(完整版)物理中求极值的常用方法

物理中的极值问题武穴育才高中 刘敬随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。

极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。

1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =ab ac 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =ab ac 442- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a当090=+θϕ，22max b a y += 此时，ba arctan =θ 也可用求导法：ba b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．6.用图象法求极值通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。

7.几何作图法研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。

研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。

物理极值问题的求解方法1导读：本文物理极值问题的求解方法1，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

物理极值问题的求解方法1 随着教改的不断深入，物理教学更加结合实际，物理习题的题型不断拓宽。

在中学物理竞赛及高考试卷中都出现了一些具有一定难度的求极值问题。

求极值的一般方法是用导数求解。

但中学生还没有学过关于异数的数学知识。

本专题将分若干小专题，分别介绍符合中学生数学基础的解决极值问题的方法。

一、几何法求极值在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。

”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。

例1.如图1-1所示，船A从港口P出发去拦截正以速度υ0沿直线航行的船B 。

P与B所在航线的垂直距离为a，A起航时与B 船相距为b，b>a 。

如果略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就匀速运动。

则A船能拦截到B船的最小速率为多少？分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。

若以地球为参照系，两个物体都运动，且运动方向不一致，它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂，一时不容易做出正确的判断与解答。

但如果把参照系建立在某一运动的物体上，（如B上）由于以谁为参照系，就认为谁不动，此题就简化为一个物体，（如A）在此运动参照系的运动问题了。

当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。

以B为参照系，B不动，在此参照系中A将具有向左的分速度υ0，如图1-2所示。

在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B 。

应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。

过O点作PB的垂线，交PB于E点，OE即为A船对地的速度的最小值υA，在△AOE中∵υA=υ0Sinθ而∴，由于灵活运用了几何知识，使较为复杂的问题，变为简单的几何问题了。

例2.如图1-3所示，重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，欲以一个拉力F使物体沿地面匀速前进。

问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？分析与解：画出物体的受力分析图，如图1-4所示。

高考物理解题方法指导之极值问题综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．互动探究例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．例1例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度v0=10m/沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离最大？这个距离是多少？（g取10m/2）例4例5、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？-1-Er例6、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R>R1+r），当滑动变阻器连入电路的电阻R某多大时，在变阻器上消耗的功率最大？R1R例6例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂直磁场方向放在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环总电阻为R．另有一直导线OP长为L，其电阻为QROP，一端处于圆环圆心，一端与圆环相连接，金属转柄OQ的电阻为ROQ，它以nB的转速沿圆环匀速转动，问OP中电流强度的最小值是多少？PO例7例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场B两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不120°超过60°），求磁感应强度B的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？UL例8例9、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强P磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其他电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？Er最大值是多少？vKQB例9例10、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部．求电子必须具有的最小初动能是多少？课堂反馈反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．汽车从路口开动后，在追上自行R1车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？aPR3R2b反馈2、如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5Ω，外阻R1=2Ω，VR2=3Ω，滑动变阻器R3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少Er反馈2达标测试1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？-2-22、某中学举办了一次别开生面的―物理体育比赛‖，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？达标23、一条宽为L的河流通，水流速度为u，船在静水划行速度为v，若vO4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01Kg的子弹，以v0=400m/的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？ROmv0M达标56、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H的天空，如果加速度a和每秒消耗的油量y之间的关系是y=ka+n（k>0，n>0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H时耗油量最低．7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E＝10V，内阻r＝1Ω，ErRo＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值．当滑动片P从最左端滑到最右端R0的过程中，电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化PAaRb8、如图所示，AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导达标7轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有RCA垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B．在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，ba从静止开始沿导轨下滑．已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，求ab棒的最大速度．θBD达标8θθ9、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径．-3-B达标910、如图所示，一束宽为d的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i，玻璃对红、蓝光的折射率分别为n1和n2，则要想从下底面得到两束单色光，玻璃砖的厚度L至少为多大？达标1011、如图所示，水平传送带水平段长l=6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H=5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/的初速度滑上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2．求：（1）若传送带静止，物块滑到右端后做平抛运动的水平距离0等于多少（2）当皮带轮匀速转动，且角速度为ω时，物体做平抛运动的水平位移为，以不同角速度ω做上述实验，得到一组对应的ω和值．设皮带轮顺时针转动时ω>0，逆时针转动时ω<0，试画出平抛距离随ω变化的曲线．专题十一，课时2解析例1解析：物体的受力图如图．建立坐标系，有：Fcoθ-μN=0①Finθ+N-G=0②得F=μG／(coθ+μinθ)2令tanφ=μ，则coθ+μinθ=1co(θ-φ)∴F=当θ=φ时，co(θ-φ)取极大值1，F有最小值．Fmin==G/2，tanφ=μ=1/3，φ=30o，∴θ=30o解法二、将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解．将N与f合成为一全反力R．tanΦ=f/N=μ．可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的．物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形．由图可知，当F垂直于R时，F最小．-4-此时，θ=Φ=arctan(1/√3)=30o，Fmin=GinΦ=G/2例2解析：设最大速度为vm，即加速阶段的末速度为vm，画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移．即：v/m·-1vm11tvm，5020vm，vm=5m/．22O20t/例3解析：设斜面倾角为θ时，斜面长为，物体受力如图所示，由图知b……①co12at……②2N由匀变速运动规律得：由牛顿第二定律得：mginθ=ma……③联立①②③式解得：tmg4bgin22Sa2bgincoθb可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°，θ=45°时，in2θ有最大值，t有最小值．例4解析：设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为v，由机械能守恒定律，1212mv0mvmgh⑴2212hgt小物块做平抛运动，⑵2vt22v0v02h2将⑴⑵联立，hv02gh2h，g4g4g22v0v0当h2.5m时，最大飞行距离：ma某5m．4g2g22例5解析：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcoα=mgvinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLco12mv……………②2OθLA2解①②可得：Pmg2gLcoin2令y=coθinθC21ycoin(2co2in4)21(2co2in2in2)2αθBvmg又2co2in2in22(in2co2)2根据基本不等式abc3abc，定和求积知：22当且仅当2coin，y有最大值由2co21co2得：co33-5-。

物理极值求解中常用的数学方法作者：伦玉玲来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期数学是科学的语言，是物理学的重要工具.运用数学方法解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好可以帮助我们更加简捷的解决物理问题.极值问题是高中物理学习的重点，也是学生学习过程中的一个难点.运用数学知识求解物理极值，不仅可以简化物理过程的分析，而且容易被学生接受.下面把求解物理极值问题的常用数学的方法总结一下.一、利用三角函数求极值三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在高中物理问题中，由于涉及到矢量的计算和讨论，三角函数在物理解题中有较广泛的应用.利用三角函数求极值在物理问题中是非常常见的.本题先用“积化和差”，再用正弦函数的单调变化的临界状态求取F的最小值，使判断变得直观简单.运用三角函数求极值在物理问题的讨论中非常普遍，在各块内容中都有不同程度的应用，尤其在力学、机械能、交流电、电磁学、几何光学中的运用尤为突出，值得重视和推广.二、利用二次函数求极值在物理运动学中追及问题是常见题型，常常要求最远距离或最近距离.可根据题意先列出函数表达式，根据函数表达式的具体表现求极大值或极小值，即最远距离或最近距离.本题运用二次函数求得两车间的最大距离，通俗易懂，省去了物理过程的分析，非常容易被学生接受和运用.此种方法尤其在运动学中其应用频率相当高，值得我们重视.运用二次函数求极值，首先要根据物理过程中物理量的关系运用公式准确列出关于所求问题的一元二次方程，然后由方程中物理量的关系求得极值.三、利用图像求极值高中物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化.利用图像求极值不失为一个好方法，在选择题和填空题的极值计算中其表现尤其突出.本题运用了v-t图象找到了F的最小值，在明确物理过程的基础上，画出物体各自的运动图象，这样两物体的运动特点就很明显了.利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体间的位移关系，可省略一些物理量的计算，从而快速、简捷地解答问题.利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果.甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，运用图象则会使你豁然开朗，尤其在求解变化分析中的极值类问题.四、利用均值不等式求极值在物理问题中运用最频繁的均值不等式定理的内容：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.而在物理中主要运用的是从以上均值不等式定理得到的以下结论.对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值.例4设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上.假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短分析地球质量为M，月球质量为m，M、m的和不变为基础，长时间地搬运，导致M、m 的差值变大，即M、m的乘积变小，从而确定二者间万有引力减小.B选项的确定就充分的利用了均值不等式的结论.总之，解决一个问题的方法可以是多方面的，但适当的选取合理有效的方法可以让我们少走弯路，对于一些巧妙的物理问题则必须采取一些有效而适当的方法进行求解，希望大家在学习中多思考、多总结.。

高三物理复习中的极值求解高三物理复习中经常遇到极值问题，多数极值问题是在某一过程中或某一状态的物理量在其变化中，由于受到物理规律和条件的限制，其取值往往只能在一定范围内才能符合物理问题的实际，而在这一范围内，该物理量可能有最大值、最小值或确定的边界值等一些特殊的值。

极值问题可分为简单的极值问题与条件极值问题，区分的依据是根据是否受附加条件的限制。

在中学物理中，条件极值更为普遍，是教学之重点，物理极值问题涉及到力学、热学、电磁学及光学、原子物理各个部分内容，是中学物理常用的解题方法之一。

极值求解物理问题，既要明确其物理意思，又要借助于数学规律求解，既能培养学生理解、推理、分析、综合能力，又能培养学生应用数学知识处理物理问题的能力，是高层次能力的培养。

解决物理极值问题的主要方法有两类：一类是物理分析方法。

这种方法就是通过物理过程的分析抓住极值的条件进行求解。

另一类就是数学方法。

这种方法是指：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系式，或画出函数图像，用数学方法求出物理习题的极值。

下面就上述两种主要方法列举几例：一、应用数学方法求解物理习题的极值问题(1) 二次函数法利用y=ax 2+bx+c 的图像的顶点坐标)44,2(2a b ac y a b x -=-=求极值1、 二次函数法求解关于恒定电流习题的极值问题例：如图（1）所示的电路中，已知Ω=Ω=Ω=Ω==5,3,2,5.0,3.6321R R R r V ε（为滑动变阻器的最大阻值），闭合电键S ，调节滑动变阻器的触点P ，求通过电源的电流范围。

解：假设ap 段电阻为x ，则pb 段电阻为R 3-x ，102141112312++-=-+++=∴x x x R R x R R 外 可得通过的电流I 为：264632643.61022++-=++-⨯==x x x x rR I ＋外ε令y=-x 2+4x+26=-(x-2)2+30,则有：（1） 当Ω=2x 时，y 有极大值y max =30,也即此时外电路电阻最大，Ω=++-5.2102142x x R ＝外时，此时电流有最小值，最小电流I 1＝2.1A 。

物理极值问题的求解方法2物理极值问题的求解方法2物理极值问题的求解方法2三、用一元二次方程判别式求解极值问题在中学代数中曾学过，对于一个一元二次方程，当它的判别式B2-4AC≥0时，此方程有实数解。

若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。

使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。

求电子必须具有的最小初动能是多少？分析与解：设电子碰前的速度为υ1，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。

由动量守恒定律有 (1)由能量守恒有 (2)在以上两个方程中，有三个未知数，υ1、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。

但由（1）式解出代入（2）可得：进一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B2-4AC≥0 即4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0根据上式整理可得：所以电子必须具有的最小的初动能是例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q 的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。

分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。

设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。

由正交分解可得联立（1）、（2）试可得上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。

因为υ有实数解，由B2-4AC≥0即∴小球作圆周运动的最小半径为例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ0，求υ0与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程Xmax。

分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。

杂繁市保价阳光实验学校三力平衡问题中极值的求解方法三力平衡是最常见的类型，在这种类型中的时涉及由于其中一个力方向的缓慢变化引起两力的大小改变，这种情况称为动态平衡，且往往存在极值问题，下面通过一例谈谈此类问题极值的求解方法。

题目：如下图，在绳下端挂一质量为m的物体，用力F拉绳使悬绳偏离竖直方向α角，且方向，当拉力F 与水平方向的夹角θ多大时F有最小值？最小值是多少？解法一、常规解析法：以结点O为研究对象，画出受力图，建立坐标轴，如下图：根据平衡条件有：Fcosθ－Tsinα＝0Fsinθ＋Tcosα－mg＝0由两式消去Ｔ可得F＝mgsinα/cos (α－θ)所以当〔α－θ〕=0，即θ＝α时Ｆ有最小值，且F min＝ mgsin α。

此法是求解共点力平衡问题的普遍适用的根本方法，难点在于力的分解和求解方程组。

用于求极值，要求有较好的运用数学知识解决物理问题的能力。

解法二、巧妙建轴解析法：以结点O 为研究对象，画出受力图，建立坐标轴，如下图。

根据几何条件可得，力F与轴之间的夹角为〔α－θ〕。

根据x轴方向的平衡条件有：Fcos 〔α－θ〕－mgsinα=0F＝mgsinα/cos (α－θ)因此，当〔α－θ〕＝0，θ＝α，即拉力Ｆ与水平方向的夹角于α角时拉力F有最小值，且F min＝ mgsinα。

此法坐标轴建立巧妙，绳的拉力T 不出现在x轴方向的平衡方程中，便于讨论，只需根据这一个方程即可求出结果。

难点在于根据几何条件寻找相关的角度，此法运用的数学知识较简单，不失为求解此类极值的巧妙方法.解法三、矢量分解法：以结点O为研究对象，画出受力图。

将的重力mg沿另两个力的反方向进行分解，如下图。

因结点O 处于平衡状态，那么力F必与其方向的重力的分力值，即F=G1。

由几何关系可知，在ΔOAB中，根据正弦理有：G1／sinα＝mg／sin[90°－〔α－θ〕]F＝G1＝mgsin α／sin[90°－〔α－θ〕]欲使最小，必有α－θ=0，即θ＝α，拉力F与水平方向的夹角于α角，且此时有F min= mgsinα。

用数学方法求解物理中的极值问题作者：邱先明来源：《中学物理·高中》2016年第10期极值问题是高中物理的常见的题型，在力学、电学、光学和热学等各个部分均能出现.由于此类问题涉及面广、综合性强，所以成为学生学习物理的一个难点.数学作为工具学科，在解决极值问题时经常会被用到.用数学方法分析物理问题具有简洁、直观、准确等优点，便于对问题进行分析、推理、论证得出结论.能否把一段复杂的物理情景用简洁的数学语言表述出来，能够体现出一个人的学科素养和解决问题的能力.《考试大纲》明确提出，要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算.求解物理极值问题常用的数学知识有二次函数、几何作图、三角函数和不等式知识等.分析此类问题首先要进行的就是用数学语言准确地描述整个物理过程，我们称之为数学建模.然后对建立的数学模型分析和讨论，利用相关的数学知识进行运算，得出与实际物理过程相符的结论.下面介绍几种常用来求解极值问题的数学方法.1利用二次函数求极值例题物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10 m/s的速度匀速前进，B以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离.分析本题属于运动学中的追及和相遇问题.此类问题解法较多，常见的有物理分析法、二次函数求极值法、图象法、相对运动法等.下面我们分别用二次函数求极值法和图象法两种方法进行分析.解物体A、B的位移随时间变化规律分别为xA=10t，xB=12at2=t2，则A、B间的距离Δx=10t-t2，由二次函数图象是抛物线可知Δx有极大值，当t=5 s时，Δx最大，Δxm=4×（-1）×0-1024×（-1） m=25 m.2利用图象法求极值例题还以上题为例.解根据题意作出A、B两物体的v-t图象，如图1所示.由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是vA=vB，得t1=5 s.A、B间距离的最大值数值上等于△OvAP的面积，即Δxm=12×5×10 m=25 m.与复杂的运算过程相比，图象法更简洁、直观，甚至能表示出一些无法用语言准确表达出的内涵.因此，图象法是处理物理问题的一种不可或缺的数学语言工具.但由于图象法过程简单，必须加以必要的文字描述，说明运动过程、研究对象以及一些简单的运算公式.3利用三角函数求极值例题如图2所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B 之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33.（重力加速度g 取10 m/s2）求：拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？4利用不等式求极值物理中常用的利用不等式求极值的方法有一元二次方程的判别式法、基本不等式法等.例题1914年富兰克林和赫兹在实验中用电子碰撞静止的原子的方法，使原子从基态跃迁到激发态，证明了玻尔提出的原子能级存在的假设.设电子质量为m，原子质量为M，基态与激发态的能量差为ΔE，试求入射电子的最小初动能.解设电子碰撞前后的速率分别为v1和v2，原子碰撞后的速率为v.根据动量守恒定律所以，入射电子的最小动能为M+mMΔE.数学方法在解决物理问题时起到了至关重要的作用，但值得注意的是，由于物理量受到物理规律和条件的制约，其取值通常在一定的范围内才符合物理问题的实际情况，通过数学方法直接得出的部分结论很可能没有实际的物理意义.所以，得出结论之后的验证过程必不可少.分析物理问题时还是应以实际物理情境为前提，数学只不过是解决问题的方法和手段，要避免将物理问题纯数学化.。

物理极值问题的求法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。

就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用的过程。

在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上经演绎推理，寻求特殊的极端模型，这也是建立理想化模型，也要理想化。

显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。

下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

１利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=Asinacosa”的形式，则y=Asin2a，在a=45°时，y有极值。

例1：如图1所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少？解析：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：＝mV2＝mgRcosθ，Ｎ－mgcosθ＝m，解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=mgsin2θ，根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=mgsin2θ可以看出：当sin2θ=1，即θ=45°时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=mg 。

２用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

例2：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。