高中物理模块九磁场考点4.6带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题试题

《匀强磁场中的临界、极值和多解问题》典型题1．(多选)如图所示，宽d ＝4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里．现有一群正粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ＝10 cm ，则( )A ．右边界：－8 cm<y <8 cm 有粒子射出B ．右边界：0<y <8 cm 有粒子射出C ．左边界：y >8 cm 有粒子射出D ．左边界：0<y <16 cm 有粒子射出2．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一边长为L 的正三角形(边界上有磁场)，A 、B 、C 为三角形的3个顶点．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以速度v ＝3qBL 4m从AB 边上的某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，若该粒子能从BC 边上某点Q 射出，则( )A ．PB ≤2＋34L B ．PB ≤1＋34LC ．QB ≤34LD ．QB ≤12L3．(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4T ，电子质量m ＝9.1×10－31kg ，电量e ＝－1.6×10－19C ，不计电子重力，电子源发射速度v ＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( )A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cmB ．θ＝60°时，l ＝9.1 cmC ．θ＝45°时，l ＝4.55 cmD ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm4．(多选)如图所示是半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的在一定范围内的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)，不计重力，现粒子以沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域，发现带电粒子恰能从bd之间飞出磁场．则( )A．从b点飞出的带电粒子的速度最大B．从d点飞出的带电粒子的速度最大C．从d点飞出的带电粒子的运动时间最长D．从b点飞出的带电粒子的运动时间最短5．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短B．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短6．(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)．一群比荷为qm的负离子以相同速率v0(较大)由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )A．离子飞出磁场时的动能一定相等B．离子在磁场中运动半径一定相等C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大7．如图所示，内圆半径为r 、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U ，靠近M 板处静止释放质量为m 、电荷量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：(1)离子从N 板小孔射出时的速率；(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；(3)要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围．8．如图所示，M 、N 、P 为很长的平行边界面，M 、N 与M 、P 间距分别为l 1、l 2，其间分别有磁感应强度为B 1和B 2的匀强磁场区，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B 1≠B 2，有一带正电粒子的电荷量为q ，质量为m ，以某一初速度垂直边界N 及磁场方向射入MN 间的磁场区域．不计粒子的重力．求：(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度v 0至少应为多少？(2)若粒子进入磁场Ⅰ的初速度v 1＝2qB 1l 1m ，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间t 1是多少？(3)粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．9．如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0,0＜x＜0.5 m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B＝0.5 T．在原点O放一个开有小孔的粒子源，粒子源能同时放出比荷为qm＝4.0×106C/kg的不同速率的正离子束，沿与x轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮，入射正离子束的速率在0到最大值v m ＝2.0×106 m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；(2)求离子打到荧光屏上的范围；(3)实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30°～60°角内进入磁场，则某时刻(设为t＝0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过5π3×10－7 s时这些离子可能出现的区域面积是多大？10．如图所示，在半径为R＝m v0Bq的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速度为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计．(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；(2)若粒子对准圆心射入，且速率为3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；(3)若粒子以速度v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．《匀强磁场中的临界、极值和多解问题》参考答案1．(多选)解析：选AD.根据左手定则，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r ＝10 cm 画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则OO 1＝O 1A ＝OO 2＝O 2C ＝O 2E ＝10 cm ，由几何知识求得AB ＝BC ＝8 cm ，OE ＝16 cm ，因此答案为A 、D.2．(多选)解析：选AD. 由q v B ＝m v 2R ，得R ＝34L .PB 最大时轨迹与AC 边相切，由几何知识得AP ＝R cos 30°－R ，BP ＝L －AP ＝2＋34L ，A 正确，B 错误．QB 最大时粒子平行于AB 边从Q ′点射出，此时Q ′B ＝R sin 60°＝12L ，C 错误、D 正确．3．(多选)解析：选AD.电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：e v B ＝m v 2R ，R ＝m v Be＝4.55×10－2 m ＝4.55 cm ＝L 2，θ＝90°时，击中板的范围如图1，l ＝2R ＝9.1 cm ，选项A 正确．θ＝60°时，击中板的范围如图2所示，l <2R ＝9.1 cm ，选项B 错误．θ＝30°，如图3所示l ＝R ＝4.55 cm ，当θ＝45°时，击中板的范围如图4所示，l >R (R ＝4.55 cm)，故选项D 正确、选项C 错误．4．(多选)解析：选ACD.粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据题意作出粒子运动轨迹如图所示．图中O b为到达b点的轨迹的圆心，O d为到达d 点的轨迹的圆心，根据几何关系可知，r b>r d，到达d点转过的圆心角比到达b点的圆心角大．根据r＝m vBq可知，b的半径最大，d的半径最小，所以从b点飞出的带电粒子的速度最大，从d点飞出的带电粒子的速度最小，A正确，B错误．周期T＝2πmBq，所以粒子运动的周期相等，而到达d点转过的圆心角最大，到达b点转过的圆心角最小，所以从d点飞出的带电粒子的运动时间最长，从b点飞出的带电粒子的运动时间最短，C、D正确．5．解析：选A.由左手定则可知，带正电的粒子向左偏转．若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的偏转角越小，则运动的时间越短，选项A正确．若v一定，θ＝90°时，粒子离开磁场的位置距O点最远，选项B错误．若θ一定，粒子在磁场中运动的周期与v无关，粒子在磁场中运动的角速度与v无关，粒子在磁场中运动的时间与v无关，选项C、D错误．6．(多选)解析：选BC.射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为洛伦兹力对离子不做功，故这些离子从射入到射出动能不变，故飞出磁场时的动能可能不等，A 错误．离子在磁场中偏转的半径为r ＝m v qB ，由于比荷和速度都相等，磁感应强度B 为定值，故所有离子的偏转半径都相等，B正确．各离子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB 也相等，根据几何知识，在半径相同的圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q 点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C 正确．沿PQ 方向射入的离子不可能从Q 点射出，故偏转角不是最大，D 错误．7．解析：(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v ，由动能定理得qU ＝12m v 2，解得v ＝ 2qUm .(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为R ，离子所受洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得q v B ＝m v 2R ，运动周期T ＝2πR v ，联立解得T ＝2πm qB .(3)若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为R 0，此时轨迹如图所示．由几何关系得R 20＋(3r )2＝(R 0＋r )2，解得R 0＝4r .需满足的条件为R ≤R 0，又q v B ＝m v 2R ，qU ＝12m v 2.联立解得U ≤8qr 2B 2m . 答案：(1) 2qU m (2)2πm qB (3)U ≤8qr 2B 2m8．解析：(1)设粒子的初速度为v 0时恰好能进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好沿M 边界，所以半径为r ＝l 1，由B 1q v 0＝m v 20r ，解得v 0＝B 1ql 1m .(2)粒子在磁场Ⅰ中运动，则有B 1q v 1＝m v 21r 1， 解得r 1＝2l 1.设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为α，则有sin α＝l 1r 1＝12，所以α＝π6. 所以第一次穿过Ⅰ磁场所用时间为t 1＝α2πT ＝112×2πm B 1q ＝πm 6B 1q .(3)设粒子速度为v 时，粒子在磁场Ⅱ中的轨迹恰好与P 边界相切，轨迹如图乙所示．由Bq v ＝m v 2R 可得R 1＝m v B 1q ，R 2＝m v B 2q . 由图得sin θ＝l 1R 1＝qB 1l 1m v . 粒子在磁场Ⅱ中运动有R 2－R 2sin θ＝l 2，解得v ＝qB 1l 1＋qB 2l 2m. 答案：(1)B 1ql 1m (2)πm 6B 1q (3)qB 1l 1＋qB 2l 2m 9．解析：(1)离子在磁场中运动的周期为：T ＝2πm qB ＝π×10－6 s由几何关系知，能够打到荧光屏上的离子从粒子源放出到打到荧光屏上转过的圆心角α都相等α＝2π3离子从粒子源放出到打到荧光屏所用时间t ＝α2πT ＝π3×10－6 s(2)由q v B ＝m v 2r ，r ＝m v qB ，则r m ＝m v m qB ＝1 m离子在磁场中运动最大轨道半径r m ＝1 m由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如图，所以OA 1长度为：y ＝2r m cos 30°＝ 3 m即离子打到荧光屏上的范围为：y ＝0到y ＝ 3 m(3)经过时间t ＝5π3×10－7 s 离子转过的圆心角φ＝2πT t ＝π3与x 轴成60°方向入射的离子，在t ＝5π3×10－7 s 刚好打在y 轴上，与x 轴成30°方向入射的离子，在t ＝5π3×10－7 s 都到达线段OC 1，所以在t ＝0时刻与x 轴成30°～60°内进入磁场的正离子在t ＝5π3×10－7s 时刻全部出现在以O 为圆心的扇形OA 2C 1范围内，如图，则离子可能出现的区域面积：S ＝πr 2m 12＝π12 m 2＝0.26 m 2答案：(1)π3×10－6s (2)y ＝0到y ＝ 3 m (3)0.26 m 210．解析：(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，由牛顿第二定律得Bq v 0＝m v 20rr ＝R带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为π2，如图甲所示，则t ＝π2R v 0＝πm 2Bq (2)由(1)知，当v ＝3v 0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为3R ，其运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知∠PO 2O ＝∠OO 2J ＝30°，所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°.v ⊥＝v sin 60°＝32v 0(3)由(1)知，当带电粒子以v 0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R .设粒子射入方向与PO 方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S 射出，带电粒子的运动轨迹如图丙所示．因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R所以四边形POSO3为菱形由图可知：PO∥O3S，v0′⊥SO3，故v0′⊥PO因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．答案：(1)πm2Bq(2)32v0(3)见解析。

考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆〞方法解决极值问题圆“放缩〞当带电粒子射入磁场方向确定，但射入时速度v 大小或磁场强弱B 变化时，粒子做圆周运动轨道半径r 随之变化．在确定粒子运动临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．如下图，粒子进入长方形边界OABC 形成临界情景为②与④.1. 〔多项选择〕如下图，左、右边界分别为PP ′、QQ ′匀强磁场宽度为d ，磁感应强度大小为Bm 、电荷量为q 微观粒子，沿图示方向以速度v 0QQ ′射出，粒子入射速度v 0最大值可能是( BC ) A.Bqd m B.(2＋2)Bqd m C.(2－2)Bqd m D.2Bqd 2m2. (2021·全国卷Ⅲ，18)平面OM 与平面ON 之间夹角为30°，其横截面(纸面)如下图，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 速度从OM 某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

该粒子在磁场中运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场出射点到两平面交线O 距离为( D )A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB3. 〔多项选择〕长为L 水平极板间，有垂直纸面向内匀强磁场，如以下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电荷量为q 带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用方法是( AB )A. 使粒子速度v <BqL 4mB.使粒子速度v >5BqL 4m C. 使粒子速度v >BqL mD. 使粒子速度BqL 4m <v <5BqL 4m 4. 如下图，边长为L 正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B 匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q 粒子从AB 边中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB 边夹角为30°.假设要求该粒子不从AD 边射出磁场，那么其速度大小应满足( C )A ．v ≤2qBL mB ．v ≥2qBL mC ．v ≤qBL mD ．v ≥qBL m5. 如下图，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外匀强磁场，磁感应强度为B ，AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域长度足够长，宽度为d.一束带正电某种粒子从AA′上O 点以大小不同速度沿着AA′成60°角方向射入磁场，当粒子速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内运动时间为定值t0；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场．不计粒子所受重力．求：(1)粒子比荷q m；(2)带电粒子速度v0与v1.【答案】(1)qm＝4π3Bt0(2)v0＝2Bqd3m，v1＝2Bqdm6.如下图，两个同心圆，半径分别为r与2r，在两圆之间环形区域内存在垂直纸面向里匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子质量为m，带电荷量为q，假设粒子速度方向都与纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，那么初速度大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，那么粒子初速度不能超过多少？【答案】(1)3Bqr3m(2)3Bqr4m7.如下图，M、N为两块带等量异种电荷平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间各种数值．静止带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上一绝缘板，它与N板夹角为θ＝45°，孔Q到板下端C距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压最大值U m；(2)CD板上可能被粒子打中区域长度x；(3)粒子在磁场中运动最长时间t m.π【答案】〔1〕；〔2〕Bq8.如下图，OP曲线方程为：y(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平向右匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大垂直纸面向内匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行刚上方(包括PN存在竖直向上匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN上方hy轴水平放置荧光屏AB，OM长度为a=6.25m。

• 关键点：1.分成正电荷和负电荷讨论，画图是关 键.2.注意正负电荷受洛伦兹力方向不同，偏转方向 不同.3.最大速度都是轨迹和右边界相切时的速度.
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例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
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旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
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“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
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Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题作业题作业题目难度分为3档：三星☆☆☆（基础题目）四星☆☆☆☆（中等题目）五星☆☆☆☆☆（较难题目）本套作业题目1-10题为三星,11-15为四星。

1.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应强度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是()☆☆☆A.4Bem B.3Bem C.2Bem D.Bem答案解析：当洛伦兹力方向和电场力方向相同时，有ωmu r v m evB F ==+2电，又因为evB F 3=电，可得m eB 4=ω，当洛伦兹力和电场力方向相反时，有：ωmv evB F =-电，得meB 2=ω，故A 、C 正确。

2.如图示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S.某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为()☆☆☆A.T 3B.T 4C.T 6D.T 8答案解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射点和入射点的连线为轨迹的弦，初速度大小相同，轨迹半径qBmv R =相同，设d OS =，当射出点D 与S 点连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹对应的圆心角α最大，根据qvB rv m =2，有m qBr v =，则周期qB m v r T ππ22==周期恒定，粒子的运动时间T t πα2=，此时粒子运动时间最长为2T ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，由几何关系，得︒=60θ，所以最短时间为T 61，故粒子在磁场中运动时间范围为26T t T ≤≤，运动时间不可能为8T ，故A 正确。