天一大联考2021届高中毕业班理科数学阶段性测试试题及答案

2021届高三数学天一大联考阶段性测试试题〔四〕理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

考生注意：1.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、考生号填写上在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，那么M ∩N ＝ A.(1，2) B.[1，2] C.(－∞，1] D.(2，4]1212ii z+=-，那么z 的一共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i --α，β，直线l ⊂α，那么“l //β〞是“α//β〞的 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 D.－70 5.正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b＝log 3b ，c ＝log 32，那么 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，那么λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.1621022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。

那么以下命题中，真命题是A.(⌝p)∨q ∨(⌝q) C.(⌝p)∧(⌝q) ∧q 8.函数f(x)＝333x xx--+的图象大致是1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。

天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段测试五理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}23440M x x x =--<，{}11N y y =-≤，则MN =（ ）A ．[)0,2B ．2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[1,2]D ．∅2．已知复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知a =323log 4b =，423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c a b >>4．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足26m n a a a a =，2610m a a a =，则m n +=（ ） A ．4B ．8C ．12D ．165．函数sin ln y x x =⋅的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量()1,a x =，()0,2b =，则2a b a⋅的最大值为（ ）A ．B．2C D ．17．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A ，B ，C 三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（ ） A ．24种B ．36种C ．48种D ．64种8．已知x ，y 满足约束条件240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则z ax y =+(a 为常数，且13a <<)的最大值为（ ） A ．a -B ．2aC ．23a -+D ．29．已知曲线y =10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．若函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．70,6⎛⎤ ⎥⎝⎦11．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=PD 的最大值为（ ） A．3BC D ．212．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过第一､三象限的渐近线为l ，过右焦点F 作l 的垂线，垂足为A ，线段AF 交双曲线于B ，若2BF AB =，则此双曲线的离心率为（） ABCD二、填空题13．某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是___________.14．一个球的表面积为100π，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为___________.15．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，60S =，77a =，若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =___________.16．已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，其导函数为()f x '，且满足()0f x >，()()0f x f x '+<，若1201x x <<<，且121=x x .给出以下不等式：①()()2112x xf x e f x ->；②()()1221x f x x f x <； ③()()1122x f x x f x >； ④()()()2111f x x f x >-.其中正确的有___________.(填写所有正确的不等式的序号)三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+． （I ）求A ；（Ⅱ）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB ==，60ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形.（1）求证：AC EB ⊥；（2）若CE BC =，且CE BC ⊥，求EB 与平面FBD 所成角的正弦值. 19．已知函数()ln f x x x =.（1）求()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程，并证明()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；（2）若函数()()()ln 1sin 22cos2g x x x f x x =+⋅-，1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，证明：()22cos g x e e ≥.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围.21．甲､乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满()21Nk k ++∈局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为()01p p <<，设甲获得最终胜利的概率为k a . （1）证明：198a p ≤； （2）当112p <<时，比较k a 与1k a +的大小，并给出相应的证明. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，(ϕ为参数)，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数，0απ≤≤).（1）若曲线C 与y 轴负半轴的交点在直线l 上，求α；（2）若tan α=等，求曲线C 上与直线l 距离最大的点的坐标. 23．已知函数()1257f x x x =++--.（1）在如图所示的网格中画出()y f x =的图象；（2）若当1x <时､()()f x f x a >+恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】化简集合,A B ，再根据集合的交集运算可得结果. 【详解】由题意可得{}22,023M x x N y x ⎧⎫=-<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，故{}02M N x x ⋂=≤<. 故选：A 2．C 【分析】本题可根据21z -=得出点Z 的轨迹为以()2,0为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果. 【详解】因为21z -=，所以复数z 在复平面内所对应的点Z 到点()2,0的距离为1， 则点Z 的轨迹为以()2,0为圆心、以1为半径的圆， 故z 的取值范围为[]1,3，z 的最大值为3， 故选：C. 3．B 【分析】借用0，1进行比较大小，简单计算即可得到结果. 【详解】由题可知：1a ，33223log log 104b =<=，40201233c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭故a c b >> 故选：B 4．C 【分析】由已知结合等比数列的性质可得262610m nm +=+⎧⎨=+⎩，解方程组可求得结果【详解】解：由等比数列的性质知262610m n m +=+⎧⎨=+⎩，解得84m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=. 故选：C 5．A 【分析】先判断函数的奇偶性可排除CD ，然后根据()0,1x ∈，0y <，可知结果. 【详解】由题可知函数定义域为{}0x x ≠，则()sin ln y f x x x ==⋅， 又()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-所以sin ln y x x =⋅是奇函数，且()0,1x ∈时，0y <，故选项A 正确. 故选：A 6．D 【分析】将坐标代入计算可得2221||a b xxa ⋅=+，然后讨论x 的大小并结合基本不等式计算可得结果. 【详解】 由题意可得2221||a b xxa ⋅=+，当0x ≤时，上式小于等于0， 当0x >时，原式211x x=≤+，当且仅当1x =时等号成立，故最大值为1.故选：D 7．B 【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有133318C A =种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有233318C A =种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B 8．D 【分析】画出不等式组表示的平面区域，由z 的几何意义求解即可. 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示z ax y =+可化为y ax z =-+，结合图象可知，直线y ax z =-+过直线220x y -+=与直线240x y +-=的交点()0,2A ，z 取得最大值，max 022z =+=.故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用z 表示的几何意义进行求解. 9．A 【分析】作出曲线y =，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，求出图中两条的斜率可得所求范围． 【详解】解：曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =， 1101112k --==--， 所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论． 10．C 【分析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果. 【详解】因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤. 因为当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，函数取得极值，欲满足在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值， 故第一个极值点63x ππω=<，得12ω>.又第二个极值点776122x πππω=≥>，要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤. 综上可得，ω的取值范围是17,26⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得63ππω<，76ππω≥即可. 11．B 【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴a =b =所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，1133OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，23CE OC ==DE =因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y，则E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22222241543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭，当y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值，即22max516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 12．C 【分析】先写出直线AF 的方程与直线l 方程联立，求出A 点坐标，由2BF AB =，即2BF AB =，求出点B 坐标，代入双曲线方程，可得答案. 【详解】解析设双曲线的焦距为2c .由⊥AF l 知，直线AF 的方程为()a y x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 可得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()00,B x y ，则()00,=--BF c x y ，200,a ab AB x y c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由2BF AB =可得2BF AB =，故2002a c x x c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，002ab y y c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得22023c a x c+=，023ab y c =，将B 点坐标代入到双曲线方程中可得()222222224199c a a a c c+-=，化简得225c a =，故e =故选：C13．15【分析】计算出两种兴趣班都选择的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为21395010+-=人，所以所求概率为101505=. 故答案为：15.14．4 【分析】先由球的表面积为100π，求出球的半径，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：设球的半径为r ，由题可知24100r ππ=，=5r .4=.故答案为：4 15．2 【分析】本题首先可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据60S =得出1250a d +=，根据77a =得出167a d +=，两式联立，即可得出27n a n =-，再然后令23m t -=，则1286m m m a a t a t++=+-，根据t 为8的约数以及t 是奇数得出t 的可能取值为±1，最后分为1t =、1t =-两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为60S =，所以16602a a +⨯=，即160a a +=，1250a d +=，因为77a =，所以167a d +=，联立1125067a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，27n a n =-，()()12272523m m m m m a a a m ++--=-， 令23m t -=，则()()124286m m m t t a a t a t t++--==+-，t 为8的约数， 因为t 是奇数，所以t 的可能取值为±1， 当1t =时，2m =，2343257a a a ==⨯-，是数列{}n a 中的第5项； 当1t =-时，1m =，()12315247a a a =-=⨯--，不是数列{}n a 中的项， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题考查判断数是否是数列中的项，考查等差数列通项公式的求法，能够根据1286m m m a a t a t ++=+-判断出t 的可能取值为±1是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 16．①②③ 【分析】根据()()0f x f x '+<构造函数，再利用导数工具处理函数不等式问题. 【详解】设()e ()x F x f x =，则[]()e()()0xF x f x f x ''=+<，由此可得()F x 单调递减，所以()()1212e e x x f x f x >，即()()2112e x x f x f x ->，故①正确；因为()0f x >，()()0f x f x '+<，所以()0f x '<，所以() f x 单调递减，所以()()()22111x f x f x f x x <<，所以()()1221x f x x f x <，故②正确； 对于③，由①分析可知()()2112e x xf x f x ->，欲使()()1122x f x x f x >，且121=x x ，即()()2122f x x f x >成立，只需满足22122x x ex ->即可，即证222212ln (1)x x x x ->>，设()12ln m x x x x =--，则22212(1)()10x m x x x x-'=+-=>，则()m x 单调递增，所以()2(1)0m x m >=，故③正确；对于④，假设()()()2111f x x f x >-成立，因为()()1212e e x xf x f x >，所以()()11112e x x f x f x ->，所以1111e1x x x ->-，取112x =，则3212e ->，所以322e <，矛盾，故④不正确. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式，根据()()0f x f x '+<，构造()e ()x F x f x =，是解决本题的关键. 17．（I ）3π；（Ⅱ）【分析】（I ）先由正弦定理，将所给条件化为222bc b c a =+-，再由余弦定理，即可得出结果； （Ⅱ）根据题中条件，得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，推出22244a b =-，再由余弦定理得到2242a b b =-+，两式联立求出b ，进而可求出a . 【详解】（I ）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=； （Ⅱ）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a a b a a +-+-+=，整理得22244a b =-； 又22222cos 42a b c bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a =【点睛】 思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可. 18．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）利用等腰梯形的性质，判断角度，得AC BC ⊥，然后根据四边形ACEF 是矩形，得AC EC ⊥，即可证明AC ⊥平面ECB ，所以证出AC EB ⊥；（2）设2CE BC ==，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算平面FBD 的法向量，再利用向量的夹角公式代入计算. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，AD DC =，DAC DCA ∴∠=∠，又//AB CD ，即DCA CAB ∠=∠，所以DAC CAB ∠=∠，且60DAB ABC ∠=∠=︒，30,90CAB BCA ∴∠=︒∴∠=︒，即AC BC ⊥.又四边形ACEF 是矩形，AC EC ∴⊥. 又ECBC C =，AC ∴⊥平面ECB ，又EB ⊂平面ECB ，AC EB ∴⊥.（2）由条件可知,,CA CB CE 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设2CE BC ==，则(0,2,0),1,0),(0,0,2)B D F E -，(3,3,0)BD ∴=-，(23,2,2)BF =-.设平面FBD 的法向量(,,)n x y z=，则有3000220y n BD n BF y z ⎧-=⋅=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，令1y =，得x =2z =-，∴平面FBD 的一个法向量为(3,1,2)n =-，设直线EB 与平面FBD 所成角为θ又(0,2,2)EB =-，3sin cos ,4||||EB n EB n EB n θ⋅∴=〈〉==，EB ∴与平面FBD 所成角的正弦值为34.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19．（1）切线方程为1y x =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-，然后构造函数()()()1h x f x x =--，利用导数证明当0x >且1x ≠时，()0h x >即可；（2）求得()14ln sin 2g x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，分析得出()0g x '>对任意的1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，可得出函数()g x 在区间1,2e π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，由此可证得结论成立.【详解】 （1）()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，所以，()11f '=，()10f =.所以，函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-. 设()ln 1h x x x x =-+，则()ln h x x '=，令()0h x '<，可得()0,1x ∈；令()0h x '>，可得()1,x ∈+∞. 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以，当0x >且1x ≠时，()()10h x h >=，所以()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；（2）由题可知()()ln 1sin 22ln cos2g x x x x x x =+⋅-，1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.则()()sin 22ln 1cos 22ln cos 22cos 24ln sin 2xg x x x x x x x x x x '=++--+ 14ln sin 2x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以22,x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 20x >，又由（1）知ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时，等号成立，所以()1114ln 414440x x x x x x x +≥+-=+-≥=，当且仅当12x =时，等号成立.所以，上述两个等号不同时成立，则()0g x '>，所以，函数()g x 在区间1,2e π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，则()122cos g x g e e e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，原式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20．（1）24y x =；（2）(0,1)(1,2). 【分析】（1）由焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，求得点,A B 的坐标，然后根据AOB 的面积为2求解；（2）设直线()1:l x t y a =-，联立方程可得()24y xx t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，结合韦达定理，利用弦长公式求得MN ，以及焦点F 到直线1l 的距离，求得FMNS，将t 用t -替换，得到FPQS，由FMN FPQ S S =△△，可得t 与a 的关系，然后再结合判别式大于零求解. 【详解】（1）因为焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点,A B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2pp ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOB pS p =⋅⋅=△，故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线12,l l 的斜率存在，且不为0，设直线()1:l x t y a =-. 点()11,M x y ，()22,N x y .联立方程可得()24y xx t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，可得2440y ty at -+=.则2116160t at ∆=->.因为1212 4,4y y t y y at +==，所以12MN y -==焦点F 到直线1l 的距离d ，所以1|2FMN S ta =⨯=+△. 设直线2:()l x t y a =--，与抛物线方程联立可得2216160t at ∆=+>，将t 用t -替换，可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△可得1ta +=-，11ta ta +-，两边平方并化简可得2212t a =-，所以220a ->，解得0a <<又由10∆>且20∆>得t a <-或t a >，可知22t a >，所以2212a a >-，即()222102a a->-，所以1a ≠， 所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2). 【点睛】方法点睛：（1）解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（2）解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．21．（1）证明见解析；（2）1k k a a +>，证明见解析. 【分析】（1）由题意可知1a 表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率，则2232313C (1)32a p p p p p =-+=-，从而可求出1a p的值； （2）k a 表示打21k +局比赛，甲至少赢1k +局的概率，则112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p pp p++++-+++++=-+-++，1k a +表示打23k +局比赛，甲至少赢2k +局的概率，分三种情况：①前21k +局甲赢k 局，最后两场甲都胜利，②前21k +局甲赢1k +局，最后两场甲不全输，③前21k +局甲至少赢 2k +局，分别求出概率作差比较即可【详解】解：（1）甲赢得单局比赛的概率为p ，则乙赢得单局比赛的概率为1p -.1a 表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率.所以2232313C (1)32a p p p p p =-+=-.所以221399322488a p p p p ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭.（2）k a 表示打21k +局比赛，甲至少赢1k +局的概率，所以112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p p p p++++-+++++=-+-++. 1k a +表示打23k +局比赛，甲至少赢2k +局的概率，分三种情况： ①前21k +局甲赢k 局，最后两场甲都胜利，对应概率122112121(1)(1)k k k k k k k k P C p p p C pp +++++=⋅-⋅=⋅- ②前21k +局甲赢1k +局，最后两场甲不全输，对应概率()211111221212211(1)11(1)(1)k k k k k k k k k k k P C p p p C p p C p p ++++++++++=⋅-⋅⎡--=--⎤⎣⎦-. ③前21k +局甲至少赢 2k +局， 对应概率22133221213212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k P pp pp p++-++-+++++=-+-++. 所以1123k a P P P +=++.因为11321(1)k k k k k a P C pp +++=+-， 所以1111221(1)k k k k k k a a P P C pp ++++-=+-- 211122121(1)(1)k k k k k k k k C p p C pp +++++++=--- 1121(1)(21)k k k k C pp p +++=--. 因为1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10+->k k a a ，即1k k a a +>.【点睛】关键点点睛：此题考查概率求法，解题的关键是由题意正确表示出112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p pp p++++-+++++=-+-++，考查分类思想，属于中档题22．（1）4πα=；（2）12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）曲线C 化为普通方程可得与y 轴负半轴的交点坐标，由直线l 的斜率得tan α可得答案；（2）由tan α得直线l 的普通方程，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得答案. 【详解】（1）曲线C 2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩的普通方程为2214x y +=，令0x =，1y =±，所以曲线C 与y 轴负半轴的交点为(0,1)-， 因为直线l 恒过点()1,0，又点(0,1)-在直线l 上，所以直线l 的斜率为10101--=-， 所以tan 1α=，所以4πα=.（2）若tan α=，得直线l的普通方程为1)y x =-，20y -=，C 上的点到l的距离d = 当52()6k k πϕπ=+∈Z 时，d 取最大值，此时12cos 2ϕϕ==，所以所求点的坐标为12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化以及三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握参数方程与普通方程的互化及三角函数的性质，考查了学生的转化能力和计算能力. 23．（1）图象答案见解析；（2）(0,2]. 【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，然后分段画出在所给范围的函数图象即可.（2）讨论0a =，0a <，0a >的情况，根据平移知识，以及题干要求简单计算和判断可知结果. 【详解】（1）由条件知33,15 ()1,125311,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， ()y f x =的图象如下：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

天一大联考2021届高中毕业班考前定位联合考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,2B x y xy =+=，则A∩B 中的元素个数为A ．1B ．2C ．4D ．82．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则在直线CD 1，BA 1，DB 1，AC 1中，与MN 异面且垂直的直线的条数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4sin cos sin a B A b A =+，则A = A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．已知复数z 满足（1＋i ）z=1+2i ，则)i z b b +≤∈R 的一个充分不必要条件是 A ．b ∈（–1，0） B ．b ∈[–1，0]C ．b ∈（0，1）D ．b ∈[–1，2]5．基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数（换算表如下表所示）．假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为5万元，10万元，30万元，55万元，则这4人的年收入的基尼系数为中位数占比—基尼系数换算表A ．0.595B ．0.525C ．0.450D ．0.3636．2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1×年扶贫资金（元）+4.3×年自投资金元）+900×自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为（1.15≈1.6） A ．48100元 B ．57900元 C ．58100元 D ．64800元 7．若曲线3213y x x =-在点x=a 处的切线的斜率与直线（1-b ）x-y+2=0的斜率相等，则b 的最大值为A ．-1B ．1C ．2D ．3 8．已知过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．将函数()5π4sin 2112f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度后，所得图象对应的函数g （x ）在π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[-1，3]，则m 的取值范围是A ．3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知球被平面所截得的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底，垂直于截面的球的直径被截得的一段叫做球缺的高．如果球的半径是R ，球缺的高是h ，那么球缺的体积()21πh 33V R h =-．若一个儿童储糖罐可以看成是一个球被一个正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）与一个圆柱组合而成的几何体，其三视图如图所示，则该储糖罐的体积为A ．443π3B ．157π3C ．476π3D ．485π311．已知双曲线2y x=绕原点顺时针转动45°，就会得到双曲线x 2-y 2=4，类比可知，以双曲线221x y x +=-的对称中心为圆心，焦距为直径的圆的标准方程为 A ．（x-1）2+（y-2）2=16 B ．（x-1）2+（y+2）2=8 C ．（x-1）2+（y-2）2=8 D ．（x+1）2+（y-2）2=16 12．已知函数()()()1213ln e 1ln e 122x f x x -=+-+-+．若()()4,,,x x g x f x x λλ-≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的零点恰有2个，则λ的取值范围是 A ．(]()1,34,+∞ B ．(][)1,24,+∞C ．(]()1,34,-+∞D ．(]()1,14,-+∞二、填空题：13．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点C （2，t ）被阴影遮住，22BC =则AB BC ⋅=________．14．()711x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中x 3的系数为________．15()0a a >，则1tan 2=________．（用含a 的式子表示）．16．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线C 的方程为222333x y a +=，周长为6a ．有如下结论：①曲线D ：|x|+|y|=a 的周长大于星形线的周长； ②曲线C 上任意两点距离的最大值为2a ；③曲线C 与圆2224a x y +=有且仅有4个公共点；④从曲线C 上任一点作x ，y 轴的垂线，垂线与x ，y 轴所围成图形的面积最大值为24a ．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （―）必考题：17．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，a 2=4，6a 1=a 2+a 3，数列{}n b 的前n 项和()12n n n S +=．（Ⅰ）求{}n a 及{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n 恒有()1112233n n n n m a a b a b a b a b ++≥+++⋅⋅⋅+成立，求m 的最小值．18．如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1在圆柱中，等腰直角三角形A 1B 1C 1，ABC 分别为上、下底面的内接三角形，点D ，E 分别在棱BB 1和AC 上，AB=BC=AA 1，AC=3AE ，BE ∥平面A 1CD ．（Ⅰ）求11B DBB 的值；（Ⅱ）求平面B 1BE 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．19．小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为23，卖乙品牌的概率为13；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为14，卖乙品牌的概率为34．已知第一年该店卖甲品牌，且第x 年卖甲品牌有6.5+0.5x 万元利润，卖乙品牌有9.5+0.5x 万元利润．（Ⅰ）求前3年的利润之和超过25万元的概率； （Ⅱ）求该服装店第四年的利润的数学期望．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴端点为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程．（Ⅱ）试问：在椭圆C 的长轴上是否存在定点P ，使得过P 的动直线交椭圆C 于M ，N两点，且恒满足NP =⋅？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中e e 2x x shx --=，e e 2x xchx -+=分别称为双曲正弦、余弦函数．（Ⅰ）若λx 2+lnchx≤0对任意x ∈R 恒成立，求实数λ的取值范围． （Ⅱ）（i ）类比同角三角函数的平方关系，试写出chx 与shx 的一个关系式（无需证明）； （ⅱ）若a>0，存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得2chx 1<a （–ch 2x 2+4shx 2-1）成立，试比较a-1与（e-1）lna 的大小，并证明你的结论．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），曲线C 1的参数方程是24cos 4sin cos x y α,αα⎧=⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的极坐标方程为ρsinθ-kρcosθ+2k=0，设l 1与l 2的交点为P ．（Ⅰ）当k 变化时，求P 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设射线π6θ=与曲线C 1与C 2的交点分别为A （非原点），B ，求|AB|． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）=|x-1|+2|x|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≥2； （Ⅱ）设f （x ）的图象与直线y=2围成的图形的面积为S ，若a+b+c=S （a>0，b>0，c>0），求证：bc ＋4ac+9ab≥54abc ．。

天一大联考2021-2021学年高中毕业班阶段性测试〔三〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理科〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以。

选A。

2. 是虚数单位，假设复数为纯虚数〔，〕，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故。

所以。

选A。

3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆一共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.假设在正方形图案上随机取一点，那么该点取自白色区域的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D。

4. 函数〔〕的最小值为2，那么实数〔〕A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B。

5. 数列满足，，，那么数列前项的和等于〔〕A. 162B. 182C. 234D. 346【答案】B【解析】由条件得，所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故。

选B。

点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵敏应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：假设，那么与前n项和公式经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．6. 用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如下图的程序框图，假设分别输入的10个值，那么输出的的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C.....................7. 如图画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. 16B. 32C. 48D. 60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2,4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

天一大联考2021—2021学年高中毕业班阶段性测试（三）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22950M x x x =--<，(){}lg 10N x y x ==--，则M ∩N =A ．{}10x x <B ．RC ．152x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}510x x << 2．复数72i 1iz =-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”．如下图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2．现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形（阴影部分）内的概率为A ．19B ．125 C ．116 D ．136 4．函数()()3sin cos 23f x x x =π+-+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A ．-1B ．38C ．78D ．1 5．已知函数f （x ）是奇函数，且当x <0时，()221x f x x +=+，则f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的方程是A ．5x -y -2=0B ．x -2y +5=0C ．2x -y -4=0D ．x -5y -2=06．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足a 1a 3=14，a 2a 4=1，则a 11= A ．64B ．128C ．256D ．512。