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材料力学部分本部分主要内容：一材料力学绪论二轴向拉伸、压缩与剪切三扭转四平面图形的几何性质五弯曲六应力状态与强度理论七组合变形八压杆稳定本部分主要内容：（一）弯曲内力（二）弯曲应力（三）弯曲变形主要内容：一平面弯曲的概念和实例二受弯杆件的简化三剪力和弯矩四剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系六弯曲内力部分习题及解答（一）弯曲内力一平面弯曲的概念及实例1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
3.工程实例一平面弯曲的概念及实例4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
对称弯曲（如下图）——平面弯曲的特例。
非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
本部分内容以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
一平面弯曲的概念及实例梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化二受弯杆件的简化①固定铰支座2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②辊轴支座1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
二受弯杆件的简化③固定端3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
q (x )—分布力②悬臂梁二受弯杆件的简化③外伸梁[例] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
P Y )x (Q O ==解：①求支反力)L x (P M x Y )x (M O O -=-= ②写出内力方程PLM P Y O O == ;[例]：求图示梁内力图。
xy解：截面法求内力。
11110)(qax M M qax F mi A-=\=+=åxQqa Mqa 2x3qa2/2xqqaa a1122M AY A=S Y 0=S A M 0qa 21M 2qa 2A 2=-+2A qa 21M -=0=-+-A Y qa qa 0=A Y 四剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系对d x 段进行平衡分析，有：[]0d d 0=+-+=å)x (Q )x (Q x )x (q )x (Q Y )x (Q x )x (q d d =五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用()()c x q dxx dQ ==讨论：特别地，当q=c ：1、q=c>0 : 均布载荷向上，则Q 向右上方倾斜的直线2、q=c=0 : 没有均载荷，则Q 为水平直线3、q=c<0: 均布载荷向下，则Q 向右下方倾斜的直线五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用q (x )M (x )+d M (x )Q (x )+d Q (x )Q (x )M (x )d x A0dM(x)][M(x)M(x)q(x)(dx)21Q(x)dx ,0)F (m2i A=+-++=å)Q(x dxdM(x)=弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
第五章 弯曲应力
5.2简支梁承受均布载荷如图所示。
若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且
5
3
,
40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。
并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？
解：1)空心截面尺寸： 由
()
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=
2
2
2
2222
22
21
144
4
D d D d
D D π
π
π
求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。
且：m KN ql M ⋅==18
2max 3)求最大正应力： 实心截面：32
3
1D W Z π=
M P a
W M Z
2.159m a x
m a x ==
σ 空心截面：⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4
2232
132D d D W Z π M P a W M Z
6.93max '
max ==σ 4)最大正应力之比：
%2.412
.1596
.932.159max '
max max =-=-σσσ
5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3
2
,4====σ。
试确定此梁横截面的尺寸。
解：1) )确定危险截面：
梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。
且：2
2max
ql M =
2)建立强度条件：[]σσ≤=Z
W M max max
其中：62
bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥.
5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。
材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。
试校核压板的强度。
解：1)最大弯矩
()()
m N M ⋅=⨯⨯=-3081020104.1533max
2)A —A 截面抗弯模量
()
3
2
633max
568.110
112102.1203.0cm y I W =⨯⨯⨯-==
--3)最大正应力： MPa W M Z
4.196max
max ==
σ 许用应力[]MPa n
s
253==
σσ 可见s σσ〈max ，压板强度足够。
5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比
[][]4/1/=c t σσ。
求水平翼板的合理宽度。
解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。
由于：
[][]4/1/===上下上
下
y y I My I My z
z
c t σσ
而400=上下＋y y ，由此求出：
mm y mm y 320,80=上下＝
2）图中中性轴c z 为截面的一形心轴，则0=zc s ，可得：
()()()()017032034030308060=-⋅⨯--⋅⨯b 求出：b=510mm
5.13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A 、B 两点间长度的改变为mm l 3
1027-⨯=∆，材料的E=200GPa ，试求梁截面上的弯矩M 。
解：由梁所受弯矩方向可判断出AB 处于受拉区，AB 产生的线应变：l
l ∆=
ε 查表20号槽钢：cm y mm I z 95.1,1014408=⨯=- 而εσE I My
z
AB ==
则可求出： m KN y I E M z
⋅=-=
7.10)
5.0(0ε
5.16铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图。
许用拉应力和压应力分别为
[][]MPa MPa c t 160,40==σσ。
试按正应力强度条件校核梁的强度。
解：1)截面几何性质：()()()()()
cm y 75.1532025.21320103200=⨯⨯+⨯=
()()()()4
2323601375.155.213201232075.532012203cm I z =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+⨯+⨯
=
2)强度校核：梁的弯矩图如图 截面B ：()()[]t MPa σσ
〈=⨯⨯-⨯=
--+1.241060131075.152310203
2
3
max
()()[]c MPa σσ
〈=⨯⨯⨯=
---4.5210
60131075.1510203
2
3
max
截面C ：()()[]t MPa σσ
〈=⨯⨯⨯=
--+2.261060131075.1510103
2
3
max
()()[]c MPa σσ
〈=⨯⨯-⨯=
---06.1210
60131075.152310103
2
3
max
∴强度足够。
5.17试计算图示矩形截面简支梁的1--1截面上a 点和b 点的正应力和剪应力。
解：1)确定1—1截面的剪力和弯矩，
剪力图和弯矩图如图所示。
则可求出：
KN Q m KN M 11
40,114011=⋅=
2)a 点：()MPa I y
M z
a a 04.615.0075.012
104.0075.0101140
331=⨯⨯-⨯⨯==σ
MPa y h I Q a z a 379.0035.0415.015.0075.012
12101140
42223322
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τ b 点：MPa I y
M z
b b 9.1215.0075.012
1075
.0101140
331=⨯⨯⨯⨯==σ
00415.015.0075.012
121011
40
42233221
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b z
b y h I Q τ 5.21起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q ＝50KN,起重量P=10KN 。
许用应力
[][]MPa MPa 100,160==τσ。
若暂不考虑梁的自重 。
试按正应力强度条件选定工字钢型
号，
然后再按剪应力强度条件进行校核。
解：1)梁的受力简图如图，可求出起重机对梁的作用力：KN P KN P 50,1021==
2)确定起重机的危险位置及梁内的最大弯矩：
设D 距B 端为x ，则可求出：
()()x x P x P R B 65810
81012-=-+-=
2658x x x R M B D -==
由
00
=dx
M ，得起重机的危险位置：x=29/6 m 此时梁内的最大弯矩：m KN M D ⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=2.1406296629582
max
3)截面设计：由弯曲正应力强度条件[]σσ≤=
Z
W M max
max 可求出：()
3
6
343810
1602102.140cm W =⨯⨯≥ 故选取两根No.28a 工字钢 ()
315.508cm W = 4)按弯曲剪应力强度条件校核：查表No.28a 工字钢
mm b cm S I z
z
5.8,
6.24==* 由梁的受力情况确定剪力分布情况，得出：KN Q =max
则[]ττ〈=⋅=*MPa b
I S Q z z 9.132max max
， No.28a 工字钢完全满足强度要求。
5.26用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图所示。
每块木板的横截面皆为mm 25150⨯。
若每一螺钉的许可剪力为1.1KN ，试确定螺钉的间距s.设P ＝5.5KN 。
解：1)截面几何性质
顶板对中性轴的静矩为：
3
3
103105.8225150mm
S z ⨯=⨯⨯=
截面对中性轴的惯性矩为：
()
4533108.715010020015012
1
m I z -⨯=⨯-⨯=
MPa b
I S Q z z
377.0max =⋅=
τ []Q s b A Q ≤⋅⋅=⋅=ττm a x 可求出：。
