节点电位分析法

节点分析法1、结点分析方程【结点电位】在有n个结点的电路中，任选一个结点为参考结点，其余各结点至参考结点的电压称为该结点的结点电位。

【结点分析法】以结点电位为待求变量，将各支路电流用结点电位表示，列写除了参考结点以外其他所有结点的KCL 方程，求得结点电位后再确定其他变量的电路分析方法，称为结点分析法，简称结点分析法。

【结点分析方程的列写步骤】（1）选取参考结点，假定其余n-1个独立结点的结点电位。

（2）列写n-1个独立结点的KCL方程，方程中的各支路电流用结点电位表示。

（3）求解方程，得到结点电位。

（4）通过结点电位确定其他变量。

【例3-1-1】对图3-1-1所示电路列写结点方程。

解：设结点④为参考结点，并令独立结点①、②、③电压分别设为、、。

分别列写结点①、②、③的KCL方程如下。

为得到以结点电位为未知变量的电路方程，用结点电位表示各支路电流，即有将上述各式代入KCL方程，得到结点方程整理得【结点自电导】矩阵中对角线元素是与结点①所有相联支路电导之和，对角线元素，分别是结点②、③的所有相联支路电导之和。

对角线元素称为结点自电导。

【结点互电导】非对角线元素，如第一行、第二列元素，是结点①、②之间公共支路电导之和的负值，其余非对角线元素也满足相似的规律，称为结点互电导。

【结点等效电流源】等式右边是流入各结点的电流源，包括电压源通过戴维宁支路变换为诺顿支路所得的等效电流源，之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。

2、结点方程的视察列写【结点方程的一般形式】对具有n个结点的电路，其结点方程可写为如下矩阵形式：或写成矩阵形式其中：结点自电导＝与结点i相联的所有支路电导之和，恒是为正值。

结点互电导＝结点k、j之间公共支路的电导之和的负值，对于不含受控电源的电路，结点互电导恒是为负值或为零。

结点等效电流源＝结点i相联的电流源、包括由电压源等效转换而来的电流源之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。

物理竞赛中不平衡电桥电路的几个分析方法作者：陈玉奇来源：《中学物理·高中》2013年第03期高中物理竞赛中电学部分要用到的物理规律，除了电阻定律、焦耳定律、欧姆定律等高中物理课本上的知识以外，还要用到一些复杂直流电路的求解方法，如基尔霍夫定律、Y-Δ等效变换等等，而遇到的电路也不限于一般的混联电路，其中也包括桥式电路的计算.图1是一惠斯通电桥电路，因英国物理学家惠斯通首先使用该电路来测量未知电阻的阻值而得名.R1、R2、R3、R4是电桥的四个“桥臂”电阻，电流表和R5构成了“桥支路”.因该电路结构特殊，其中各个元件的联接并非简单的串并联关系.当电桥平衡时，可以将“桥支路”作短路或断路的等效处理，而当电桥不平衡时，该电路虽然结构简单，但已经不属于简单直流电路，无法用串并联电路的分析方法进行求解.本文给出几种不平衡电桥电路的求解方法.1 基尔霍夫定律基尔霍夫定律包括节点电流定律和回路电压定律.①节点电流定律：在电路中任意一个节点上，任一时刻流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即②回路电压定律：一个闭合回路中，从一点出发绕某一个回路一周回到该点时，各段电压降的代数和等于零，即例1 在图1中，已知电阻，R1=4 Ω，R2=R3=12 Ω，R4=6 Ω，R5=3 Ω，E=12 V，求理想电流表A的读数.解析因该电路中R1×R4≠R3×R2，即对臂电阻的乘积不相等，所以该电路属于不平衡电桥电路，不好用简单直流电路的方法计算，现用基尔霍夫定律求解.设各个电阻的电流分别为I1、I2、I3、I4、I5，方向如图2所示，则由节点电流定律，对图2中的节点a、b有分别选取三个回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，绕行方向取顺时针方向，其中回路Ⅰ和Ⅱ已在图2中标出，回路Ⅲ由R1、R2、S、E构成（图中未标出），由回路电压定律，对以上三个回路有将方程（1）、（2）代入（3）、（4）、（5），再代入电路中各个元件的参数值，可解得I5=0.5 A方向向下.（求解过程略）点拨①基尔霍夫定律是电路的基本定律之一，不论在何种电路中，它阐明的各支路电流之间和回路电压之间的基本关系都是普遍适用的.理论上来讲，基尔霍夫定律可以解决一切电路问题，它思路简单清晰，对于基础好的学生来讲，是完全可以做到熟练掌握和灵活应用的，但是不足之处在于，如果支路较多，所列方程的个数也会随之增多，从而使得解题过程显得比较繁琐，但不失为解决非平衡电桥电路的一种有效方法.②在列回路电压方程时，有两个注意点，一是电压符号的选取，回路电压定律指出“各段电压降的代数和等于零”，因此，如果遇到电位升的情况，电压要取负号；二是回路的选取要使得所列的电压方程独立，如本题中回路Ⅲ选取很显然该方程可以由方程（3）、（4）相加得到，用该方程与方程（1）、（2）、（3）、（4）联立是无法求解的，因而它不是独立的方程.2 戴维南定理戴维南定理也叫等效电压源定理，即对外电路来说，一个含源二端线性网络可以用一个电压源来代替，该电压源的电动势E0等于二端网络的开路电压，其内阻R0等于含源二端网络内所有电源电动势为零，仅保留其内阻时，网络两端的等效电阻（输入电阻）.根据戴维南定理可以对一个含源二端网络进行简化，简化的关键在于正确理解和求出含源二端网络的开路电压和等效电阻.例2 用戴维南定理求图1中理想电流表A的读数.解析移开R5和A这个待求支路，求二端网络的开路电压Uab，如图3所示.开路后的电路为一简单直流电路，其中R1与R2串联，R3与R4串联，设此时R1与R2的电流为I12，R3与R4的电流为I34，方向如图所示，则即等效电源的电动势为E0=5 V.再求等效电阻Rab，这时将电源电动势除去，如图4所示，则即等效电源的内阻为R0=7 Ω.画出二端网络对应的等效电压源的电路图，并将R5和A支路接入，如图5所示，则点拨①在实际问题中，遇到一个复杂直流电路，如果并不需要把所有的支路电流都求出来，在这种情况下，用基尔霍夫定律来计算就很复杂，而应用戴维南定理就比较方便.②戴维南定理的两个关键步骤：求开路电压Uab和等效电阻Rab.在计算开路电压Uab 时，必须注意代替含源二端网络的等效电压源E0的极性与开路电压Uab保持一致，如果求得的Uab是负值，则电动势E0的极性与图5中的相反；而求等效电阻Rab时，必须将网络内的各个电源除去，仅保留电源内阻.③戴维南定理只适用于二端网络以及二端网络内部为线性电路的情形，如果二端网络内有非线性元件（如二极管、三极管等），或者所求部分为三端网络（如三相负载），则不适用，但如果所求支路中含有非线性元件，戴维南定理同样适用.3 节点电位法以节点电位作为未知量，将各支路的电流用节点电位表示，再利用节点电流关系列出独立的电流方程进行求解，这就是节点电位法.要想确定电路中节点的电位，只需在电路中任选一个节点，设其电位等于零，则所求点的电位即等于该点和零电位点之间的电压值.例3 用节点电位法求图1中理想电流表A的读数.解析如图6，将图中另外两个节点c、d标出，各个电阻上的电流方向如图所示.设d接地，则φd=0，φc=12 V，则各支路电流用节点电位可表示为点拨①节点电位法实际上是以节点电位作为未知量分析电路的一种方法，适用于支路数较多，而节点数较少的电路中，本题中虽然有四个节点，但由于c、d的电位已知，所以实际上只有两个未知节点a和b，使用节点电位法的优点在于解题的方程较少.②用节点电位法求解电路问题时参考点的选择要合适，应使该电路中其余节点的电位易于表示，使未知数尽可能少.4 互易定理在一个只含电压源的线性电阻电路中，如X支路中的电压源UX在支路Y中产生的电流为IY，则当电压源由支路X移到支路Y中时，将在支路X中产生电流IY，这就是互易定理.简单来讲，即在图1中，如果将电压源E与电流表A互换位置，根据互易定理，电流表的读数应该不变，从而可以从另一个角度求得电流表的读数.例4 用互易定理求解图1中的电流表的读数.解析将图1中的电流表和电源互换位置，如图7所示，其对应的等效电路以及互换后各个电流的参考方向如图8所示，可知R1和R2并联，R3和R4并联.在图8中，R总=R5+R1R2R1+R2+R3R4R3+R4根据串并联电路的分流公式可知，电阻R1和R3上的电流分别为点拨①互易定理适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一个支路之间的电压、电流关系.②互易时电压源原来的位置应短路，电压源串联接入另一支路.5 Y-Δ等效变换如图9和图10所示是一个Y形电阻网络和一个Δ形电阻网络，当这两个电阻网络分别接到同一个电路中时，如能保持这个电路中其余各部分的电流和电压不变，则这两个电阻网络对于这个电路是等效的，对应的等效变换关系如下（证明过程略）：Y形电路等效变换成Δ形电路的条件为例5 用Y-Δ等效变换的方法求解图1中电阻R1、R3上的电流I1、I3.解析因图1中R2、R4、R5为Δ形接法，用Y-Δ等效变换法将此Δ形接法变换成Y形接法，如图11所示，则对应的Y形接法中等效电阻为。

教你几种电路分析的高效方法对电路进行分析的方法很多，如叠加定理、支路分析法、网孔分析法、结点分析法、戴维南和诺顿定理等。

根据具体电路及相关条件灵活运用这些方法，对基本电路的分析有重要的意义。

现就具体电路采用不同方法进行如下比较。

支路电流法01支路电流法是以支路电流为待求量，利用基尔霍夫两定律列出电路的方程式，从而解出支路电流的一种方法。

一支路电流分析步骤1) 假定各支路电流的参考方向，对选定的回路标出回路绕行方向。

若有n个节点，根据基尔霍夫电流定律列（n一1）个独立的节点电流方程。

2) 若有m条支路，根据基尔霍夫电压定律列（m-n+1）个的独立回路电压方程。

为了计算方便，通常选网孔作为回路（网孔就是平面电路内不再存在其他支路的回路）。

对于平面电路，独立的基尔霍夫电压方程数等于网孔数。

3) 解方程组，求出支路电流。

【例1】如上图所示电路是汽车上的发电机（US1）、蓄电池（US2）和负载（R3）并联的原理图。

已知US1=12V，US2=6V，R1=R2=1Ω，R3=5Ω，求各支路电流。

分析：支路数m＝3；节点数n＝2；网孔数＝2。

各支路电流的参考方向如图，回路绕行方向顺时针。

电路三条支路，需要求解三个电流未知数，因此需要三个方程式。

解：根据KCL，列节点电流方程（列（n-1）个独立方程）：a节点：I1+I2=I3根据KVL，列回路电压方程：网孔1：I1R1-I2R2=Us1- Us2网孔2：I2R2+I3R3=Us2解得：I1=3.8A I2=-2.2A I3=1.6A叠加定理02在线性电路中，所有独立电源共同作用产生的响应（电压或电流），等于各个电源单独作用所产生的响应的叠加。

在应用叠加定理时，应注意以下几点：1) 在考虑某一电源单独作用时，要假设其它独立电源为零值。

电压源用短路替代，电动势为零；电流源开路，电流为零。

但是电源有内阻的则都应保留在原处。

其它元件的联结方式不变。

2) 在考虑某一电源单独作用时，其参考方向应选择与原电路中对应响应的参考方向相同，在叠加时用响应的代数值代入。

节点电位法公式(二)节点电位法公式1. 电压分配公式•电压分配公式是节点电位法的基础，用于计算电路中各节点之间电压的分布。

•公式：V i=V m⋅R iR total•说明：V i表示第i个节点的电压，V m表示源电压（或某个参考电压），R i表示与第i个节点相连的电阻，R total表示总电阻。

•示例：假设一个电路中有一个电源，电源电压为V m=12V，与电源相连的两个电阻分别为R1=4Ω和R2=6Ω，总电阻为R total=10Ω，则根据电压分配公式可计算出节点1和节点2的电压：$V_1 = 12V = $$V_2 = 12V = $2. 电流分配公式•电流分配公式用于计算电路中分支电流的分布情况。

•公式：I i=I t⋅G iG total• 说明：I i 表示第 i 个分支电流，I t 表示总电流，G i 表示与第 i 个分支电流相连的电导，G total 表示总电导。

• 示例：假设一个电路中有一个电流源，电流大小为 I t =2A ，与电流源相连的两个电导分别为 $G_1 = $ 和 G 2=1S ，总电导为 $G_{total} = $，则根据电流分配公式可计算出分支1和分支2的电流：$I_1 = 2A = $ $I_2 = 2A = $3. 电阻网络的等效电阻• 电阻网络的等效电阻是指将电路中的多个电阻通过某种方式合并成一个等效电阻，使得它们在电路中起到相同作用。

•公式：R eq =1∑1R i n i=1 •说明：R eq 表示等效电阻，R i 表示第 i 个电阻。

• 示例：假设一个电路中有三个并联的电阻，分别为 R 1=2Ω、R 2=4Ω、R 3=6Ω，则根据等效电阻公式可计算出它们的等效电阻：R eq =112Ω+14Ω+16Ω≈Ω4. 节点电位法的戴维南定理•节点电位法的戴维南定理是指在电路中，无论是串联电路、并联电路还是复杂网络，只需要找出所有与节点N相连的电阻，并将这些电阻视作等效电阻，则节点N处的电位等于与其相连的电阻上的电压之和。

节点电位法
节点电位法是一种用于分析电路的方法，它基于电路中所有节点
电位之间的关系，通过求解未知节点电位，得到电路中各元件的电流
和电压。

这种方法在电路分析中得到了广泛的应用，可以用于解决各
种复杂电路的问题。

该方法的基本原理是根据基尔霍夫定律，任何一个电路中的节点
电位之和必须为零。

节点电位指的是电路中各个分支交汇处的电势差。

通过量化每个节点的电位，可以将电路转化为一组线性方程，进而求
解电路中各元件的电流和电压。

节点电位法的主要步骤包括：
1. 给电路中每个节点标上编号，并选择一个节点作为参考点。

2. 写出基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律方程，以节点电位
作为未知量。

3. 将方程转化为矩阵形式，并进行高斯消元或其他矩阵求解方法，求解未知节点电位。

4. 根据节点电位计算电路中各元件的电流和电压。

通过节点电位法可以解决各种电路问题，例如电路中的电流、电压、功率等问题。

这种方法具有计算简便、精度高、适用范围广等特点。

在电路分析中，节点电位法是一种非常重要的工具，被广泛应用
于各种电路的设计、分析和测试中。

总的来说，节点电位法是一种可靠、高效的电路分析方法，它不
仅可以解决各种电路问题，也可以为电路设计和调试提供有力的支持。

无论是在实际电路应用中还是在电路教学中，都有着广泛的应用和重
要地位。

节点电位法解题步骤嘿，咱今儿就来聊聊节点电位法解题步骤这事儿哈！你知道不，节点电位法就像是一把神奇的钥匙，能帮咱解开那些复杂电路的谜团呢！首先呢，咱得选好节点，这就好比是在茫茫电路中找到关键的据点。

这节点选得好啊，后面解题就顺利多啦！然后呢，咱要列出节点电位方程。

这可不能马虎，得一个一个元件仔细分析，就像警察查案一样，不放过任何一个小细节。

每个元件都有它的作用和影响，咱得把它们都考虑进去。

接下来，解方程呀！这可有点像解谜题，得动点小脑筋。

有时候那些数值会让人眼花缭乱，但别着急，静下心来慢慢算。

咱再想想，这节点电位法就像是走迷宫，每一步都得走对，不然就会在电路的迷宫里打转。

你说要是一步错了，那后面不就全乱套啦？比如说，有个电阻在那，你就得搞清楚它对节点电位的影响是啥。

就像一条路，它是通的还是堵的，咱得心里有数。

还有啊，那些电源也不能小瞧。

它们就像是给电路注入活力的源泉，决定着电位的高低呢！咱学习节点电位法，可不能死记硬背步骤，得理解其中的道理。

就跟学骑自行车似的，一开始可能会摔倒，但多练练，掌握了技巧，那就能骑得稳稳当当啦！当你真正掌握了节点电位法解题步骤，看着那些复杂的电路在你面前变得清晰明了，那感觉，哎呀，真的是太有成就感啦！就好像你征服了一座高山，站在山顶上，那种自豪和满足感简直没法形容。

所以啊，别害怕那些复杂的电路，只要咱按照步骤一步一步来，肯定能解开它们的秘密。

加油吧，朋友们，让我们在电路的世界里畅游，用节点电位法这把钥匙打开知识的大门！总之啊，节点电位法解题步骤就是咱攻克电路难题的法宝，好好学，好好用，肯定能收获满满呀！。