2019-2020年高三第一次联考 理科数学试题

秘密★考试结束前 【考试时间： 12月26日15：00—17：00】2019-2020年高三第一次联考 理科数学试题命题单位：凯里一中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|6<0}M x x x =--,2{|=log (1)}N x y x =-，则N M 等于（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-【答案】C【解析】2{|6<0}{23}M x x x x x =--=-<<，2{|=log (1)}{10}{1}N x y x x x x x =-=->=>，所以{13}MN x x =<<，选C.2．i 是虚数单位，则复数2=1iz i -在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】22(1)22=11(1)(1)2i i i i z i i i i +-===---+-，所以对应点位(1,1)-，在第四象限，选D. 3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C【解析】在等差数列数列中，513113248,33362a a d S a d a d ⨯=+==+=+=，即12a d +=，解得10,2a d ==.所以9188216a a d =+=⨯=，选C.4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（ ）A ．12B ．16C ．112D ．136【答案】B【解析】投掷该骰子两次共有66=36⨯中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是611=666⨯⨯，选B. 5．阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．41【答案】A【解析】第一次输入5x =-，满足3x >，538x =--=，第二次满足3x >，835x =-=，第三次满足3x >，532x =-=，，第四次不满足3x >，此时1122log log 21y x ===-，输出1y =-，选A.6．设曲线220x y -=与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．12【答案】C【解析】由220x y -=得曲线为y x =±.抛物线的准线为1x =，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由52+-=y x z 得11(5)22y x z =+-，作直线12y x =，平移直线12y x =，当直线11(5)22y x z =+-经过点C 时，直线11(5)22y x z =+-的截距最小，此时z 最大.由1x y x=⎧⎨=-⎩得1,1x y ==-，即(1,1)C -，代入52+-=y x z 得8z =，选C.7． 若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=【答案】D【解析】圆的标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)A ,因为点(1,1)P 弦MN 的中点，所以AP MN ⊥,AP 的斜率为101132k -==--，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选D.8．某几何体的三视图如图2所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．163 C ． 86π- D ．83π- 【答案】A【解析】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.俯视图侧视图正视图图29．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】0.531a =>,30log 21<<,cos 2cos02c π=<=，所以c b a <<，选A.10． 给出下列四个命题： ①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题； ②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ； ③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；④命题:p “R x ∈∃0，使23cos sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知，②为真.③当函数为偶函数时，有2k πϕπ=+，所以为充要条件，所以③正确.④因为sin cos )4x x x π+=+32<，所以命题p 为假命题，p ⌝为真，三角函数在定义域上不单调，所以q 为假命题，所以q p ∧⌝)(为假命题，所以④错误.所以正确的个数为2个，选B.11．已知函数()y xf x ='的图象如图3所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由条件可知当01x <<时，'()0f x <，函数递减，当1x >时，'()0f x >，函数递增，所以当1x =时，函数取得极小值.当1x <-时，'()0xf x <，所以'()0f x >，函数递增，当10x -<<，'()0xf x >，所以'()0f x <，函数递减，所以当1x =-时，函数取得极大值.所以选C.12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．332 D ．2 【答案】A【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c c c e e=+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =，所以e ，选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为 ．【答案】80【解析】1720(6872737828189292)8099+++⨯++⨯+==. 14．5(+1)(12)x x -展开式中，3x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】40-【解析】5(12)x -的展开式的通项为15(2)k k k k T C x +=-，所以222235(2)40T C x x =-=，333345(2)80T C x x =-=-，所以3x 的系数为，408040-=-.15．已知等比数列}{n a 中，⎰-=62)232(dx x a ，2433=a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和=n S ． 【答案】21nn + 【解析】62620033(2)()2722a x dx x x =-=-=⎰，所以32a a q =，解得9q =，所以222122793n n n n a a q ---==⨯=，所以2133log log 321n n n b a n -===-，所以111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +===--+-+，所以数列的前n 项和121111111111()213352121n n n S b b b b n n +=++=-+-++--+11112()212122121n n n n n =-=⨯=+++. 16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM∙PN 的取值范围是 ．【答案】[0,2]【解析】因为MN 是它的内切球的一条弦，所以当弦MN 经过球心时，弦MN 的长度最大，此时2MN =.以'A 为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设,M N 分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为(1,12),(1,10)M N ，，，设坐标为(,,)P x y z ，则(1,1,2)PM x y z =---,(1,1,)PN x y z =---,所以22(1)(1)(2)PM PN x y z z =-+---，即222(1)(1)(1)1PM PN x y z =-+-+--.因为点P 为正方体表面上的动点，，所以根据,,x y z 的对称性可知，PM PN 的取值范围与点P 在哪个面上无关，不妨设，点P 在底面''''A B C D 内，此时有02,02,0x y z ≤≤≤≤=，所以此时22222(1)(1)(1)1(1)(1)PM PN x y z x y =-+-+--=-+-，,所以当1x y ==时，0PM PN =，此时PM PN 最小，当但P 位于正方形的四个顶点时，PM PN 最大，此时有22(1)(1)2PM PN x y =-+-=，所以PM PN 的最大值为2. ，所以02PM PN ≤≤，即PM PN 的取值范围是[0,2].三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知(2cos ,1)a x x =+，(,cos )b y x =，且//a b ．（I ）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（II ）记()f x 的最大值为M ，a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若(),2Af M =且2a =，求bc 的最大值．18．（本小题满分12分）为了参加2012年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：（I （II ）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE19．（本小题满分12分）如图5，已知在四棱锥P ABCD -中， 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，2AB =，F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．（I ）当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC ；（II ）要使二面角P EC D --的大小为45，试确定E 点的位置．20．(本小题满分12分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． （I ）求椭圆E 的方程；（II ）直线2y kx =-与椭圆E 相交于A 、B 两点， O 为原点，在OA 、OB 上分别存在异于O 点的点M 、N ，使得O 在以MN 为直径的圆外，求直线斜率k 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（I ）求a ，b 的值；（II ）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，xmx f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.图522．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图6，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （I ）求证：//AD EC ；（II ）若AD 是⊙2O 的切线，且6,2PA PC ==，9BD =，求AD 的长．23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=.（I ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （II ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数()|2||1|f x x x =+--（I ）画出函数()y f x =的图象；（II ）若关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解，求实数m 的取值范围．贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷图6理科数学参考答案一、选择题．二、填空题．13、8014、40- 15、 21nn + 16、[0,2] 三、解答题．17、解：（I ）由//a b 得22cos cos 0x x y +-= ······························································ 2'即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++ ， ····································································································· 4' 又222T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为.π ··································································································· 6' （II ）由（I ）易得3M = ··················································································································· 7' 于是由()3,2Af M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=， 因为A 为三角形的内角，故3A π=································································································· 9'由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= ································ 11' 解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时，bc 的最大值为4． ·········································································· 12' 18、解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则2222423321213()66C C C C P A C +++== ································································································ 6' （II ）ξ的所有可能取值为0,1,2······································································································· 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：···························································································································································· 10' ∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ······························································································ 12'19、解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =， 又E 是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF ∴是平行四边形，············································································· 4' ∴//AF OE又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC//AF ∴平面PEC ···················································································································· 6' （II ）如图，作AM CE ⊥交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM CE ⊥，PMA ∠∴是二面角P EC D --的平面角．即o PMA 45=∠∴ ·················································· 9' 11PA AM =⇒=，设AE x =，由AME CBE ∆≅∆可得x ⇒54x = 故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o ，只需54AE = ·················································· 12' 【法二】（I ）由已知，,,AB AD AP 两两垂直，分别以它们所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -． 则(0,0,0)A ，11(0,,)22F ，则11(0,,)22AF = ····························· 2'(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，(0,0,1)P ， 设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =则0000m EC x y x z m EP ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩， 令1x =得(1,1,1)m =-………………………………………4'由11(0,,)(1,1,1)022AF m =-=，得AF m ⊥又AF ⊄平面PEC ，故//AF 平面PEC ····················································································· 6'（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =，设(,0,0)E t =，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z = 则0(2)000m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,2,)m t t =- ················································ 10' 由5cos 45||4||||o AP n t AP n =⇒=⨯， 故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o ，只需54AE = ·················································· 12' 20、（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>． 由222212,32c a c b a c c a =⇒==-= ∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412c c +=，解得21c = ∴ 椭圆的方程为22143x y += ··········································································································· 4' （II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(43)1640k x kx +-+= ······························ 5' ∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ 22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214k > ① ································································ 6' ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外，∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>．而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅> ····················································· 8'设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+21212(1)2()4k x x k x x =+-++222416(1)2404343k k k k k ==+-+>++ 解得243k <， ② ·········································································· 11' 综合①②可知：1123,22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ······································································· 12' 21、解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)b x a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ········································································································· 6' （Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f 由x m x f <)(及m x x x x x <+-⇒>1ln 20 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x x x x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max ==g x g要使m x x x x <+-1ln 2成立，只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ ··············································································································· 12'22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . ·················································································· 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝AP PC ，∴9＋x y ＝62② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x >0，y >0) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ·························································· 10'23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ······················································································· 2'又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ， ∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即221()()122x y -++= ······································································ 5' （II）圆心距12d ==<，得两圆相交 ···················································· 7' 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 1(,2-， ··································································· 9' ∴||AB = ··························································································· 10' 24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩················································································································ 3' 其图象如下： 1xO ··································································································· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥- ·························· 6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max ()3f x =） ···································································································································· 8' 于是 |12|7m -≤，。