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牛顿迭代法光线追迹法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿迭代法和光线追迹法是两种常用的数值计算方法，在计算机图形学和其他领域中具有重要的应用。
牛顿迭代法是一种求解方程的方法，通过不断迭代逼近函数的根，从而得到方程的解。
光线追迹法则是模拟光线在物体表面的反射、折射和投射等行为，用于生成逼真的光线效果。
牛顿迭代法通过利用方程的切线逼近根的方法，具有快速收敛的特点，精确地寻找方程的解。
它在优化问题、非线性方程求解等领域有广泛的应用。
牛顿迭代法的基本原理是利用函数的切线与x轴的交点作为下一次迭代的起点，通过多次迭代逐步逼近方程的根。
光线追迹法则是基于光线的物理性质进行计算和模拟，用于生成逼真的光线效果。
它模拟了光线在物体表面的反射、折射和透射等行为，通过追踪光线的路径，计算光线与物体的交点和光线的颜色等信息，从而生成逼真的光线效果。
光线追迹法在计算机图形学、光学设计等领域得到广泛应用，可以用于生成真实感的渲染图像和模拟光学系统的行为。
牛顿迭代法和光线追迹法都是基于数学模型和物理规律的计算方法，在不同的应用领域具有重要的作用。
本文将介绍它们的原理、算法步骤和应用场景，并对它们进行对比分析和评价，探讨它们的优缺点和发展前景。
这将有助于我们更深入地理解这两种方法，并为相关领域的研究和应用提供参考。
文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构做出详细介绍。
可以描述每个部分的主题和内容，并概述它们在文章中的作用和相互关系。
例如，可以按照以下方式编写文章结构部分的内容："1.2 文章结构本文将分为四个主要部分来介绍牛顿迭代法和光线追迹法的原理、算法步骤和应用场景，以及对两种方法的对比分析、优缺点和发展前景。
具体结构如下：2. 牛顿迭代法2.1 原理2.2 算法步骤2.3 应用场景3. 光线追迹法3.1 原理3.2 算法步骤3.3 应用场景4. 结论4.1 对比分析4.2 优缺点4.3 发展前景通过以上结构，本文将分别介绍牛顿迭代法和光线追迹法的原理、算法步骤和应用场景，以便读者更好地理解和应用这两种方法。
zemax光线追迹方法在光学设计和光学系统仿真中，Zemax是应用广泛的光学仿真软件。
光线追迹方法是Zemax中最基本的光学仿真方法之一、光线追踪是一种通过计算光线在光学系统中的传播路径和光学参数来模拟光学系统行为的方法。
在Zemax中，光线追踪方法可以用于计算光线的传播路径、传递参数和光线能量分布等，以评估光学系统的性能。
光线追踪方法的基本原理是根据几何光学的假设，通过追踪光线的传播路径并计算光线与光学元件之间的交互作用来模拟光学系统的行为。
在Zemax的光线追踪方法中，光线可以从光源发出，并经过透镜、反射镜等光学元件的传播路径，最后到达像平面或探测器上。
在光线的传播路径中，会计算光线的射线矢量、能量、光程差、相位、波前畸变等参数，并根据这些参数来分析光学系统的性能。
在Zemax中，光线追踪方法可以用于计算光学系统中的各种参数和特性。
例如，可以计算光线的传播路径、光线的能量分布、光线的偏振状态、光线的波前形状等。
通过这些参数的计算，可以评估光学系统的成像品质、能量传输效率、波前畸变等性能。
这些参数和特性的计算结果可以用于指导光学系统的设计和优化。
使用光线追踪方法进行光学系统仿真需要先建立光学系统的模型。
在Zemax中，可以通过建立光学元件的描述和定义各个元件之间的光束传递关系来构建光学系统的模型。
光学元件的描述包括光学表面的形状、曲率、折射率、透明度等参数。
在模型构建完成后，可以定义光源的位置、方向、波长等参数，然后使用光线追踪方法进行光学系统的仿真。
在进行光线追踪方法的仿真时，可以使用Zemax提供的各种分析工具来评估光学系统的性能。
例如，可以使用瑞利孔径、MTF（Modulation Transfer Function）等参数评估光学系统的分辨率与成像能力。
可以使用波前畸变、Zernike多项式等参数评估光学系统的像差与畸变程度。
可以使用光束传递矩阵、光量子效率等参数评估光学系统的能量传输效率与损耗程度。
光学跟踪的原理和应用1. 前言光学跟踪是一种基于光的原理进行跟踪和定位的技术，广泛应用于各行业中的精密测量、机器人导航、医学显微镜等领域。
本文将介绍光学跟踪的基本原理和其在不同领域的应用。
2. 光学跟踪的原理光学跟踪的原理是通过光的反射、折射和散射等特性，利用光学传感器对物体进行捕捉和定位。
其基本原理可以概括如下：•光的反射: 当光线照射到物体表面时，根据物体表面的特性，光线会发生反射。
通过检测反射光线的方向和强度变化，可以得到物体的位置和姿态信息。
•光的折射: 光线在两种介质之间传播时，由于介质的折射率不同，光线会发生折射。
根据折射定律和物体的折射率，可以计算出物体的位置和形状信息。
•光的散射: 光线在物体表面或介质中发生散射时，会改变光线的传播方向和强度。
通过检测散射光线的特性，可以获取物体的位置和表面特征信息。
3. 光学跟踪的应用3.1 精密测量光学跟踪在精密测量领域有着广泛的应用。
例如，在制造业中，光学跟踪技术可用于测量产品的尺寸、形状和位置，以确保产品质量。
此外，光学跟踪还可用于测量高精度的机械部件、光学元件和电子元件等。
3.2 机器人导航光学跟踪在机器人导航领域也被广泛应用。
通过安装光学传感器，机器人可以实时捕捉和定位周围环境中的物体。
这使得机器人能够感知和避免障碍物，并实现自主导航和位置定位功能。
3.3 医学显微镜在医学显微镜领域，光学跟踪可用于实时追踪和定位生物组织和细胞。
通过使用光学传感器和显微镜，医生可以观察和分析生物样本，并在手术过程中进行精确定位和操作。
3.4 航天导航光学跟踪在航天导航中具有重要作用。
通过安装光学传感器和高精度测量设备，航天器可以准确测量过程中的位置、速度和轨道等参数，并实时调整导航轨迹，以确保任务的成功。
4. 总结光学跟踪是一种基于光的原理进行跟踪和定位的技术，具有广泛的应用前景。
本文介绍了光学跟踪的基本原理，以及其在精密测量、机器人导航、医学显微镜和航天导航等领域的应用。
使用折射定律计算光线在不同介质中的传播路径光线在不同介质中的传播路径是一个常见的物理问题。
为了解决这个问题，我们可以利用折射定律，它描述了光线从一种介质进入另一种介质时的偏折现象。
本文将介绍折射定律的基本原理，并通过几个实例来演示如何计算光线在不同介质中的传播路径。
折射定律是由斯涅尔在17世纪提出的。
它表明，当光线从一种介质进入另一种介质时，入射角和折射角之间的正弦值的比等于两种介质的折射率之比。
折射率是一个介质对光的折射能力的度量，它与光在该介质中的传播速度有关。
根据折射定律，我们可以计算出光线在不同介质中的传播路径。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一束光线从空气中射入玻璃中，我们想要计算光线在玻璃中的传播路径。
根据折射定律，我们需要知道空气和玻璃的折射率。
空气的折射率约为1，而玻璃的折射率通常在1.4到1.7之间。
假设玻璃的折射率为1.5，那么我们可以得到折射定律的数学表达式：sin(入射角) / sin(折射角) = 1 / 1.5通过解这个方程，我们可以得到入射角和折射角之间的关系。
例如，如果入射角为30度，那么我们可以计算出折射角约为19.47度。
这样，我们就可以确定光线在玻璃中的传播路径。
除了计算光线在单一介质中的传播路径外，我们还可以考虑光线在多个介质之间的传播。
例如，假设有一束光线从空气中射入水中，然后再从水中射入玻璃中。
我们想要计算光线在这三种介质中的传播路径。
根据折射定律，我们需要知道空气、水和玻璃的折射率。
假设空气的折射率为1，水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.5。
我们可以利用折射定律依次计算出光线在水和玻璃中的传播路径。
首先，我们可以计算出光线从空气射入水中的折射角，然后再计算出光线从水射入玻璃中的折射角。
通过这样的计算，我们可以确定光线在这三种介质中的传播路径。
折射定律不仅适用于光线在常见的透明介质中的传播，也适用于其他类型的波在不同介质中的传播。
例如，声波在不同介质中的传播也遵循折射定律。
光的折射研究光在非均匀介质中的传输规律光的折射是光线从一种介质射入到另一种介质时，传播方向发生改变的现象。
光的传输规律在均匀介质中已有较为深入的研究，但在非均匀介质中的传输规律却具有一定的复杂性。
本文将探讨光在非均匀介质中的传输规律，揭示光的折射现象背后的科学原理。
一、光的折射定律光的折射定律是描述光线传播方向改变规律的基本原则。
根据斯涅尔定律，光线射入到另一种介质时，入射角、折射角和两种介质光速的比值之间存在着一定的关系。
这个关系可以用以下公式表示：n1sinθ1 = n2sinθ2其中，n1和n2分别代表两种介质的折射率，θ1为入射角，θ2为折射角。
这个定律揭示了光在非均匀介质中的传输规律的重要依据。
二、非均匀介质对光的传输的影响非均匀介质中的折射现象在实际应用中具有广泛的影响。
非均匀介质的折射率是空间位置的函数，因而导致光线传播路径的曲线性质。
这一点在大气中尤为明显，例如光线穿过大气中的层状结构时，会发生折射和偏转，导致太阳升起和落下时出现日出和日落现象。
此外，非均匀介质中的折射现象还会给光学器件的设计和制造带来挑战。
光在非均匀介质中传输过程的复杂性，需要我们进一步研究和理解，为光学器件的性能提供更合适的优化方案。
三、光的传输路径的数学模拟光的传输路径在非均匀介质中的数学模拟是研究光传输规律的重要方法之一。
使用数学方程可以描述光线在非均匀介质中的传输路径，以及折射和反射发生的位置和角度。
常用的光线追迹方法包括几何光线追踪和物理光线追踪。
几何光线追踪主要通过光线的几何关系进行模拟，可以用于较为简单的光学系统。
而物理光线追踪则更加准确和精确，可用于复杂的非均匀介质中的光传输模拟。
通过数学模拟，我们可以深入了解非均匀介质中光线传输的规律，分析和优化光学系统的设计以及光学器件的性能。
这种方法不仅可以在实验室中进行，还可以通过计算机模拟来实现。
四、光的折射在生活中的应用光的折射不仅具有科学研究的意义，还在生活中有许多实际应用。
光学练习题的光线追迹技巧光线追迹技巧是光学学习的基础，也是解决各种光学问题的重要方法。
通过光线的传播路径追踪，我们可以研究光的传播规律，预测光的方向，解释光的现象以及设计光学仪器等。
本文将介绍光学练习题中常用的光线追迹技巧，帮助读者更好地理解和应用光学知识。
一、平面镜中的光线追迹技巧平面镜是光学练习题中常见的光学元件之一。
在光线追迹时，可以使用以下技巧：1. 入射光线与法线的关系：入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角。
这是根据反射定律得出的结论，也是平面镜的基本性质。
2. 入射角等于反射角：对于平面镜，入射光线的入射角等于反射光线的反射角。
这是平面镜反射规律的基本表达方式。
3. 虚像的构成：平面镜中的光线追迹中，注意入射光线和反射光线的延长线交汇处即可得到虚像的位置。
虚像与实物的位置关系可以通过画出光线追迹图来判断。
二、球面镜中的光线追迹技巧球面镜是另一类常见的光学元件，进行光线追迹时，可使用以下技巧：1. 入射光线的选择：对于凸透镜，入射光线要选择由远及近逐渐靠近光轴的方式。
对于凹透镜，入射光线要选择由近及远逐渐远离光轴的方式。
这是球面镜光线追迹的基本原则之一。
2. 光线传播的路径：对于球面镜，光线在入射和折射中分别按照入射角等于折射角的规律进行追踪。
光线传播的路径可以通过构造光线追迹图来确定。
3. 光焦度和焦距的关系：光焦度和焦距是球面镜的重要性质，两者之间有一定的数学关系。
在光线追迹中，可以利用光焦度和焦距的关系来推导出光线的方向和位置。
三、折射率的应用在光学练习题中，经常需要用到介质的折射率进行光线追迹分析。
根据折射定律，可以用折射率来计算光线在不同介质中的传播路径。
1. 折射率的定义：折射率是光线由真空进入介质时，传播速度比真空中传播速度的比值。
不同介质的折射率不同。
2. 折射定律的应用：根据折射定律可以计算光线在从一种介质进入另一种介质时的折射角度，进而推导出光线的传播路径。
梯度折射率光纤光路追迹梯度折射率光线光路追迹第一章绪论1.1研究背景与意义在传统的光学系统中，各种光学元件所用的材料都是均质的，每个元件内部各处的折射率为常数。
在光学系统的设计中主要通过透镜的形状、厚度来成像，并利用各种透镜的组合来优化光学性能。
梯度折射率材料则是一种非均质材料，它的组分和结构在材料内部按一定规律连续变化，从而使折射率也相应地呈连续变化。
它也可简称为梯折材料。
它主要依靠介质折射率的非均匀性实现各种光学功能，由它制成的光学元件具有显著的特点。
如梯度折射率透镜体积小，数值孔径大，焦距短，端面为平面，消像差性好。
组成光学系统可大大减少组件总数和非球面组件数，因而简化结构。
梯度折射率光纤可以自聚焦，能提高藕合效率。
梯度折射率微型光学元件是集成光学和光计算机的主要组件。
因此，它在光学系统中有着良好的应用前景。
本课题主要研究光在梯度折射率光纤中的传播轨迹。
1.1.1光纤的传输原理光纤是一种传输介质，是依照光的全反射的原理制造的。
光纤是一种将讯息从一端传送到另一端的媒介，是一条以玻璃或塑胶纤维作为让讯息通过的传输媒介。
光纤实际是指由透明材料做成的纤芯和在它周围采用比纤芯的折射率稍低的材料做成的包层，并将射入纤芯的光信号，经包层界面反射，使光信号在纤芯中传播前进的媒体。
一般是由纤芯、包层和涂敷层构成的多层介质结构的对称圆柱体。
光纤有两项主要特性：即损耗和色散。
光纤每单位长度的损耗或者衰减（dB/km），关系到光纤通信系统传输距离的长短和中继站间隔的距离的选择。
光纤的色散反应时延畸变或脉冲展宽，对于数字信号传输尤为重要。
每单位长度的脉冲展宽（ns/km），影响到一定传输距离和信息传输容量。
1.1.2光纤材料纤芯材料的主体是二氧化硅，里面掺极微量的其他材料，例如二氧化锗、五氧化二磷等。
掺杂的作用是提高材料的光折射率。
纤芯直径约5~~75μm。
光纤外面有包层，包层有一层、二层（内包层、外包层）或多层（称为多层结构），但是总直径在100~200μm上下。
基于折射定律的渐变介质中光传播路径研究及其应用郑其明【摘要】从理论和实验两个角度解释了光在渐变介质中的传播规律，并在此基础上从实验和理论两个角度提出应用光在渐变介质中的传播规律分析和解决实际问题.【期刊名称】安徽师范大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(038)003【总页数】5【关键词】折射定律；渐变介质；应用渐变折射率现象在日常生活中经常会出现，例如空气本身并不是一个均匀的介质，在一般情况下，它的密度是随高度的增大而递减的，高度越高，密度越小.光在空气中传播时，当光线穿过不同高度的空气层时，总会引起一些折射，但这种折射现象在我们日常生活中已经习惯了，所以不觉得有什么异样.但在某些特殊条件下，例如夏日的海面或沙漠地带，由于地面和高空温差大，上下空气密度有较大差距，上下空气的折射率也会产生较大变化，这时往往会产生海市蜃楼现象[1].从理论上讲，研究光在渐变折射率的介质中传播与研究光在均匀介质中的传播一样，都可以建立光在介质中传播的麦克斯韦方程，通过求解微分方程，可以得到光在渐变介质中传播规律[2].但实际上解决这种微分方程是非常困难的，有时甚至无法求解.因此解决光在渐变介质中的传播问题是工程中困难问题.针对上述问题，本文首先通过实验来模拟光在渐变介质中传播的现象，从而了解光在渐变介质中的传播轨迹.再通过光的折射定律和费马原理建立光在渐变介质中传播积分方程，从而求出光在渐变介质中的传播轨迹方程，这样就避免了复杂的数学推导过程，这种方法对求解光在渐变薄膜中的传播或求解海市蜃楼现象，都有一定的借鉴意义.利用上述现象和原理，用不同浓度的糖水设计实验，模拟海平面日落光学现象.同时还将上述数学变换方法应用于解决物理学中其它类似问题(如两端固定的悬挂链条的悬链迹问题以及落体问题的最速降轨迹问题等)，这对引导学生灵活运用物理学原理和数学工具，具有指导意义.1 光在渐变介质中传播现象的实验模拟虽然光在渐变介质中的传播现象在自然界中很常见，但要完整观察光在渐变介质中传播轨迹是不容易的.在实验中将甘油倒入玻璃槽中，在玻璃槽底均匀铺上薄薄一层，然后将水缓缓倒入槽中，由于甘油无色透明，其相对折射率为1.4746，密度为1.2636克/厘米3，都比水大，又不溶于水，会与水形成混合液.因此当将水倒入后，由于甘油比水重，甘油会沉在槽底，静置一段时间以后，甘油会在水中慢慢扩散，水槽上部的甘油相对分布少，下部分布多，这样在水槽中就形成了折射率由上往下逐渐增大的甘油与水的混合液.将一束激光射入混合液体中，可以明显看到，激光在混合液中传播路径不再是直线而是发生了弯曲，如图1所示.由于上下混合液的浓度不同，激光在上部和下部传播时的轨迹的弯曲程度也不同.如图2所示，在混合液的下部光的弯曲程度会更大些.改变激光射向混合液体的角度，可看到，激光在混合液体中传播路径也产生变化.利用此实验还可以模拟海市蜃楼现象，如示意图3所示，将一个物体放在混合液的底部，从物体发出的光线经过渐变折射率液体折射后发生了弯曲，透过液体看过去，会在水槽的上方看到物体的像，这就与海市蜃楼产生的情景是一致的.2 光在渐变折射率介质中传播轨迹的理论分析由以上模拟演示实验现象可知，光在变折射率的介质中的传播路径不再是直线而变为了曲线，下面通过理论分析求光在渐变介质中的传播轨迹.由费马原理可知，光线总是沿着最短时间的路径行进.对于渐变介质而言，其折射率为位置的函数，即：n=n(x,y,z)，设光的真空中光程为dl，则在介质n中的光程为ndl.光在某渐变介质中传播时，光线行进所花费的时间可表示为[3]：，其中v为光在介质n中传播速度，c为光速.(1)如果知道了介质的折射率随位置变化的关系，根据费马原理，对上式求时间的极小值，理论上可以求出光在渐变折射率的介质中传播轨迹，但要对上式求极限，必须对上式进行变分处理，其数学处理过程非常复杂，对只学过基础微积分的学生来说难以理解和掌握，本文根据光的折射定律，对上述积分关系式进行处理，这样就简化了数学处理过程.为了使得问题简化，令渐变折射率介质的折射率只沿着竖直方向变化，n=n(y)，如图4所示.将介质沿着y轴方向分成无数个薄层，设每个薄层折射率都为常数，假设光初始入射时初始角为θ0，初始介质的折射率为n0，射入每个薄层时的折射角分别为θ1,θ2L,θy，每个薄层的折射率分别为n1,n2,L,ny，光在每个薄层行进时都满足光的折射定律.这样就可以根据光的折射定律来决定光在渐变介质中的行进路径.由光的折射定律可得：n0sinθ0=n1sinθ1=L=nysinθy=c(2)由图4可得：(3)其中θ为深度为y处的折射角.将(2)式代入(3)式：这样就可以得到光在渐变介质中的轨迹方程为：(4)根据轨迹方程(4)可知，如果已经知道了渐变介质的折射率随着位置变化的关系，就可以根据方程(4)求出光在渐变介质中的传播轨迹.这样就不需要通过求极值来确定光在渐变介质中的传播轨迹.在实际工程中，要确定渐变介质的折射率随着位置变化的关系是不容易的，一般情况下很难准确确定出来.实际情况下只能通过近似方法来进行确定.对上述实验中情况可做如下分析：根据扩散原理可以得到甘油在水槽中的y轴方向的分布e-y2/4kt，其中t为时间，k为扩散系数.在甘油和水的混合液中，甘油的浓度与此处液体的折射率成线性关系，因此混合液的折射率随着时间的变化关系可以表示为：e-y2/4kt，其中A是常数.当时=1，对e-y2/4kt进行泰勒展开，并取二级近似可y2)(5)将(5)式代入(4)式中并进行积分可得：其中t.(6)将(5)式的理论推导结果与实验结果图1和图2相比大致是相符的，如果盛放渐变介质容器足够长，应该能得到类似(6)式结果的光路传播图像，但由于渐变介质的折射率随着位置变化是很复杂的，与很多因素有关，因此实际结果与理论推导的结果会有差距.3 光在渐变折射率介质中传播现象的实验应用——以糖水模拟海平面日落光学现象夕阳西下，在清澈的海平面上，常可看到垂直方向被压缩，呈黄、橘、红色扁椭圆的太阳，如果运气更好，还可看见绿闪光(green flash)现象.这些现象都与海平面上方的大气不同高度处的空气密度和折射率随着高度变化而变化，从而造成大气的渐变折射现象，当然还与大气对光的色散以及大气分子对光的散射等原因有关.曾经有研究者利用不同浓度的糖水层及水，依序由下往上浓度越稀放入水箱中，示范了山区受大气折射作用所产生的海市蜃楼的幻影现象(如图3所示).利用同样的方法，以幻灯机的白光灯源经过浓度由下往上递减的糖水所造成的折射率改变，及对白光所造成的散射，模拟展示了日落时，太阳因大气折射、散射所产生的扁红太阳的现象.实验中使用的材料有水箱、不同浓度糖水、幻灯机或其它白光灯源.基本步骤如下：1)实验前先配制好不同浓度的糖水，将不同浓度糖水依序由下至上由浓至淡注入(注意不可搅拌)水箱.每注入每一层前，先铺上一层塑料袋.注完该层后，缓缓将塑料袋均匀用力抽出，此时虽有糖水的小扰动，但明显可见不同浓度糖水层的形成.2)先以激光光源作测试，看是否有光束弯曲现象(如图5)，还可以用不同颜色的激光观察不同颜色的激光弯曲程度有什么不同的现象.3)根据图6所示的装置图，准备幻灯机，在投射灯前原置幻灯片位置，放入一张与幻灯片大小相当的白纸片，则所投射出的光便形成一个圆的光源.在图6所示装置的另一侧通过眼睛就可以观察到图7所示的模拟日落时扁红太阳现象.未来还希望通过改进糖水浓度的层次，以展示太阳光因大气折射所产生的重迭幻影-中国灯笼现象以及绿光现象.4 基于折射定律的渐变介质中光传播规律的理论应用由光在渐变折射率介质中传播轨迹的理论分析可知，光在渐变折射率介质中传播的最短路径可由方程(1)进行求解，而应用方程(1)求解必须要进行复杂的变分，比较难于求解，通过光的折射定律可以对问题进行简化，从而得到(4)式所示光在渐变折射率介质中传播的轨迹方程.物理学中有很多其它类似问题，如两端固定的悬挂链条的悬链线问题，以及落体问题的中的最速降轨迹问题等，其结果都与(1)式类似，因此可以借鉴求解光在渐变介质中传播轨迹的方法，解决悬链线问题和最速降轨迹等问题.4.1 两端固定的悬链线问题如果将一条链子的两端固定让它自由悬挂，最后会形成图8所示的悬链线.设链子的质量线密度为ρ，重力加速度为g，根据力学原理得，整个悬链线的位置势能U可表示为[6]：U=∫ρgxdl(7)而整个悬链线问题就是找出它的轨迹，使得整个悬链线系统的位置势能为极小值.比较(1)式和(7)式可以看出，它们有如下的类比关系：时间T→位置势能U，折射率n(x)→高度x.而链子上每一小段的弯曲程度就如图(4)所示的光线的弯曲程度一样，它们都遵循折射定律，因此可以将悬链线的轨迹方程表示为：y(x)dx,其中C为常数.对上式进行积分，就可得到悬链线的轨迹为双曲余弦函数[7]：y=Acosh(x/c)，其中A为常数，常数A和C可根据悬链线的具体数据进行确定.由以上分析可知，如果用变分法来求悬链线的轨迹从数学分析角度来说也是比较复杂的，如果应用折射定律，利用类似于光在渐变介质中传播路径的求解方法，就比较容易得到悬链线的轨迹方程.4.2 最速落体轨迹问题最速落体轨迹问题同样是物理学中一个难点问题，最速落体问题可用以下方程表示：=，其中g为重力加速度x为下落高度，最速落体就是落体时间最短.将上式与(1)式进行比较，可得到如下的类比关系：折射率n(x).因此最速落体轨迹方程可表示为：，其中C为常数，根据相关积分公式可知，最速落体轨迹方程的积分结果为一摆线.由以上两个问题的求解过程可以看出，要解决类似的积分极值问题，例如某一物理量满足如下方程：G=∫f(x)dl，而物理量G满足具有积分极值，借鉴求解光在渐变介质中传播轨迹的方法，进行如下类比：时间T→物理量G，折射率n(x)→函数f(x).则满足物理量G积分为极值的轨迹方程可表示为：y(x)dx.从而通过积分可求得其轨迹方程.但应该注意的是，以上方法只适用与当f(x)为一维时的情况，而二维和三维情况时就不适用了.5 结束语求解光在渐变折射率介质中传播路径问题是物理学中一个问题[8-10]，本文首先通过实验来模拟光在渐变介质中传播的现象，从而了解光在渐变介质中的传播轨迹.再通过光的折射定律和费马原理建立光在渐变介质中传播积分方程，求出光在渐变介质中的传播轨迹.本文通过运用上述原理和现象，用不同浓度的糖水设计实验，模拟海平面日落光学现象，从而加深学生对光在介质中传播规律的了解.同时本文还将上述数学变换方法应用用与解决物理学中其它类似问题.本文理论推导过程中使用的数学工具简单，避开了复杂的数学技巧，容易为普通大学生掌握和应用，本文的实验验证也容易在实验室开展，同时本文所采用的推导方法对引导学生灵活运用物理学原理和数学工具，具有指导意义.参考文献：[1] 姚启钧.光学教程[M].北京:高等教育出版社，2009.[2] Jon Mathews R.L.Walker,“Mathematical Methods of Physics”2nd ed[J]. 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第25卷 第5期2005年5月 光 学 学 报ACTA OP TICA SIN ICAVol.25,No.5May ,2005文章编号:025322239(2005)05258924变折射率介质中光线追迹通用算法的研究3黄战华 程红飞 蔡怀宇 赵海山 张尹馨(天津大学精密仪器与光电子工程学院光电信息技术科学教育部重点实验室,天津300072)摘要: 基于几何光学的光线折射和反射原理提出了变折射率介质中的光线追迹算法,给出了在光线追迹过程中进行递推的反射光线和折射光线的方向余弦方程;解决了空间中法线的确定和光线回转等问题。
最后通过对多种不同的存在解析解的特殊折射率分布的数值解值和解析解值的比较,验证了算法的正确性,并且讨论了应用算法时应该注意的问题和算法中还有待解决的问题。
该算法不但具有广泛的适用性,基本不受折射率分布的制约,而且其数值解精度达10-5。
该算法在变折射率介质的光学设计和空间成像补偿等方面有着广阔的应用前景。
关键词: 几何光学;折射率;通用算法;光线追迹;方向余弦中图分类号:O435.1 文献标识码:A 3国家自然科学基金(60377001)资助课题。
作者简介:黄战华(1965～),男,天津大学教授,主要从事光学图像处理和模式识别、光电技术等方面的研究。
E 2mail :zhanhua @收稿日期:2004208219;收到修改稿日期:2004211209A S t u dy o n U ni ve rs al R a y Tr aci n g Al go ri t h m i n t he Medi u mof V a ri a ble Ref r act i ve I n dexHuang Zhanhua Cheng Hongfei Cai Huaiyu Zhao Hais han Zhang Y inxinKey L abor ator y of Op toelect ronic I nf or m ation Tech nological Science ,Mi nist r y of Ed uca tion ,College ofPrecisionI nst r u men t a n d Op toelect ronic Engi neeri ng ,Ti a nji n U niversit y ,Ti a nji n 300072Abs t r act : An algorithm of ray tracing based on light ray ref raction and reflection in geomet rical optics in the medi 2um of variable ref ractive index is p roposed and a recursive direction 2cosine equation of reflected light and ref ractive light for ray t racing in the medium of variable ref ractive index is carried out ,In the algorithm ,some p roblems ,con 2firmation of normal line ,light turning etc.,are resolved.At last its correct ness is validated by comparing numerical value and analytic value of several different special dist ribution of ref ractive index of analytic solution ,f urthermore some p roblems in the during of applying the algorithm and under solution in the algorithm are discussed.Not only the algorithm has extensive feasibility and is independent of dist ribution of ref ractive index ,but also its numeric p recision is about 10-5.The application of the algorithm is p rospective in the many cases ,such as optical designing and spatial imaging compensation of variable ref ractive index.Key w or ds : geomet rical optics ;ref ractive index ;universal algorithm ;ray t racing ;direction cosine1 引 言均匀折射率介质中的光线追迹是光学设计计算的主要手段。
对于变折射率介质中的光线追迹研究才开始起步[1,2]。
主要方法是先简化光线方程,再用数值方法求解。
但是这种方法的适用范围狭窄。
本文提出了一种光线追迹算法。
该算法从几何光学的基本原理———折射和反射规律出发,导出光线的空间折射和反射方程,由此得到空间中光线的轨迹。
该算法不受折射率分布的制约,对各种分布均能得到满意的数值解。
可以应用在变折射率介质的光学系统设计上,也可以应用在变折射率空间成像补偿上。
由于摄像距离、温度分布和大气成分的变化,空气不再均匀时,会导致成像质量下降。
这时可通过本算法计算得到物点和像点的对应关系进行图像补偿。
2 算法描述一束光线在均匀折射率的介质中是沿直线传播的,但在变折射率介质中将沿曲线传播。
将变折射率介质分成很多小段,并且认为光线仅在各小段的边界上发生折射、在各小段内部沿直线传播[37],如图1所示。
当把变折射率介质分成足够多的小段时,就能得到光线的近似轨迹,这就是本算法的基本思想。
图1光线追迹原理示意图Fig.1Schematic sketch for ray tracing变折射率介质中光线路径是通过多次折射得到的,必须先确定各条折射光线空间位置[810]。
如果把光线看作空间中的矢量,那么就可以用其起点的直角坐标和方向余弦表示光线的空间位置。
根据折射规律,只要知道入射光线的空间坐标、法线的空间坐标以及分界面两边的折射率就可以得到折射光线的空间坐标。
光线在三维空间中的折射情况如图2所示[3]。
其中(α1,β1,γ1)、(α2,β2,γ2)、(α3,β3,γ3)和(α4,β4,γ4)分别为入射光线、折射光线、法线和反射光线的方向角,θ1为入射角,θ2为折射角,n 1和n 2为界面两边的折射率。
图2光线折射示意图Fig.2Sketch for light ray ref raction入射光线的空间坐标在计算前给定,分界面两边的折射率可由折射率分布计算得到。
但是法线的空间坐标却无法直接确定。
在变折射率的介质中,一般情况下并不存在明显的界面,所以界面的法线也就不存在。
由于空间折射总是向着折射率变化最大的方向,所以取介质折射率梯度方向为法线方向。
这样计算折射光线的条件都已满足。
根据入射光线和折射光线所成的角度,以及折射定律,可列出以下方程:cos α3co s α1+cos β3cos β1+cos γ3co s γ1=co s (θ31-θ32),(1)cos α2co s β3-co s β2cos α3=sin θ32/sin θ31(co s α1cos β3-cos β1co s α3),(2a )cos β2cos γ3-co s γ2cos β3=sin θ32/sin θ31(co s β1cos γ3-co s β1cos β3),(2b )cos γ2co s α3-cos α2co s γ3=sin θ32/sin θ31(co s γ1co s α3-co s α1cos γ3),(2c )n 1sin θ1=n 2sin θ2,(3)式中θ31是入射光线与法线所成的角,θ32是折射光线与法线所成的角。
cos α2=(n 1/n 2)(co s α1-cos θ31co s α3)±co s α31-(n 21/n 22)sin 2θ31,(4a )cos β2=(n 1/n 2)(cos β1-cos θ31co s β3)±cos β31-(n 21/n 22)sin 2θ31,(4b )cos γ2=(n 1/n 2)(co s γ1-co s θ31cos γ3)±cos γ31-(n 21/n 22)sin 2θ31,(4c )当π/2<θ31<π时(4)式取“+”,当π/2<θ31<π时(4)式取“-”。
(4)式就是折射光线的方向余弦,而折射光线又是下一次折射的入射光线,这样只要一步一步折射下去,就能得到变折射率介质中的光线轨迹。
但是此算法中还存在一个未能处理的问题,就是空间中光线的回转,如图3所示。
此现象在光线传播过程中普遍存在,如海市蜃楼和梯度光纤中的光波导。
用全反射方式处理光线回转。
反射光线的方向余弦可应用计算折射光线的方向余弦的方法得到:co s α4=co s α1-2cos θ31cos α3,(5a )co s β4=cos β1-2co s θ31cos β3,(5b )co s γ4=cos γ1-2cos θ31co s γ3.(5c )图3光线回转示意图Fig.3Sketch for ray turning 图3是空间中光线的轨迹,其中十字叉丝所在位置就是光线轨迹的峰值点。
如果在此峰值点附近应用折射公式进行计算,(4)式中的根号下会出现负值,导致计算出错。
由此推断在峰值点应该应用反射公095 光 学 学 报 25卷 式计算。
通过对光线方程采用特殊折射率分布进行分析计算,计算中出现峰值点与光线方程计算出的极值点恰好吻合,在这些点附近应用反射公式进行计算后所得到路径与从光线方程得到的也完全吻合。
3 算法验证与讨论3.1 正常实例一般的折射率分布不能从光线方程推倒出光线轨迹的解析解。
但对一些特殊的折射率分布却是可以的。
以下是两种有代表性的的折射率分布的解析解,与本算法得到的数值解的比较。
一是轴向变化的n (z )=n (0)1-α2z 2,由于玻璃和光纤的折射率一般在1.5左右,故取n (0)=1.5;二是径向变化的n (x ,y )=n (0)1+α2(x 2+y 2),由于空气的折射率大小基本在1附近,所以取n (0)=1。
