福建省厦门市高一(上)期末数学试卷含解析

2020-2021学年福建省厦门市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 集合M 中的元素都是正整数，且若a ∈M ，则6−a ∈M ，则所有满足条件的集合M 共有( )A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个 2. 已知全集U =R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果p ：a ∈(A ∪B)，那么“￢p ”是( )A. a ∈AB. a ∈∁U BC. a ∉(A ∩B)D. a ∈[(∁U A)∩(∁U B)] 3. 已知a =log 23.6，b =log 43.2，c =log 43.6，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >a >b 4. 角α的终边经过点A(−√3,a)，且点A 在抛物线y =−14x 2的准线上，则sinα=( )A. −12B. 12C. −√32D. √32 5. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投入成本为G(x)，当年产量不足80千克时，G(x)=13x 2+10x(万元).当年产量不小于80千件时，G(x)=51x +10000x −1450(万元).每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是( )A. 900万元B. 950万元C. 1000万元D. 1150万元 6. 已知函数f(x)={lgx,x >0−lg(−x),x <0，g(x)=(12) ax 2+bx (a ≠0).若函数f(x)与g(x)的图象有且仅有两个公共点，坐标从左至右记为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，给出下列命题正确的是( )A. 若a >0，则x 1+x 2<0，y 1−y 2>0B. 若a <0，则x 1+x 2>0，y 1−y 2>0C. 若a <0，则x 1+x 2<0，y 1−y 2符号无法确定D. 若a <0，则x 1+x 2>0，y 1−y 2符号无法确定7. 已知曲线f(x)=√3sinωx +cosωx 关于直线x =π2对称，当ω取最小正数时( ) A. f(x)在(0,π6)单调递增B. f(x)在(π6,π3)单调递增C. f(x)在(−π6,0)单调递减D. f(x)在(−π3,−π6)单调递减 8. 辆汽车每次加油都油箱加满，下表记录该车邻两油时的情况：“累计里程”汽车从出厂始累计行驶的路程，段时，该每100千平均耗油量为)A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知tanθ=3sin(θ−π)，则cosθ=( )A. −1B. −13C. 13D. 110. 下列命题正确的有( )A. 若命题p ：∃x ∈R ，x 2+x +1<0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0B. 不等式x 2−4x +5>0的解集为RC. x >1是(x −1)(x +2)>0的充分不必要条件D. ∀x ∈R ，√x 2=x11. 已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|m <x <n}，其中m >0，则以下选项正确的有( )A. a <0B. c >0C. cx 2+bx +a >0的解集为{x|1n <x <1m }D. cx 2+bx +a >0的解集为{x|x <1n 或x >1m }12. 已知函数f(x)={2x−1+21−x ,x ≥0|ln(−x)|,x <0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，且x 1<x 2<x 3<x 4，则( ) A. x 3+x 4=2B. x 1x 2=1C. −e 12≤x 1<−1<x 2≤−e −12D. 2−e 12−e −12<x 1+x 2+x 3+x 4≤0三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知幂函数过点(2,14)，则此函数f(x)= ______ ．14. 动点P(x,y)在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点O沿东偏北α(0≤α≤π2)方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定P(x,y)速度为10米/分钟，则当α变化时P(x,y)行走2分钟内的可能落点的区域面积是______．15. 中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还______ 文钱．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 下图反应的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为，B为，C为，D为．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=4x+a⋅2x+3，a∈R(1)当a=−4时，且x∈[0,2]，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．18. 已知函数f(x)=3sin(12x−π4)，x∈R．(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象：①先将函数y=sinx的图象______ 得到函数y=sin(x−π4)的图象；②再将函数y=sin(x−π4)的图象______ 得到函数y=sin(12x−π4)的图象；③最后再将函数y=sin(12x−π4)的图象______ 得到函数y=3sin(12x−π4)的图象．19. 设命题p：函数f(x)=x3−ax−1在区间[−1,1]上单调递减；命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的定义域为R.若命题p或q为假命题，求a的取值范围．20. (1)求值：(2)已知值.21. 若车从A地64km/的速度匀速行驶到B地需耗油多？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从A到B的总费？22. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0处取得极大值2，其图象在x=1处的切线与直线x−3y+2=0垂直．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(−∞,√3]时，不等式xf′(x)≤m−6x2+9x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查了元素与集合的关系，注意列集合的方法．列出满足条件的集合M即可．解：满足条件的集合M有：{1,5}，{2,4}，{3}，{1,5,2,4}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4,3}；共7个集合．故选B．2.答案：D解析：解：∵p或q的否定是￢p且￢q，∴a∈(A∪B)的否定是a∉A且a∉B，即a∈[(∁U A)∩(∁U B)]，故选：D．根据命题的否定的定义进行判断即可．本题主要考查命题的否定，结合集合的定义是解决本题的关键，是基础题．3.答案：B解析：a=log23.6=log43.62=log412.96，∵log412.96>log43.6>log43.2，∴a>c>b，故选B．4.答案：B解析：解：抛物线y=−14x2的准线方程为y=1，∵点A(−√3,a)在抛物线y=−14x2的准线上，∴a=1，∴点A(−√3,1)，∴sinα=√3+1=12，故选B．先确定抛物线的准线方程，从而确定点A的坐标，利用三角函数的定义即可得到结论．本题考查抛物线的几何性质，考查三角函数的定义，属于基础题．5.答案：C解析：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；从而由分段函数求函数的最大值．本题考查了分段函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．解：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；则当x<80时，y=50x−(13x2+10x)−250=−13x2+40x−250，则当x=60时，y max=950万元；当x≥80时，y=50x−(51x+10000x−1450)−250=−(x+10000x)+1200≤1000；(当且仅当x=100时，等号成立)；故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元．故选C．6.答案：D解析：解：作出函数f(x)的图象如图(红色曲线)，若a>0，二次函数y=ax2+bx先单调递减后单调递增，则g(x)先单调递减，后单调递增，此时函数f(x)与g(x)的图象在x>0时不一定有交点，故此时无法判断．若a<0，二次函数y=ax2+bx先单调递减，后单调递增则g(x)先单调递减后单调递增，函数f(x)与g(x)的图象有且仅有两个公共点，有且仅有两个公共点A，B，∵f(x)是奇函数，∴B(x2,y2)，关于原点对称的点C(−x2,−y2)在函数f(x)的图象上，由图象可知A(x1,y1)高于C(−x2,−y2)点，∴−x2<x1，−y2<y1，即x1+x2>0，y1+y2>0，而y1−y2符号无法确定，故选：D．画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及f(x)的对称性，即可得到结论．。

2022-2023学年福建省厦门市高一上册期末考试数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N ⋂=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,3【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再利用集合交集的定义求解即可.【详解】由223(3)(1)0x x x x --=-+<解得13x -<<，所以{|13}M x x =-<<，所以{0,1,2}M N ⋂=，故选：A.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠【答案】B【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B3．下列命题中真命题的个数有（）①x ∀∈R ，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③命题“0R x ∃∈，0e 0x ≤”是真命题；④22x x y -=-是奇函数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】运用不等式的性质，指数对数函数的性质，逐个判断选项.【详解】对于①，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以①正确；对于②，当102x =>时，1ln 0,0ln x x <<，所以1ln 2ln x x+≤成立，所以②正确；对于③，e 0x >恒成立，③错误；对于④，令()22x x f x -=-，函数定义域为R ，则()()2222()x x x xf x f x ---=-=--=-，所以22x x y -=-是奇函数，所以④正确.故选：C.4．已知tan 2α=，则sin cos αα=（）A ．25-B ．52-C ．52D ．25【答案】D【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin cos αα的值.【详解】因为tan 2α=，则222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故选：D.5．已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在[0,)+∞上是增函数，若1()02f =，则不等式()4log 0f x >的解集为（）A ．{x |x >2}B ．1{|0}2x x <<C ．{1|02x x <<或x >2}D ．{1|12x x <<或x >2}【答案】C【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性将不等式等价为41log 2x >，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式()()441log 0log 2f x f x f ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭，又()f x 在[)0,∞+上是增函数，所以41log 2x >，即41log 2x <-或41log 2x >，解得102x <<或2x >.故选：C.6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．a<0B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据已知条件得2-和3是方程20ax bx c ++=的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得,6b a c a =-=-，根据,6b a c a =-=-且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.【详解】由已知可得－2，3是方程20ax bx c ++=的两根，则由根与系数的关系可得2323,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且a<0，解得,6b a c a =-=-，所以A 正确；对于B ，0ax c +>化简为60x -<，解得6x <，B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，C 正确；对于D ，20cx bx a -+<化简为：2610x x --<，解得1132x -<<，D 错误．故选：D.7．已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，利用函数()2xf x e x =+的单调性可得a b >．反之不一定成立，例如取100a =，1b =．即可得出其不成立．【详解】解：若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，∴22a b e a e b +>+，又当0x >时，()2xf x e x =+单调递增，∴a b >．反之不一定成立，“a b >”不一定得出“23a b e a e b +=+”，例如取100a =，1b =．则“100220033a b e a e e e b +=+>+=+”．∴“a b >”是“23a b e a e b +=+”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．8．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)(]0,11,2x ∈ 时，()21x f x x -=-，则函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】D【分析】分析可知21x y x -=-关于点()1,1中心对称，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称，作出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象，利用对称性与周期性可求得结果.【详解】由于()()2f x f x +=，所以函数()f x 为周期函数，且周期为2.令()21x h x x -=-，则()21111111x x h x x x x ---===----，对任意的1x ≠，()()112112121h x h x x x +-=-+-=---，所以函数21x y x -=-关于点()1,1中心对称.设()2sin π1g x x =+，则()()()22sin π12sin π21g x g x x x +-=++-+⎡⎤⎣⎦()2sin π2sin 2ππ22x x =+-+=，所以，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称.画出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象如下图所示，由图可知，函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象有四个交点，不妨设这四个交点分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 、()44,x y ，设1234x x x x <<<，由图可知，点()11,x y 与点()44,x y 关于点()1,1对称，点()22,x y 与点()33,x y 关于点()1,1对称，所以()()422131348x x x x y y y y +++++++=.同理可知，函数()f x 与函数()2sin π124y x x =+≤≤的图象也有四个交点，设这四个交点分别为()55,x y 、()66,x y 、()77,x y 、()88,x y ，由两函数周期都为2，两函数关于点(1,1)对称，故这四个点关于点(3,1)对称，可得()()5678567816x x x x y y y y +++++++=，所以，函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于81624+=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查两函数交点横坐标与纵坐标之和，解题的关键在于分析出两函数的对称性，然后利用图形找出两函数图象的交点个数，结合对称性来计算.二、多选题9．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A ．2a b+≥()0,0a b >>B ．222a b ab +≥()0,0a b >>C 211a b ≥+()0,0a b >>D ．2222a b a b ++≥()0,0a b ≥>【答案】AC【分析】分别在Rt ADB 和Rt OCD △中，利用射影定理和OD CD ≥、CD DE ≥判定选项A 、C 正确.【详解】AC a =Q ，BC b =，2ADB π∠=根据图形，在Rt ADB 中，由射影定理得2CD AC CB =⋅，所以2CD ab =，由OD CD ≥，且22AB a b OD +==，得：2a b+≥（0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即A 正确；在Rt OCD △中，同理得2CD DE OD =⋅，所以22CD abDE a b OD ==+，又CD DE ≥2211ab a b a b≥=++（0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即C 正确；故选：AC.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则1m =或2m =C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件D ．函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,1【答案】ABC【分析】根据充分条件与必要条件的定义可判断A ，C ；利用幂函数的定义和性质，求得m 的值，可判断B ；根据指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)即可判断D ．【详解】由“3x >”不能推出“5x >”，比如4x =；而由“5x >”可以推出“3x >”，所以“3x >”是“5x >”的必要不充分条件，故A 正确：若幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2m =，故B 正确；若0ac <，则21240,0cb ac x x a∆=->=，所以一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根；若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根，则120cx x a=<，则0ac <，故C 正确； 指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)，∴函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,2，故D 错误．故选：ABC ．11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令{|10,}M x x x Q =<∈，{|10,}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =∈，{|}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =≤∈，{}10,N x x x Q =>∈，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．18【答案】ABD【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩可知()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，所以()f x 在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()144f x f x =+，所以()f x 在[]2,0-上的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：18a ≥；当a<0时，()g x 为减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，解得：14a -≤；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{}1，不符合题意；综上：a 的取值范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.则ABD 满足题意.故选：ABD三、填空题13．函数()lg 2y x =-的定义域为______．【答案】()1,2-【分析】解不等式组1020x x +>⎧⎨->⎩可求出结果.【详解】由函数()lg 2y x =+-有意义得1020x x +>⎧⎨->⎩，解得12x -<<，所以函数()lg 2y x =-的定义域为()1,2-.故答案为：()1,2-14．已知函数()24,122,1x ax x f x ax x ⎧-+<-=⎨+≥-⎩，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围为______．【答案】[)1,0-【分析】由题意可得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩,即201a a a ≥-⎧⎪<⎨⎪≥-⎩，解得：10a -≤<．所以a 的取值范围为[)1,0-.故答案为：[)1,0-.15．函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间（区间长度为1）___________.【答案】()2,3【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调递增，且()()20,30f f <>，由零点存在性定理得到答案.【详解】()2ln f x x x=-的定义域为()0,∞+，且()2120f x x x '=+>恒成立，故()2ln f x x x=-在()0,∞+上连续且单调递增，()2ln 210f =-<，()223ln 3ln e 033f =->->，故()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是()2,3.故答案为：()2,316．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，若不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____【答案】1[,1)4【分析】先求出()f x 在0x >的解析式，不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，转化为22log 0a x x -≤在(0,2x ∈上恒成立，分为1a >和01a <<讨论即可．【详解】函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，∴()()f x f x -=-，设0x >，则0x -<，∴()()2f x x x -=---∴()2f x x x =-，∵不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的]2x ∈恒成立，∴22log a x x x x -+≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，∴22log a x x ≤，即22log 0a x x -≤，当1a >时，20x >，而2log 0a x <，故1a >时不合题意；当01a <<时，令()22log a g x x x =-，当]2x ∈时，函数()g x 单调递增，∴22log 0222a g ⎛⎛⎛=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22log 22a ⎛⎛≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11log log 22a a =≤，12≥，解得1a 4≥，此时1 14a ≤<，综上所述a 的取值范围为1[,1)4．故答案为1[,1)4.【点睛】本题主要考查恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知()()()()()πsin 2πcos πcos 2cos 2π3πcos πcos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅ ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】(1)()sin cos f ααα=+(2)3-【分析】（1）利用诱导公式可化简()f α的表达式；（2）由已知可得出sin cos αα+=sin cos αα的值，进而可计算得出11sin cos αα+的值.【详解】（1）解：()()sin cos sin cos sin cos cos sin f ααααααααα⋅-⋅=+=+-⋅.（2）解：因为()5f α=，所以sin cos 5αα+=，两边平方得()22sin cos 5αα+=，所以222sin cos 2sin cos 5αααα++⋅⋅=，所以212sin cos 5αα+⋅⋅=，所以3sin cos 10αα⋅=-，所以11cos sin 253sin cos sin cos 310αααααα++==-⋅-.18．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+．（1）当3a =时，求A 和()R A B ⋃ð；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37R A B x x ⋃=-≤≤ð；（2）2a <-或6a >.【解析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ⋃ð；(2)由题意知B A Ü，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >，则{}|34R A x x =-≤≤ð，所以(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤ð.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A Ü，当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >；综上所得：2a <-或6a >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知22m n +=，且1m >-，0n >.(1)求121m n++的最小值；(2)求224221m n n m +++的最小值.【答案】(1)3；(2)45.【分析】（1）由已知推得()1213m n ++=，将121m n++变形为()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭，展开用基本不等式，即可求得121m n++的最小值；（2）原式可变形为9169122m n +-++，进而求出()()12215m n +++=，用“1”的代换将9169122m n +-++变形为()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-，展开用基本不等式，即可求得224221m n n m +++的最小值.【详解】（1）因为123m n ++=，()1213m n ++=，所以()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++24(1)1452412333n m m n ++++++=≥=，当且仅当()41212m nm n+=+，且22m n +=，即0m =，1n =时等号成立，则121m n++的最小值为3.（2）()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++()892181611n m n m =++-+++-++98911m n =+-++9169122m n =+-++，因为1225m n +++=，所以()()12215m n +++=，所以原式()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-()()92216191612295n m m n +++++++=-，9≥494955=-=当且仅当()()922161122n m m n ++=++，且22m n +=，即87m =，37n =时等号成立，则224221m n n m +++的最小值为45.20．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），b y a x =⋅（0a >，0b >且1b ≠），y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据:lg 20.30≈，lg 30.48≈）【答案】(1)应选择的函数模型是0,01)(xy a b a b b =⋅>>≠且；315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)2028年底【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且，由待定系数法即可求得函数关系式；（2）由题意列式求出每年下降得百分比，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得结果.【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且由题意得011502250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得.()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9xx y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg 3lg 3lg 222lg 315x x +->+-，解得2lg 38.0913lg 3lg 255x ->≈+-，故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.21．已知函数()()log 1(0xa f x a bx a =+->且1,R)ab ≠∈是偶函数，函数()(0x g x a a =>且1)a ≠.(1)求实数b 的值.(2)当2a =时，①求()f x 的值域.②若()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12b =(2)①[)1,+∞；②3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数的奇偶性得到()()f x f x -=，从而求得b 的值；（2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得221222xx +≥，从而由对数函数的单调性求得()1f x ≥，据此得解；②将问题转化为()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，从而得到2221x xm +⋅>在()1,+∞上恒成立，利用换元法再次将问题转化为1m t t>-恒成立，从而得解.【详解】（1）由题意得()()f x f x -=，即()()log 1log 1x xa a a bx a bx -++=+-，所以()()12log 1log 1log log 1x xxx a a a a x x a bx a aa a --+=+-+=+==，则()210x b -=，由于x 不恒为0，所以210b -=，故12b =，经检验，当12b =时，()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，满足题意，所以12b =.（2）①由（1）及2a =得()()22221log 21log 222x xxxf x ⎛⎫ ⎪=+-=+ ⎪⎝⎭，由于指数函数220xxm ==>在x ∈R 上单调递增，对勾函数1n m m=+在()0,1m ∈上单调递减，()1,m ∈+∞上单调递增，所以当1m =时，n 取得最小值min 2n =，即221222x x n =+≥，又2log y n =在[)2,n ∞∈+上单调递增，所以()2222log l 12g 12o 2x xf x ⎛⎫⎪+≥⎝=⎭=⎪，故()f x 的值域为[)1,+∞；②由题意得()2xg x =，因为()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，所以()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，()()()11222g x mg x f x +>恒成立，则()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，由①易得当2R x ∈时，22R x ∈，()2min 21f x =，所以()()1121g x mg x +>恒成立，因为()()2222x xg x mg x m +=+⋅，所以2221x x m +⋅>在()1,+∞上恒成立，令2x t =，因为1x >，所以1222x t =>=，则21t mt +>在()2,+∞上恒成立，即1m t t>-在()2,+∞上恒成立，令1y t t =-，易知1y t t =-在()2,+∞上单调递减，所以113222y t t =-<-=-，所以32m ≥-，即3,2m ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()lg (,0)1a f x b a b a x ⎛⎫=+>≠⎪+⎝⎭的图像关于原点对称.(1)求实数a ，b 的值；(2)求不等式()()()lg 20f f x f +>的解集；(3)若函数2(),11()1,11f x x h x kx x x -<<⎧=⎨+≤-≥⎩或其中0k ≤，讨论函数()()2y h h x =-的零点个数.【答案】(1)2,1a b ==-(2)19,311⎛⎫⎪⎝⎭(3)答案见解析【分析】（1）()f x 为奇函数，利用()()0f x f x -+=解实数a ，b 的值；（2）利用函数的单调性和奇偶性解不等式；（3）作出函数图像，数形结合讨论零点的个数.【详解】（1）由题意知()f x 为奇函数，有()()lg lg 011a a f x f x b b x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++=⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，整理得lg 011bx a b bx a b x x -++++⎛⎫⨯= ⎪-++⎝⎭，即()22221a b b x x +-=-，对于定义域内任意x 都成立，所以()2211a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，因为a b >，所以21a b =⎧⎨=-⎩；（2）要使()1lg 1x f x x -=+有意义，只需10101x x x+≠⎧⎪-⎨>⎪+⎩，解得11x -<<，故定义域为(1,1)-，()f x 为奇函数，又()2lg 11f x x ⎛⎫=-++⎝⎭在()1,1x ∈-时是减函数，故不等式()()()lg 20f f x f +>等价于()()()()lg 2lg 2f f x f f >-=-，即()11lg 2f x -<<，即11lglg 1021lg 1x x -+<<，∴1111012x x -<<+，又11x -<<，解得19311x <<，故不等式()()()lg 20f f x f +>的解集为19,311⎛⎫⎪⎝⎭.（3）由()20y h h x ⎡⎤=-=⎣⎦，得()2h h x ⎡⎤=⎣⎦，令()t h x =，则()2h t =，作出()h x图像如图所示：由图可知，①当0k <时，由于211y kx =+≤，所以由()2h t =得2lg 121t ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得99101t =-，当2000101k -≤<时，991101k +≥-，对应有3个零点；当200101k <-时，991101k +<-，对应有1个零点；②当0k =时，只有当10t -<<时，对应有1个零点；综上所述，当200101k <-或0k =时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦只有1个零点；当2000101k -≤<时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦有3个零点.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．33．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2 10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为．（本题第一空2分，第二空3分）16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：D．2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．解：∵向量＝（1，2），+＝（m，4），∴＝（m﹣1，2），若⊥，则m﹣1+2×2＝0，∴m＝﹣3，故选：A．3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm【分析】利用扇形的面积即可求出扇形的半径．解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，可得S＝lr＝r2α．则：r2＝＝＝4．解得r＝2，故选：C．4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．【分析】如图所示，可得||＝||＝•tan30°．解：如图所示，||＝||＝•tan30°＝N．故选：D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．解：0＜a＝0.20.3＜0.20＝1，由2b＝0.3，得b＝log20.3＜log21＝0，c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴c＞a＞b．故选：B．6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．【分析】把点（m，n）代入函数解析式得log2m＝n，再利用log2＝n﹣1即可判断出点也在函数图象上．解：∵点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，∴y＝log2m＝n，若x＝，则log2x＝log2＝log2m﹣1＝n﹣1，∴点（，n﹣1）也在该函数的图象上，故选：D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称【分析】利用分段函数化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：函数f（x）＝sin x+|sin x|＝，故函数的周期为2π，即f（x+2π）＝f（x），故排除A；显然，函数的值域为[0，2]，故排除B；在上，函数t＝sin x单调递减，故函数y＝2sin x单调递减，故C正确；根据故函数f（x）的图象特征，可得它的图象不关于点（π，0）对称，故排除D，故选：C．8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．解：f（x）＝x2+a|x﹣2|＝，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故选：A．二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2【分析】函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，即可判断．解：由题意可知，函数过点（1，1）和点（3，4），代入函数关系式：y＝ka t（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1），得：，解得：，∴函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，∵函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误，当x＝6时，y＝25＝32，浮萍的面积超过了30m2，故选项B正确，令y＝2得：t＝2；令y＝64得：t＝7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，令y＝4得：t1＝3；令y＝6得：t2＝log212；令y＝9得：t3＝log218，∴t1+t2＝3+log212＝log296≠t3，故选项D错误，故选：BC．10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根【分析】A：计算f（﹣x），再利用偶函数的定义判断即可；B：，而y＝lnx单调递增，所以函数的最小值为ln2；C：利用“同增异减”的原则判断函数的单调性，由于未已知x的范围，所以无法判断f （x+2）和f（x+1）的大小关系；D：构造函数g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，结合函数的单调性和零点存在定理判断零点个数，再由偶函数的性质，得出x＜0时零点的个数，进而得出方程根的个数．解：函数的定义域为R对于A选项，，所以f（x）是偶函数，即A正确；对于B选项，，所以f（x）有最小值ln2，即B 正确；对于C选项，由复合函数单调性的判断原则﹣﹣同增异减，可知：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x＜0时，函数f（x）单调递减；而此选项中，x的范围无法确定，所以无法比较f（x+2）和f（x+1）的大小，即C错误；对于D选项，令g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，g（x）＝f（x）+x﹣3，由于g（0）＝f（0）﹣3＝ln2﹣3＜0，g（）＝f（）+＝ln4+＞lne+＝＞0，即由零点存在性定理，以及函数的单调性可知：当x＞0时，g（x）＝0有唯一实根因为函数g（x）为偶函数，所以当x＜0时，g（x）＝0有唯一实根，因此，方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根．所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为{2，4} ．【分析】先求出集合A，集合∁U B，先利用韦恩图得到图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A，从而求出结果．解：由题意可知：A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，2，3，4}∴图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A＝{2，4}，故答案为：{2，4}．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝x2．【分析】令幂指数等于0，求得x、y的值，可得点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．解：对于函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1），令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝4，可得它的的图象恒过定点A（2，4），∵点A在幂函数y＝f（x）的图象上，∴设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，则f（x）＝x2，故答案为：x2．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．解：∵tanα＝3，π＜α＜，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝﹣＝﹣，则cosα﹣sinα＝﹣+＝，故答案为：14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为4．【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：在四边形ABCD中，++＝，即为+＝，即＝，可得四边形ABCD为平行四边形，又，可得四边形ABCD为边长为4的菱形，则△BCD的面积为正△ABC的面积，即为×42＝4，故答案为：4．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝0 ：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为 4 ．（本题第一空2分，第二空3分）【分析】第一空：用2﹣x替换x代入解析式计算即可；第二空：作出图象，数形结合即可．解：f（x）+f（2﹣x）＝+＝+＝0；作出f（x）与g（x）在[﹣7，7]上的图象如图：由图可知，共有4个交点，且两两关于点（1，0）对称，设四个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，则a+d＝2，b+c＝2，故这四个实根的和为2×2＝4，故答案为：0；4．16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．【分析】根据题意，化简函数f（x）可得，再分别求解即可．解：当x∈[0，1）时，[x]＝0，f（x）＝3|x﹣1|＝3（1﹣x），令，解得，满足题意；当x∈[1，2）时，[x]＝1，f（x）＝|x﹣1|（3﹣1）＝2（x﹣1），令，解得，不合题意；故若，则；由以上分析可知，，当x∈[0，1）时，令3（1﹣x）≤x，解得；当x∈[1，2）时，令2（x﹣1）≤x，解得1≤x＜2；综上，不等式f（x）≤x的解集为．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．【分析】（1）结合三角函数的定义的正弦定义即可求解；（2）由已知结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解解：（1）由题意可得，∠AOx＝，根据三角函数的定义可得，y＝f（θ）＝sin（），因此＝sin+sin＝；（2由），可得sin（）＝，所以＝cos[]+sin（）＝2sin （）＝．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据对勾函数性质可知其在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）分离参数得a＝，结合（1）即可求得a的取值范围．解：（1）f（x）在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）+＝，因为1＜x1＜x2，所以＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）由方程可得a＝＝x+，根据（1）可知a∈[，]．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、向量平面基本定理即可得出．（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．解：（1）如图所示，建立直角坐标系．A（0，0），D（3，0），B（﹣，），C（，），E（，），＝＝（﹣，），＝＝（3，0），设＝（，）＝x（﹣，）+y（3，0），解得x＝1，y＝．∴＝+．同理可得＝+．（2）＝（，），＝（﹣，），•＝﹣+＝﹣．＝＝，＝＝1．设与夹角为θ．∴cosθ＝＝﹣．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．【分析】（1）由函数图象过的两点及最大值求出函数f（x）的解析式，进而求出函数的单调递增区间；（2）由题意求出函数g（x）的解析式换元，画出函数图象，有图象求出函数g（x）在所给区间的值域．解：（1）由图象知：A＝2，且：﹣πω+φ＝﹣π+2kπ，+φ＝2kπ，k∈Z，|φ|＜π，解得：ω＝，φ＝﹣，所以函数f（x）＝2sin（x﹣）；单调递增区间满足+2kπ≤k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，所以单调递增区间为：[+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；（2）由（1）可得：将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得2sin（2x﹣），又左平移个单位长度可得：g（x）＝2sin （2x+2m﹣），由题意可得：2+2m﹣＝+kπ，k∈Z，0，解得：m＝，所以g（x）＝six（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，令t＝2x﹣∈[﹣，]，g（t）＝2sin t，t﹣，]，如图所示；当t＝﹣时，g（t）最小，且为：﹣1，当t＝时g（t）最大且2，所以g（t）∈[﹣1，2]，所以g（x）在[，]的值域为：[﹣1，2]．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？【分析】（1）由题意可得函数g（x）和函数h（x）的解析式，再用作差法比较大小即可；（2）利用函数f（x）在各段的单调性即可求解．解：（1）由题意可知：g（x）＝，h（x）＝，（0＜x＜50），∴，∴0＜x＜50，∴当1≤x≤17（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当18≤x≤49（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；∴，其中x∈N*；（2）即求当x为何值时，f（x）最小，∵f（x）＝在[1，17]上为减函数，f（x）＝在[18，49]上为增函数，而，∴当x＝18时，f（x）最小，即制作画册的工人18位，制作书刊的工人32位，完成订单所需时间最短．22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．【分析】（1）先判断出函数f（x）的单调性，然后求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；（2）分类讨论函数h（x）在（0，2]和（2，+∞）上的零点情况，其中用到了零点存在性定理；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将﹣log2x0代入函数f（x）中进行计算即可证明不等式成立．解：（1）因为是增函数，是减函数，所以函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0，因为对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，所以g（k）＝log2k＜0，解得0＜k＜1，故k的取值范围为（0，1）．（2）（i）由于函数在（0，+∞）上的值域为[﹣1，1]，所以下面分两种情况讨论：①当x∈（0，2]时，因为g（x）与均单调递增，所以h（x）在（0，2]上单调递增．因为，，所以．由函数零点存在定理知，∃，使得h（x0）＝0，所以h（x）在x∈（0，2]有且只有一个零点x0．②当x∈（2，+∞）时，因为g（x）＝log2x单调递增，所以g（x）＞g（2）＝log22＝1，因为≥﹣1，所以h（x）＞1+（﹣1）＝0，即h（x）在（2，+∞）上没有零点．综上所述，h（x）有且只有一个零点x0．（ii）因为，即，所以0，，因为在上单调递减，所以，所以．。

厦门市2021-2021学年度第一学期高一年级质量检测
数学试题
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可求出A∩B．
【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}．
故选A．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题.
2.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
使函数有意义的x满足解不等式组即得解.
【详解】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.
故选B.
【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.
3.已知角的终边经过点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】。

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，且，则（）{}9,3A m ={}2,9B m =A B =m =A. 0B. 3C. D. 3或03±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（ ）1rad 5A. B. 1C. 2D. 4123. “”是“”的（）1a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，，，则（ ）ln x π=51log 3y =12z e -=A. B. C. D. x y z<<z x y<<z y x<<y z x<<5. 函数①；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（ ）A 0B. 1C. 2D. 36. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值是（ ）A. -1B. -2C -4D. -87. 已知函数则的大致图像是（ ）(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()2y f x =-A.B.C.D.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω）A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,2]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）θ5π3-θA. B. C. D. 7π3-1π34π313π310. 下列说法错误的是（）A. 函数与函数表示同一个函数xy x =1y =B. 若是一次函数，且，则()f x ()()165=+f f x x ()41f x x =-C. 函数的图象与y 轴最多有一个交点()f x D. 函数在上是单调递减函数11y x =+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A. B.C.D.cos 2y x=sin y x=cos y x=tan y x=12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A. 7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数()7f x +C.在上为减函数()f x ()6,8D. 方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数的零点为______.()32x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是23208kx kx ++>___________．16. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则()()22211x f x x +=+[]2023,2023-M m ______．M m +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为钝角，且.α4cos 5α=-（1）求，的值；sin αtan α（2）求的值sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.R ()f x 0x ≥()()3x f x a a =-∈R ()326f -=（1）求的值；a （2）求函数的解析式；()f x （3）解不等式：.()2f x >20. 已知函数.π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；()f x （2）当时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时()()00nG L n L Dn =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学()102L =018G =习率衰减为.25（1）求该学习率模型的表达式；（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据1515）lg 20.3010≈22.已知函数．424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．()()f x g x =数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A解析：由得，解得或，A B =23m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.1515l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为或，11a a >⇔<-1a >又时，不能得出；1a <-0a >时，不能得出；0a >1a <-所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1a >0a >故选: D.4. D解析：，，，ln 1π> 51log 03<120e 1-<<.y z x ∴<<故选：D.5. B解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除[]0,2πx ∈②；对于①，，是奇22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③，，是偶函数．sin 2y x=()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D解析：因为幂函数的图像过点，所以，得，()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭155α=1α=-所以，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A解析：函数，则(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合1x <()2f x -故选：A.8. C解析：由题意得，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π24422k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =πππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩3124ω-≤≤0ω>104ω<≤当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ω2,Z k k ≥∈ω故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD解析：依题意，5π2π,3k k θ=-+∈Z 当时，，1k =π3θ=当时，，3k =13π3θ=所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD解析：A ：函数的定义域为，函数的定义域为R ，xy x =(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；B ：设，则，()(0)f x kx b k =+≠2(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩453k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以或，故B 符合题意；()41f x x =+5()43f x x =--C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；D ：函数在上是单调递减函数，故D 符合题意.11y x =+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD11. BD解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；cos 2y x =作函数图象，如图2，故B 正确；sin y x=作函数图象，如图3，故C 错误；cos y x=作函数图象，如图4，故D 正确.tan y x=故选：BD 12. BD 解析：因为为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为为奇函数，所以，()1f x -()()11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令，得，()(2)f x f x =-+72x =7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在中，令，得，()()11f x f x -=---12x =-3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以，从而为奇()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以在上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；()f x ()7,8()6,8因为为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.()lg 0f x x +=故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；x 故答案为：二14. 3log 2解析：令，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32x f x =-3log 2故答案为：3log 215. {}03k k <<解：因为不等式为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠又一元二次不等式对一切实数x 都成立，23208kx kx ++>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．{}03k k <<16. 4解析：因为，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，()()()()224411x x g x g x x x ---===-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）解：因为为钝角，α所以，3sin 5α===故.3sin 35tan 4cos 45ααα===--（2）原式.sin cos sin tan αααα-+=-+将，，代入，3sin 5α=4cos 5α=-3tan 4α=-得原式.342855332754--==--18. （1）∵， ， ，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy （2）∵，则 ，28x y xy +=281y x +=又∵， ，0x >0y >∴，2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. （1）因为是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326f f =-=3326a -=解得.1a =（2）当时，，0x ≥()31x f x =-设，则，则，0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x->得，得，解得或，33x >1x >1x <-1x >故的解集是.()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -≤+≤故当，即时，；ππ236x +=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.ππ232x +=π12x =max ()2f x =即，此时；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >，()()452lglg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，410x ->04x <<()f x (0,4)而，4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有()()f x g x=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，故在上有解．41x ax -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．41a x x +=-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，4y x =y x =-(0,4)所以函数在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．04x <<4xx -(3,)-+∞令，解得．13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．(4,)-+∞法二：，即，()()f xg x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)整理得到在上有解，2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。

2023-2024学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．{x |x <-1}B ．{x |x <1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |-1<x <0}1．（5分）设全集U =R ，集合A ={x |x <0}，B ={x |-1<x <1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．（5分）已知i 为虚数单位，则复数z =2+i i的实部等于（ ）A ．∃x >0，使得x 2-x ≤0B ．∃x >0，使得x 2-x >0C ．∀x >0，都有x 2-x >0D ．∀x ≤0，都有x 2-x >03．（5分）命题“∀x >0，都有x 2-x ≤0”的否定是（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．（5分）已知△ABC 的面积为32，且b =2，c =3，则∠A 等于（ ）√A ．（-2，-1）B ．（-1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）5．（5分）已知函数f （x ）的图象是连续不断的，x ,f （x ）的对应值如下表：x -2-1123f （x ）-3-2-112在下列区间内，函数f （x ）一定有零点的是（ ）A ．65B ．6C ．23D ．36．（5分）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点到双曲线x 2-y 2=1的渐近线的距离为322，则p 的值为（ ）√√√7．（5分）设向量a =（1，1），k ∈R ，下列向量b 与a 不可能垂直的是（ ）→→→二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置.A．b=（k,k+1）B．b=（k2，1）C．b=（k,k-1）D．b=（k2，-1）→→→→A．x+y-4=0B．x-2y-1=0C．x-y-2=0D．2x-y-5=08．（5分）圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（ ）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为π12，则该几何体的俯视图可以是（ ）A．4B．5C．6D．710．（5分）设实数x、y满足约束条件V Y YW YY X2x+y≤10x−y≤2x≥3，则z=x+y的最小值为（ ）A．（-2，1）B．（-∞，-1）∪（2，+∞）C．（-1，2）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f（3）>1，f（7）=a2-a-1，则实数a的取值范围是（ ）A．①B．①②C．①③D．②③12．（5分）计算机内部都以二进制字符表示信息．若u=（a1，a2，…，a n），其中a i=0或1（i=1，2，…，n），则称u是长度为n 的字节；设u=（a1，a2，…，a n），v=（b1，b2，…，b n），用d（u,v）表示满足a i≠b i（i=1，2，…，n）的i的个数．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），则d（u,v）=1．现给出以下三个命题：①若u=（a1，a2，…，a n），v=（b1，b2，…，b n），则0≤d（u,v）≤n；②对于给定的长度为n的字节u,满足d（u,v）=n-1的长度为n的字节v共有n-1个；③对于任意的长度都为n的字节u,v,w,恒有d（u,v）≤d（w,u）+d（w,v）．则其中真命题的序号是（ ）13．（4分）某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过505克的产品数量应为件．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14．（4分）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内等可能地任取一点，则该点到顶点A 的距离小于1的概率是．15．（4分）定义一种运算S =a ⊗b ,在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义．那么，按照运算“⊗”的含义，计算tan 15°⊗tan 30°+tan 30°⊗tan 15°=．16．（4分）定义域为D 的函数y =f （x ），若存在常数a ,b ,使得对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，总有f （x 1）+f （x 2）=2b ,则称点（a ,b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心．已知函数f （x ）=x 3-3x 2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：f (12012)+f (22012)+…+f (40222012)+f (40232012)= ．17．（12分）已知A 、B 两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A 盒中等可能地取出1个球，乙从B 盒中等可能地取出1个球．（Ⅰ）用有序数对（i ,j ）表示事件“甲抽到标号为i 的小球，乙抽到标号为j 的小球”，试写出所有可能的事件；（Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．18．（12分）已知向量a =（sin 2x ,cos 2x ），向量b =(12，−32)，f （x ）=a •b ，x ∈[π6，7π6]．（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数y =f （x ）的图象；（Ⅱ）（ⅰ）若-1<f （x ）<0，求x 的取值范围；（ⅱ）若方程f （x ）=a （-1<a <0）的两根分别为x 1，x 2，试求sin （x 1+x 2）的值．→→√→→19．（12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC ⊥BC ，E 、F 分别在线段B 1C 1和AC 上，B 1E =3EC 1，AC =BC =CC 1=4．（Ⅰ）求证：BC ⊥AC 1；（Ⅱ）若F 为线段AC 的中点，求三棱锥A -C 1EF 的体积；（Ⅲ）试探究满足EF ∥平面A 1ABB 1的点F 的位置，并给出证明．20．（12分）如图，设AB 、A ′B ′分别是圆O ：x 2+y 2=a 2和椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的弦，端点A与A ′、B 与B ′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．（Ⅰ）若椭圆C 的短轴长为2，离心率为32，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB 过定点M (0，32)，试探究弦A ′B ′是否也必过某个定点．√21．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列．（I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{S n }中是否存在不同的三项S m ，S n ，S k ，使得S m ，S n ，S k 为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m ,n ,k 的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f (x )=1x+clnx 的图象与x 轴相切于点S （s ,0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象与过坐标原点O 的直线l 相切于点T （t ,f （t ）），且f （t ）≠0，证明：1<t <e ；（注：e 是自然对数的底）（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST 的倾斜角为α，试证明：π4<α<5π12．。