2011年民大附中招生考试数学试题[1]

n(-1) 收敛，可知幂级数∑a ∞2011 年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线 y = (x -1)(x - 2)2(x - 3)3(x - 4)4的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由 y = (x -1)(x - 2)2(x - 3)3(x - 4)4可知1, 2, 3, 4 分别是y = ( x -1)( x - 2)2 ( x - 3)3 ( x - 4)4= 0的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y '(1) ≠ 0 ， y '(2) = y '(3) =y '(4) = 0y ''(2) ≠ 0 ， y ''(3) = y ''(4) = 0 ， y '''(3) ≠ 0, y '''(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列 {a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n =∑ a k (n = 1,2) 无界，则幂级数n →∞k =1∑a n ( x -1)n的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）n =1(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】 S n=∑ a k k =1(n = 1,2)无界，说明幂级数∑a n n =1( x -1)n的收敛半径 R ≤ 1；{a n }单调减少， lim a n →∞= 0 ，说明级数∑a n n =1∞nn n =1( x -1)n的收敛半径 R ≥ 1。

因此，幂级数∑a n( x -1) 的收敛半径 R = 1 ，收敛区间为(0, 2) 。

民大附中备考【京卷专练系列】数学试卷（1）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.1．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20°B．30°C．40°D．60°5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为23，则下列各图中涂色方案正确的是（）A．B． C．D．6．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+37．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（）A．4 B．8 C．8√2D．4√28．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5 9．已知点A（﹣1﹣√2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）2+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y110．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.11．二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为．12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为．13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数10 50 100 200 500 1000 2000事件发生的频率0.245 0.248 0.251 0.253 0.249 0.2520.251估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是．15．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是；顶点坐标是；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……18．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？19．（5分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …0 4 6 6 4 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．20．（5分）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．21．（5分）已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．22．（5分）石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果⊙O的半径为，求AB的长．24．（5分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y 轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=4+√3，BC=2√3，求⊙O的半径．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=k x交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图象可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞k x的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞4x；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜4x；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x﹣1，y4=4x，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=4x如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为．28．（7分）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y=4x x2，求a的值；（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（﹣1，0）的距离跨度；B（12，﹣√32）的距离跨度；C（﹣3，2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=√33x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C 的横坐标x c的取值范围．民大附中备考【京卷专练系列】数学试卷（1）答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．B二、填空题11．y=3x2﹣112．31013．0.2514．相交15．x＜﹣2或x＞816．解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题17．（1）（3，0）、（﹣1，0）；（1，﹣4）；（2）X …-1 0 1 2 3 …y …0 -3 4 -3 0 …18．10cm．19．（1）y=﹣(x+2)(x﹣3)=﹣x2+x+6 （2）x＜﹣2或x＞3．20．1621．5√322．解：（1）根据题意画图如下：一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率39= 13；（2）甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率927= 13四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=OBA=45°，∵∠AOC=150°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=15°，∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，∴∠CBD=∠D，∴CB=CD；（2）解：∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB=√2，∴AB=√OA2+OB2= 2．24．解：（1）S=﹣3x2+36x（0＜x＜9）；（2）6米．25．（1）A（1，0），C（0，5）；（2）y=x2﹣6x+5；（3）P的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．26．（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）5√33五、解答题27．解：（2）；（3）±1和﹣4；（4）x＞1或﹣4＜x＜﹣1．28．（1）①抛物线的解析式为y= x2②4；（2）四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，5）29．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：点A（﹣1，0）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；点B（12，﹣√32）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；点C（﹣3，2）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+ ﹣（﹣2）=4；②圆（2）- 23≤ k ≤23（3）1 ≤x c ≤2。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，在其定义域内连续的是（）A. y = |x|，x∈RB. y = x^2，x∈RC. y = x/(x-1)，x∈R，x≠1D. y = e^x，x∈R2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 6xC. 3x^2 + 6xD. 3x^2 + 33. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA = （）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 3/44. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an+1}的通项公式为（）A. an+1 = 2^n - 1B. an+1 = 2^n + 1C. an+1 = 2^nD. an+1 = 2^n + 25. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个圆D. 一个椭圆6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f'(2) = 6，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an+2}的通项公式为（）A. an+2 = 2^n + 1B. an+2 = 2^n - 1C. an+2 = 2^nD. an+2 = 2^n + 28. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 6xC. 3x^2 + 6xD. 3x^2 + 39. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinB = （）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 3/410. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an+1}的通项公式为（）A. an+1 = 2^n - 1B. an+1 = 2^n + 1C. an+1 = 2^nD. an+1 = 2^n + 211. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个圆D. 一个椭圆12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f'(2) = 6，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )