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数学小学一年级上册1、数一数2、比一比3、1-5的认识和加减法4、认识物体和图形5、分类6、6-10的认识和加减法7、11-2-各数的认识8、认识钟表一年级下册1、位置2、20以内的退位减法3、图形的拼组4、100以内数的认识5、认识人民币6、100以内的加法和减法（一）7、认识时间8、找规律9、统计二年级上册1、长度单位2、100以内的加法和减法（二）3、角的初步认识4、表内乘法（一）5、观察物体6、表内乘法（二）7、统计8、数学广角二年级下册1、解决问题2、表内除法（一）3、图形和变换4、表内除法（二）5、万以内数的认识6、克与千克7、万以内的加法和减法（一）8、统计三年级上册1、测量2、万以内的加法和减法（二）3、四边形4、有余数的除法5、时、分、秒6、多位数乘一位数7、分数的初步认识8、可能性9、数学广角三年级下册1、位置与方向2、除数是一位数的除法3、统计4、年、月、日5、两位数乘两位数6、面积7、小数的初步认识8、解决问题9、数学广角四年级上册1、大数的认识2、角的度量3、三位数乘两位数4、平行四边形和梯形5、除数是两位数的除法6、统计7、数学广角四年级下册1、四则运算2、位置与方向3、运算定律与简便计算4、小数的意义和性质5、三角形6、小数的加法和减法7、统计8、数学广角（小管家）五年级上册2、小数除法3、观察物体4、简易方程5、多边形的面积6、统计与可能性（铺一铺）7、数学广角五年级下册1、图形的变换2、因数与倍数3、长方体和正方体4、分数的意义和性质5、分数的加法和减法6、统计（打电话）7、数学广角六年级上册1、位置2、分数乘法3、分数除法4、圆（确定起跑线）5、百分数6、统计（合理存款）7、数学广角六年级下册1、负数2、圆柱和圆锥3、比例（自行车里的数学）4、统计5、数学广角（节约用水）6、整理和复习（1）数与数学（2）空间与图形（3）统计与概率（4）综合应用（邮票中的数学问题）初中初一上册第一章有理数1.1正数和负数1.2有理数1.3有理数的乘除法1.4有理数的加减法1.5有理数的乘除法第二章一元二次方程2.1从算式到方程2.2从古老的代数书说起——一元二次方程的讨论（1）2.3从“买布问题”说起——一元一次方程的讨论（2）2.4再探实际问题与一元一次方程第三章图形的初步认识3.1多姿多彩的图形3.2直线、射线、线段3.3角的度量3.4角的比较和运算第四章数据的收集和整理4.1喜爱哪种动物的同学最多——全面调整举例4.2抽查中小学的视力情况——抽样调查举例4.3课题学习：调查“你怎样处理废电池？”初一下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.2平行线5.3平行线的性质5.4平移第六章平面直角坐标系6.1平面直角坐标系6.2坐标法的简单应用第七章三角形7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角和7.4课题学习：镶嵌第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元8.3再探实际问题与二元一次方程组第九章不等式与不等式组9.1不等式9.2实际问题与一元一次不等式9.3一元一次不等式组9.4课题学习：利用不等关系分析比赛第十章实数10.1平方根10.2立方根10.3实数初二上册第十一章一次函数11.1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图像11.2一次函数11.3用函数观点看方程（组）与不等式第十二章数据的描述12.1几种常见的统计图表12.2用图表描述数据12.3课题学习：从数据谈节水第十三章全等三角形13.1全等三角形13.2三角形全等的条件13.3角的平分线的性质第十四章轴对称14.1轴对称14.2轴对称变换14.3等腰三角形第十五章整式15.1整式的加减15.2整式的乘法15.3乘法公式15.4整式的除法15.5因式分解初二下册第十六章分式16.1分式16.2分式的运算16.3分式方程第十七章反比例函数17.1反比例函数17.2实际问题与反比例函数第十八章勾股定理18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理第十九章四边形19.1平行四边形19.2特殊的平行四边形19.3梯形第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动20.3课题学习：体质健康测试中的数据分析初三上册第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式乘除第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2降次——截一元二次方程22.3实际问题与一元二次方程第二十三章旋转23.1图形的旋转23.2中心对称23.3课题学习：图形设计第二十四章圆24.1圆24.2与圆有关的位置关系24.3正多边形和圆24.4弧长和扇形面积第二十五章概率初步25.1概率25.2用列举法求概率25.3利用频率估计概率25.4课题学习：键盘上字母的排列规律初三下册第二十六章二次函数26.1二次函数26.2用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第二十七章相似27.1图形的相似27.2相似三角形27.3位似第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数28.2解直角三角形第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图29.3课题学习：制作立体模型高中高一必修1第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第二章基本初等函数2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用高一必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离方式第四章圆和方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系高二必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样阅读和思考：一个著名的案例阅读和思考：广告中数据的可靠性阅读和思考：如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体阅读和思考：生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系阅读和思考：相关关系的强与弱第三章概率3.1随机事件的概率阅读和思考：天气变化的认识过程3.2古典概型3.3几何概型阅读与思考：概率与密码高二必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质1.5函数y=Asin(wx+y)1.6三角函数的模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及其基本概念2.2平面向量的线形运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换高三必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理探究与发现：解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考：海伦与秦九韶第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考：斐波那契数列阅读与思考：估计根号下2的值2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和阅读与思考：九连环探究与发展：购房中的数学第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考：错在哪里信息技术应用：用excel解线性规划问题举例3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件和必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现：为什么截口曲线是椭圆信息技术应用：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考：圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现：牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎证明阅读与思考：科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充和复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 设计图信息技术应用：用Word2002绘制流程图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线和方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现：为什么截口曲线是椭圆信息技术应用：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考：向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合理推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计算原理与分步乘法计数原理探究与发现：子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与组合：组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现：“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考：这样的买彩票方式可行吗探究与发现：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何一、古埃及的数学二、两河流域的数学三、丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一、希腊数学的先行者二、毕达哥拉斯学派三、欧几里得与《原本》四、数学之神——阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一、《周髀算经》与赵爽弦图二、《九章算术》三、大衍求一术四、中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一、坐标思想的早期萌芽二、笛卡尔坐标系三、费马的解析几何思想四、解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一、微积分产生的历史背景二、科学巨人牛顿的工作三、莱布尼茨的“微积分“第六讲近代数学两巨星一、分析的化身——欧拉二、数学王子——高斯第七讲千古谜题一、三次、四次方程求根公式的发现二、高次方程可解性问题的解决三、伽罗瓦与群论四、古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一、古代的无穷观念二、无穷集合论的创立三、集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一、中国现代数学发展概观二、人民的数学家——华罗庚三、当代几何大师——陈省身选修3-3第一讲从欧式几何看球面一、平面与球面的位置关系二、直线与球面的位置关系和球幂定理三、球面的对称性第二讲球面上的距离和角一、球面上的距离二、球面上的角第三讲球面上的基本图形一、级与赤道二、球面二角形三、球面三角形1、球面三角形2、三面角3、对顶三角形4、球极三角形第四讲球面三角形一、球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三、球面三角形的周长四、球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1、“边边边”（s.s.s）判定定理2、“边角边”（s.a.s）判定定理3、“角边角”（a.s.a）判定定理4、“角角角”（a.a.a）判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一、球面多边形及其内角和公式二、简单多面体的欧拉公式三、用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一、球面上的正弦定理和余弦定理二、用向量方法证明球面上的余弦定理1、向量的向量积2、球面上余弦定理的向量证明三、从球面上的正弦定理看球面与平面四、球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离第八讲欧式几何与非欧几何一、平面几何与球面几何的比较二、欧式平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型三、欧式几何与非欧几何的意义阅读与思考：非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一、平面刚体运动1、平面刚体运动的定义2、平面刚体运动的性质二、对称变换1、对称变换的定义2、正多边形的对称变换3、对称变换的合成4、对称变换的性质5、对称变换的逆变换三、平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一、n元对称群Sn二、多项式的对称变换三、抽象群的概念1、群的一般概念2、直积第三讲对称与群的故事一、带饰和面饰二、化学分子的对称群三、晶体的分类四、伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1、相似三角形的判定2、相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一、平行摄影二、平面与圆柱面得截线三、平面与圆锥面的截线选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质2、基本不等式3、三个正数的算术—几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式2、绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式。
第二讲 数列与数表知识要点：数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。
一、基础应用：【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；撕了六次后一共得到15526+⨯=张纸片。
【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。
【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+()()121216360576312192021336932+⨯=+++++=+++++⨯=⨯=【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。
四年级数学学科课堂导学案提供者：薛玉玲使用人：校领导签字：授课课题栽蒜苗（一）课时标记学习目标1．通过处理实验数据的活动，体会到统计图中一格表示多少个单位的必要性。
2．理解条形统计图上的数据所表示的意义。
3．会将实验中所得的数据用条形统计图表示。
4．经历收集、整理、分析数据的活动过程，体会条形统计图在实际生活中的应用。
学习重（难）点体会和理解条形统计图中一格表示多个单位，能把生活中的一些数据绘制成条形统计图。
教、学具准备提前14~20天让学生在家栽种一盘蒜苗，定期（每一天或每三天）测量一次蒜苗的高度，并做好前14天的数据记录。
一、激趣导入：修订批注师：同学们，前一阶段我们对蒜苗的生长情况进行了观察、记录，今天我们就来交流你们的数据并进行整理。
二、自主学习师：同学们，前一阶段我们对蒜苗的生长情况进行了观察、记录，今天我们就来交流你们的数据并进行整理。
三、合作学习1.讨论数据描述的方法。
（1）学生与小组成员交流各自蒜苗第十五天的生长高度，并把每个小组成员的蒜苗第十四天生长情况记录在统计表内。
（每个小组一张学习卡，其中包括统计表和统计图。
）小组汇报填表情况，从统计表中知道了什么，集体交流。
（2）通过寻找所有小组成员中谁栽的蒜苗第十四天最高，谁其次，有什么办法能更直观、一眼就能看出来呢？引出统计图，体现统计图的必要性。
提出要求：你们小组打算怎么来绘制这幅统计图，绘制过程中有没有遇到什么困难？你又是怎么解决的，把遇到的困难记录到课堂练习本上。
2.小组合作根据统计表，制作条形统计图。
（3）讨论一格表示几个单位的方法。
学生会遇到一格表示几个单位的问题，每个小组通过组内讨论，确定自己小组的方法，把统计图完成，师巡视进行适当的辅导。
四、展示提升指导学生完成教材P86页“试一试”1.试一试这道题目的练习主要是巩固对条形统计图的认识，使学生能结合现实的背景，说出条形统计图中数据的实际意义。
先让学生说一说，在说得过程中体会从一图形或一小格表示的几个单位中理解条形所代表的实际数据。
全册备课（教案）2023-2024学年数学四年级上册-北师大版（PDF版）一、教材分析本册教材为北师大版《数学》四年级上册，共分八个单元，分别是：大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、除法、方向与位置、折线统计图、数学广角。
本册教材以《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》为依据，注重培养学生的数学素养，提高学生的数学思维能力，使学生能够运用数学知识解决生活中的问题。
二、教学目标1. 让学生掌握本册教材的基本知识和基本技能，形成数学思维。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识。
3. 培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通能力。
4. 培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的综合素质。
三、教学内容1. 大数的认识：让学生认识亿以内的数，掌握数的组成和数位的意义，能进行数的读、写、比较和简单的计算。
2. 角的度量：让学生掌握角的分类和性质，学会用量角器测量角的大小，能进行角的加减运算。
3. 三位数乘两位数：让学生掌握三位数乘两位数的计算方法，能正确进行计算，并能解决生活中的实际问题。
4. 平行四边形和梯形：让学生掌握平行四边形和梯形的特征和性质，能进行图形的识别和分类。
5. 除法：让学生掌握除法的计算方法，能正确进行计算，并能解决生活中的实际问题。
6. 方向与位置：让学生掌握方向和位置的概念，学会用方向和距离描述物体的位置，能进行简单的地图阅读。
7. 折线统计图：让学生掌握折线统计图的绘制方法，能根据数据绘制统计图，并能从统计图中获取信息。
8. 数学广角：通过数学故事、数学游戏等形式，让学生感受数学的魅力，培养学生的数学兴趣。
四、教学方法1. 启发式教学：引导学生主动思考，培养学生的自主学习能力。
2. 情境教学：创设生活情境，让学生在实际情境中学习数学，感受数学的价值。
3. 合作学习：鼓励学生进行小组合作，培养学生的合作意识和团队精神。
4. 实践活动：组织学生进行实践活动，培养学生的实践能力和创新意识。
第17讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.典型问题兴趣篇1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少?答案：67；1783解析：间隔是是等差数列。
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案：120；1260解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。
3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(1)第100项是多少?(2)前100项的和是多少?答案：8；975解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．答案：105解析：四周数的差是一个等差数列。
5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1)100在第几行、第几列?(2)第20行第3列的数是多少?答案：（1）第25行第6列；（2）79解析：两行为一个周期。
观察除以8的余数与在第几列之间的关系。
6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第5行第20列的数是多少?答案：（1）第1第25列；（2）81解析：两列为一个周期。
7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第20行第2列的数是多少?答案：（1）第15行第2列；（2）138解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。
8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?(2)第25行左起第5个数是多少?答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。
3，10也是1一直加到行数之和。
9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997；(2)2016；(3)2349．如果可以，请写出方框中最大的数．答案：只有2349是可以的，最大为269.解析：和一定是9的倍数，而且中心数必须是第二列到第6列的数。
10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：(1)246在第几行，第几列?(2)第14行第13列的数是多少?(3)所有阴影方格中数的总和是多少?答案：（1）13行16列；（2）273；（8020）解析：周期问题拓展篇1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观察上面数列的规律，请问：(1)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少?答案：（1）26项；（2）2652解析：间隔数是等差数列。
2．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少?(2)前55组中“5”这个数出现了多少次?答案：23；11次。
解析：数对前面的数规律为1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，…后面的规律为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?答案：257；2510解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1…12个个数为一个周期。
50个数是4个周期加上9,8最大。
500个数求最大是41个周期加上8个最大的数，不加1,2,3,4即可。
4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH 上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?答案：射线OF上；237.解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。
5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1)123应该排在第几列?(2)第2行第20列的数是多少?答案：第24列；101.解析：周期问题，等差数列。
6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：(1)500在第几行，第几列?(2)第100行第2列是多少?答案：第111行，第5列；448.解析：周期问题。
7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?答案：9解析：第60行左起第4个数字是第476个数字。
1-9 9个10-99 180个100-194 285个9+180+285=474个所以第60行左起第4个数字是98．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表．请问：(1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年?(2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?(3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?答案：己巳年；2044年；1889年解析：（1）【10,12】=602049-1911=138138÷60=2……18 己巳年（2）1924+60×2=2044(3)余数特征9．如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数. “l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；………请问：(1)第15行正中间的数是多少?(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?答案：211；1463；176解析：(1)规律为N(N-1)带入(2)123+125+127+…+143=1463(3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3) +(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=17610．如图17-14，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1)150在第几行，第几列?(2)第5行第10列的数是多少?答案：第6行第13列；86解析：（1）最右侧数是行数的平方（2）第9行最左侧数是81，所以81+5=8611．如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1)200排在第几行，第几列?(2)第18行第22列的数是多少?答案：第10行第11列；759。
解析：（1）1+2+3+…19=190200-190=10行；21-10=11列（2）18+22-1=39；第39行第一个数是780,780-21=75912．如图17-16所示，把自然数按规律排列起来．如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798．这8个数中最大的数是多少?(“土”字不能旋转或翻转)答案：112解析：设方程的方法，设方格中任意一个数为X，用含有X的式子表示其他的方格内数，他们的和为798，解方程再带入最大求值。
超越篇1．下面的数组是按一定顺序排列的：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，…．请问：(1)其中第70个括号内的数分别是多少?(2)前50个括号内各数之和是多少?答案：解：（1）把（1，1）看作第一组；（1，2），（2，1）看作第二组；……依次类推每一个括号内的两个数字之和是它所在组的序号加1.前十一组共有66括号，所以第70个括号一定属于第十二组。
（2）第一组的和为1×2；第二组的和为2×2；以此类推……前50个括号内的各数之和为1×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10＋5×11＝385.2. 桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?解：每操作一次，数位会减少1，当数位减少至一位时是“2”，还可以再进行一次操作，所以，最初的球数有多少数位就可以进行多少次操作。
1×9＋2×(99－10＋1)＋3×(999－100＋1)＋4×(1949－1000＋1)＝6689（次）。
3．在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391．问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?解：两个数的和一定时，它们的差越大，乘积越小。
由数阵中规律可知，上下相邻的两个数差最大为29.由和差问题公式，较大数＝（和+差）÷2=（391+29）÷2=210，较小数=391－210=181，所以，这一组的两个数为181和210.4．图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么第6行第23列的数字是多少?解：前22列的数字个数为1+2+…+22=253，从1至120的数字个数为9+2×90+3×21=252，所以，第23列的第1行是121中的“2”，那么第6行就是123中的“1”。
所以，第6行第23列的数字是“1”。
