<，当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，所以1x <-； 当112x -≤≤-，不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-，无解；当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，所以1x >综上所述，()(),11,A =-∞-+∞．〔2〕因为()()()()2312121f x f x x x x x -+-=-+-≥---=， 且()()23f x f x a -+-<的解集不是空集， 所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞．创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。