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基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一 线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二 元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关 基维数 基变换坐标坐标变换。
基变换和坐标变换例题在线性代数中，基变换和坐标变换是非常重要的概念，它们在向量空间中的表示和描述中起着至关重要的作用。
这里将通过一些例题来详细解释和展示基变换和坐标变换的过程。
例题一假设存在一个二维向量v，其坐标表示为(3, 4)，现有两个基底b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)。
求向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
对于向量v(3, 4)，我们可以表示为v = 3 * b1 + 2 * b2。
这是因为v = x * b1 + y * b2，其中x和y分别是v在基底b1和b2下的坐标表示。
代入已知的b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)，我们可以得到： v = 3 * (1, 1) + 2 * (-1, 1) = (3, 3) + (-2, 2) = (1, 5)。
所以，向量v在基底b1和b2下的坐标表示分别为(1, 1)和(5, 1)。
例题二现在考虑一个三维向量v = (2, 1, -3)，在标准基底下的坐标表示。
此外，有一个由向量a = (1, 1, 1)，b = (0, 1, 1)和c = (1, 2, 3)组成的基底B。
求向量v在基底B下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底B下的坐标表示。
同样地，我们可以表示v = x * a + y * b + z * c，其中x、y和z分别是v在基底B下的坐标表示。
代入已知的a、b和c，我们可以得到： v = 2 * (1, 1, 1) + 1 * (0, 1, 1) + (-3) * (1, 2, 3) = (2, 2, 2) + (0, 1, 1) + (-3, -6, -9) = (-1, -3, -6)。
所以，向量v在基底B下的坐标表示为(-1, -3, -6)。
总结基变换和坐标变换是线性代数中的重要内容，它们帮助我们在不同基底之间转换向量的坐标表示。
