4.6 利用相似三角形测高

C B
E FD
G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A？， EF FD
∴ BO OA EF 201 2
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
归纳：
利用阳光下的影子测高： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在
同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高 度呢?
学校广场上的五星红旗高高飘 扬,每周一的早上,全校师生都要在 那里举行庄严的升国旗仪式.那么 你知道旗杆的高度吗?你能测量出 旗杆的高度吗?
讲授新课
知识点 利用相似三角形测量高度
1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度 【操作方法1】一名学生在直立于旗杆影子的顶端处， 测出该同学的影长和此时旗杆的影长.
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那
么该古城墙的高度是
( B)
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
随堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米

4.6利用相似三角形测高度教学设计1.问题：相似三角形的判定方法有哪些？2.胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.方法1：利用阳光下的影子选一名同学直立在旗杆旁边，在同一时刻下测出该同学和旗杆的影子长，并测量出该同学的身高，根据上面的数据，你能求出旗杆的高度吗？解：∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴ABCD =BEDB,即CD=AB∙BDBE代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．归纳总结：测高方法一：利用阳光下的影子测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.物1高：物2高 = 影1长：影2长方法2：利用标杆观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。

根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H.可得△DHF∽△DGC∴FHCG =DHDG∴CG=FH∙DHDH∴BC =GC+GB=GC+AD归纳总结：构造相似：△AME∽△ANC.找比例：AM：AN=EM：CN需要测量的数据：人与标杆的距离AM人与旗杆的距离AN标杆的高度EF方法3：利用镜子的反射如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。

测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。

自主解答：解：(1)由 CD∥AB，得△FDM∽△FBG，同理由 C1D1∥AB，得△F1D1N∽△F1BG；
(2)设 BG＝x，GM＝y，由△FDM∽△FBG 得MBGD＝MFGF，即 CDB－GCM＝MFC＋EGM，所以1x.5＝2＋2 y化简得 2x－1.5y＝3，同理 △F1D1N∽△F1BG，所以1x.5＝2＋6＋3 3＋y，化简，得 3x－1.5y＝ 16.5，解两个方程所组成的方程组，得 x＝13.5，y＝16，所以 AB ＝13.5＋1.5＝15.
Байду номын сангаас
解析：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°. 由“入射角等于反射角”，得∠APB＝∠CPD， ∴△ABP∽△CDP. ∴CADB＝DBPP， ∴CD＝DBPP×AB＝132×2＝8(米)．
2．如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，并且 建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条 直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 54米 ．
解析：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴CADB＝DGD＋GBD， EAFB＝FH＋FDHF＋BD， ∵CD＝DG＝EF＝2 米，DF＝52 米， FH＝4 米，
∴A2B＝2＋2BD， A2B＝4＋524＋BD， ∴2＋2BD＝4＋524＋BD， 解得：BD＝52(米)， ∴A2B＝2＋252， 解得 AB＝54(米)．

【解析】设树的高度为xm，利用两个三角形相似可 得x=7. 答案：7
4.(甘肃·中考）在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光
下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则这棵树的 高度为______m. 【解析】设这棵树的高度为xm，则 1.6∶x=0.8∶4.8， 解得x=9.6，即这棵树的高度为9.6m. 答案：9.6
1.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8 米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ A.4.8米 B.6.4米 C.9.6米 D.10米. ）
2.如图1，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆BE长为 1.2米，测得AB=1.6米，BC=8.4米，则楼高CD是（ A.6.3米 B.7.5米 C.8米
长5m,求
B C E
F
旗杆高度.
方法2:利用标杆
1.讨论:如何在图中通过添辅助线
转化为相似三角形的问题?
2.利用标杆测量旗杆高度，需要测 出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B
因为△ＡＢＣ∽△AＥＦ
E A F 所以 ＡＦ＝ ＥＦ ＡＣ ＢＣ
C
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,标杆是2m，学生距
标杆1m,标杆底部距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
【议一议】
方法3:利用镜子 1.图中的两个三角形是否相似?为什么？ 2.利用镜子反射测量旗杆高度，需要 测出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B 因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ D 所以 ＡＥ ＤＥ ＝ ＡＣ ＢＣ
E
A
C
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m, 镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
这份疼痛——度日如年般地经过，不可能玩