《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值分析 第7章7.1 填空题：（1）设f （x ）=x ，x ∈[-1,1],则‖f ‖1= 1 , ‖f ‖2=‖f ‖∞（2）x=（-1，0，1）T，y=（0,1,0）T，作一次多项式拟合时，正项方程为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01200321a a ，，，一次最（3）求二次平方逼近多项式时，若f （x ）=[-1,1],正规方程组的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/203/203/203/202，，，，，，若f （x ）∈[0,2],正规方程的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.643/843/823/822，，，，，，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛4.1552.11a a 8606262510，，解得：x 1811.0006.0-y 1811.0a 006.0-a 10+===所以，（2） 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合。

拟合值如表所示。

（3） 企业计划2005年实现产值240万元，计划需要多少供电量（万千瓦时）？解：y （24）=0.1811×24-0.006=4.34（万千万时）7.4 已知：某小水库容（km 3）与水位（m ）有如下实数据：i x /m 6 8 10 12 14 16 i f /km 3 4.6 4.9 5.5 6.8 8.1 10.2拟合值： 4.608 4.876 5.566 6.678 8.21 10.165 作最小二乘二次多项式拟合，并计算拟合值填入上表第三行。

解:正规方程为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.62074801.40a a a 140080102967961029679666796666210，，，，，，解得：05268.06032.033.6210=-==a a a∴ 最小二乘二次代入多项式为：y=6.33-0.6032x+0.05268x 2。

7.5 某品牌的电热沐浴器进行保温测试，当室温保持为20℃时，水温加热到80℃切断电源，每隔6小时测量水温，时间x 和水温y 如下表，时间x/h 0 6 12 18 24 水温y/℃ 80 62 49 40 34 据传热理论：应有公式20+=bx ae y。

6.（1）设(1,0,5,2)Tx =-，试求12,,x x x∞（2）设40004402A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求12,,,F A A A A ∞ 解12128,5;6,8,FxxxA AAA∞∞=======；4．设05813622,10612422A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， （1）试对A 进行PLU 分解：PA LU =； （2）根据PLU 分解求解Ax b =。

解 （1）162201011,102,00100.517100L U P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）(1,1,1)Tx =8．分别用Householder 变换法和MGS 法对A 进行QR 分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=542112111A解 (1) Householder 法对A 进行QR 分解[]()()()123123,,,1,2,2,1,1,4,1,1,5T T TααααααA ===--=-令()11,2,2Tαα==，调用算法2.1有[]13,,42212Tu ρβ=-==，所以 []1122333100412210102422123330012212333T uu β---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥H =I -=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 故1333003033--⎡⎤⎢⎥H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦再令()0,3Tα'=-,调用算法2.1得20110H ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,则 2100001010⎡⎤⎢⎥H =⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21333033003--⎡⎤⎢⎥H H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故121223331212,0333221003T TQ R -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=H H =--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. 10．设131112000,110001A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求Ax b =的最小二乘问题的全部解。

第八章习题解答3、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。

试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20M λ<<时，均收敛于方程的根。

证明：设()()x x f x ϕλ=-，可知()x ϕ在(,)-∞∞上可导对于任意给定的λ值，满足条件'0()m f x M <≤≤时（1）''()1()x f x ϕλ=- 则1'()11M x m λϕλ-≤≤-< 又20Mλ<<，M>0 则02M λ<<时，11M λ-<- 所以11'()11M x m λϕλ-<-≤≤-< 若令max{1,1}L M m λλ=--，则可知'()1x L ϕ≤<（2）由0()(0)'()(0)'()xx x dx x ϕϕϕϕϕε=+=+⎰ 则()lim 1x x L x ϕ→∞⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以，存在一个数a ，当x a >时，()x x ϕ<同时，()x ϕ在[,]a a -内有界，即存在0b >使得[,]x a a ∀∈-，()x b ϕ<我们选取 max{,}c a b =，则对任意x 有0()max{,}x c x ϕ<则对给定的任意初值0x ，设0max{,}d c x =则0[,]x d d ∈-，于是在区间[,]d d -上有()x d ϕ<即满足映内性有（1）、（2）可知，()x ϕ满足收敛定理迭代序列0{}k k x ∞=收敛于方程的根6. 给出计算...222+++=x 的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性，并证明2=x解：构造迭代格式10,1,2,k x k +==∙∙∙2k x ≤令()x ϕ=x ⎤∈⎦时，()x ϕ⎤∈⎦'()x ϕ=，当x ⎤∈⎦时，1'()12x ϕ<<所以，迭代格式收敛，且收敛于()x xϕ=在⎤⎦上的根，即x=x=2。

习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε 21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

数值分析原理封建湖答案【篇一：数值分析原理课件第一章】以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．1.1 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。

由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截11111的计算是无穷过程，当用en?1作为e的1!2!1!2!n!近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差en?e．断误差．如e?1?当用计算机计算en时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到en的近似值e，也就是说最终用e近似e，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点．可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题．对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算．在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性．收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．**1对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法．如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n次多项式anxn?an?1xn?1a1x?a0值的如下快速算法s?an；t?an?k；s?sx?t(k?1,2,?,n)它通过n次乘法和n次加法就计算出了任意n次多项式的值．再如幂函数x可以通过如下快速算法计算出其值s?x；s?s?s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)．事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法．也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．641.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用x作为量x的近似，则称x?x?:e(x)为近似值x的绝对误差．由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界?，即有**e(x)?x?x??****(1.1)称正数?为近似值x的绝对误差限，简称误差．这样得到不等式xx?x?? 工程中常用x?x??表示近似值x的精度或真值x所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度．如量5000ms1230.5cm1.230.005m1230000(1.2)为此，我们需要引入相对误差*****x*?x:er(x*)为近似值x*的相对误差．当定义1.2 用x?0作为量x的近似，称x*x是x的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差x*?x*er(x)? (1.3)x**2显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化．如式(1.2)中的量s的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值x的相对误差限?r(x*)，它是相对误差绝对值的较小上界．结合式(1.1)和(1.3)，x相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即r(x)***(x*)x*(1.4)为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量x的近似值x有如下标准形式*mx??10?0.a1a2?an?ap*＝?a1?10m?1a210m2an10mnap10mp*(1.5)其中{ai}ip,?,9}且a1?0，m为近似值的量级．如果使不等式 ?1?{0,1x?x?*110mn 2(1.6)成立的最大整数为n，则称近似值x具有n位有效数字，它们分别是a1、a2、… 和an．特别地，如果有n?p，即最后一位数字也是有效数字，则称x*是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限．利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数．对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数．注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．**例1.1 设量x??，其近似值x1?3.141，x2?3.142，x3?*22．试回答这三个近7似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m?1，因为有111021013 2211*314x2?x?0.0004??0.0005??10??1022*x3?3.142857142857?11*?21?3x3?x?0.001??0.005??10??1022***所以x1和x3都有3位有效数字，但不是有效数． x2具有4位有效数字，是有效数．x1?x?0.00059??0.005?*二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差．对于函数y?f(x1,x2,?,xn)有近似值y?f(x1,x2,?,xn)，利用在点***(x1,x2,?,xn)处的泰勒公式(taylor formula)，可以得到****3e(y)?y?y??其中fi:?**f(x,x,,xi*1*2i?1nn*n)(xi*?xi)(1.7)f(x,x,,xi*1*2i?1*n)e(xi*)f，xi*是xi的近似值，e(xi*)是xi*的绝对误差(i?1,2,?,n)．式(1.7)表明函?xi数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式xi*er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi*) (1.8)yi?1对于一元函数y?f(x)，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式e(y*)?f?(x*)e(x*) (1.9)*n*1*2*nx*er(y)?f?(x)*er(x*)y**(1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数y?f(x1,x2,?,xn)?x1?x2xn的绝对误差(限)、相对误差*的近似传播公式，以及xi?0i?1时的相对误差限传播公式．n解由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e(y)?**f(x,x,,xi*1*2i?1n*n)e(x)＝?e(xi*)*ii?1n(1.11) (1.12)nxi*xi**er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi)＝?*er(xi*)yi?1i?1yn*1*2*n进而有e(y)?*e(x)e(x)(x)*i*i*ii?1i?1i?1nnn于是有和的绝对误差限近似传播公式 ?(y)?*当xi?0*(xi?1n*i)i?1时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式 nr(y)*(xi?1n*i)y*i?1*innnxi*xi***r(xi)maxr(xi)**1inyi1yxi*maxr(x)*maxr(xi*)1?i?n1?i?ni?1y4.3例1.3 使用足够长且最小刻度为1mm的尺子，量得某桌面长的近似值a?1304mm，宽的近似值b?704.8mm (数据的最后一位均为估计值)．试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 ?(a*)?0.5mm，?(b*)?0.5mm***面积s?ab，由式(1.7)得到近似值s?ab的绝对误差近似为**e(s*)?b*e(a*)?a*e(b*) 进而有绝对误差限*****(s)b(a)a(b)704.80.51304.30.51004.55 mm2相对误差限 ?r(s)?*(s*)s*1004.550.00110.11%1304.3?704.81.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例1.1 表达式111??，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的xx?1x(x?1)x，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：matlab软件采用ieee规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位．机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52－－111?和算法2： y2(x)?的误差时，精确解用双精xx?1x(x?1)度的计算结果代替．我们选取点集{?i}30i?1中的点作为x，比较两种方法误差的差异．从图1.1可以看出，当x不是很大时，两种算法的精度相当，但当x很大时算法2的精度明显高于算法1．这是因为，当x很大时，11和是相近数，用算法1进行计算时出xx?1现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大．这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出．鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x接近?1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为i1i1．从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10?7，因而二者的精度相当．305【篇二：数值分析原理课件第二章】xt>在科学计算中常需要求解非线性方程f(x)?0(2.1)即求函数f(x)的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列{xk}k?0，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．2.1 二分法一、实根的隔离定义2.1 设非线性方程(2.1)中的f(x)是连续函数．如果有x*使f(x*)?0，则称x*为方程(2.1)的根，或称为函数f(x)的零点；如果有f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x)在x*邻域内连续，g(x*)?0，m为正整数，则称x*为方程(2.1)的m重根．当m?1时，称x*为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数f(x)，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数f(x)连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[a,b]是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长h?(b?a)/n，xk?a?kh，(k?0,1,?,n)．由左向右逐个计算f(xk)，如果有f(xk)f(xk?1)?0，则区间[xk,xk?1]就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程f(x)?x3?3x2?4x?3?0的一个有根区间．解由f?(x)?3x2?6x?4?3(x?1)2?1?0知f(x)为(??,?)上的单调递增函数，进而f(x)在(??,?)内最多只有一个实根．经计算知f(0)?0，f(2)?0，所以f(x)?0在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长h?0.5，在点x?0.5，x?1，x?1.5计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根．11二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)?0，且方程(2.1)在区间(a,b)内有惟一实根x*．记a1?a，b1?b，中点x1?(a1?b1)/2将区间[a1,b1]分为两个小区间[a1,x1]和[x1,b1]，计算函数值f(x1)，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果f(x1)?0，则x1是所要求的根；(2) 如果f(a1)f(x1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[a1,x1]； (3) 如果f(x1)f(b1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[x1,b1]．新有根区间[a2,b2]的长度为原有根区间[a1,b1]长度的一半．对有根区间[a2,b2]施以同样的过程，即用中点x2?(a2?b2)/2将区间[a2,b2]再分为两半，选取新的有根区间，并记为 [a3,b3]，其长度为[a2,b2]的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2][ak,bk]??其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[ak,bk]的长度为1bk?ak?k?1(b?a)2*由x?[ak,bk]和xk?(ak?bk)/2，得11xk?x*?(bk?ak)?k(b?a)22*当k??时，显然，有xk?x．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设f(x)在隔根区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则由二分法产生的序列*??{xk}k?0收敛于方程(2.1)在[a,b]上的根x，并且有误差估计1(b?a)(k?1,2,?) (2.2) 2k1设预先给定根x*的绝对误差限为?，要求xk?x*??，只要k(b?a)??成立，这样求2xk?x*?12得对分次数ln(b?a)?ln?． (2.3)ln2取k为大于(ln(b?a)?ln?)/ln2的最小整数．此时xk是方程(2.1)的满足精度要求的根近似k?值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断f(xk)?0几乎不可能满足，取而代之为判断条件f(xk)??0，其中?0为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1(二分法)输入端点a,b、根的绝对误差限?、根近似值的函数值允许误差限?0；输出近似解c或失败信息；step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k； step 2 对n?1,?,k循环执行step 3～5； step 3 c?(a?b)/2，计算f(c)；step 4 若f(c)??0，则输出c，end； step 5 若f(c)f(b)?0，则a?c，否则b?c．例2.2 用二分法求f(x)?x3?4x2?10?0在[1,2]上的根x*的近似值，要求1xk?x*??10?3．2解由于在区间[1,2]上，f(1)??5，f(2)?14，f?(x)?3x2?8x?x(3x?8)?0，故f(x)?0在[1,2]上有惟一实根x*．确定循环次数为k?11，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数f(x)的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同．当函数f?(x)连续时，方程(2.1)的实重根可转换为f(x)0的实单根． f?(x)一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．132.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法．一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[a,b]上，将方程(2.1)等价变形为x??(x) (2.4)在[a,b]上选取x0作为初始近似值，用如下迭代公式xk?1??(xk) (k?0,1,2,?) (2.5)*??*建立序列{xk}k?0．如果有limxk?x，并且迭代函数?(x)在x的邻域内连续，对式(2.5)两边k??取极限，得x*??(x*)因而x*是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称?(x)为迭代函数，所得序列{xk}k?0为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程f(x)?x3?x?1?0的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1)xk?1 31(2) xk?1?xk(3) xk?1?3xk?xk?1(4) xk?1?2取初值x0?1.5，迭代计算，结果见表2.2．例2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数?(x)满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列{xk}k?0的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?14定理2.2 若函数?(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数，且满足条件①对任意x?[a,b]，有?(x)?[a,b]；②存在常数l：0?l?1，使得对任意x?[a,b]有?(x)?l成立．则(1) 方程x??(x)在[a,b]上有惟一实根x*(2) 对任意x0?[a,b]，迭代公式(2.5)收敛，且limxk?x*k??(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式xk?x*?lxk?xk?1(2.6) 1?llk*xk?x?x1?x0 (2.7)1?lxk?1?x*(x*) (2.8) (4) limk??x?x*k证明 (1)构造函数g(x)?x??(x)，由条件①知g(a)?a??(a)?0，g(b)?b??(b)?0，因此g(x)?0在[a,b]上至少存在一个实根，又由条件②知当x?[a,b]时，g?(x)?1(x)?1?l?0，所以g(x)?0在[a,b]内存在惟一实根，即x??(x)在[a,b]内存在惟一实根，记为x*．(2) 由x0?[a,b]及条件①知，xk?[a,b](k?1,2,?)，并且有xk?1??(xk)，x*??(x*)，二者作差，并由微分中值定理得2(2.9) ,xk?1?x*??(xk)??(x*)(?k)(xk?x*) (k?1,?其中，?k介于xk与x*之间．结合条件②，得2(2.10) ,xk?1?x*?lxk?x* (k?1,?反复递推，有0?xk?1?x*?lxk?x*?l2xk?1?x*lk?1x0?x*， (k?1,2,?)因0?l?1，故limxk?x*．k??(3) 由式(2.10)得xk?x*?xk?xk?1?xk?1?x*?xk?xk?1?xk?1?x*xk1xklxkx*从而xk?x*?1xk?1?xk (2.11) 1?l又由于xk?1?xk??(xk)??(xk?1)(?k)(xk?xk?1)lxkxk1 (k1,2,) (2.12)其中?k介于xk和xk?1之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计 lxk?x*?xk?xk?11?l由式(2.12)反复递推，得15【篇三：数值分析原理第八章】得到特征值?，然后通过求得齐次线性方程组(a??i)x?0的非零向量x而得到矩阵a的相应于特征值?的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(jacobi方法等)两类．8.1 乘幂法与反幂法一、乘幂法乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法．设a?rn?n，初始向量v(0)?rn(v(0)?0)，令v(k)?av(k?1)(8.1)生成迭代向量序列v(k)．由递推公式(8.1)，知(k)v(k)?a(av(k?2))?a2v(k?2)akv(0)(0)(8.2)这表明v等于用矩阵a的k次幂左乘v，故称此方法为乘幂法．下面分析当k→∞时，向量序列v(k)的变化规律．设?1，?2，…，?n为矩阵a?rn?n的n个特征值，且满足(8.3)n12n相应于特征值?1，?2，…，?n的n个线性无关的特征向量x1,x2,?,xn构成向量空间?上的一组基．任取非零的初始向量v(0)rn，则v(0)可由这组特征向量线性表出v(0)c1x1c2x2cnxncjxjj?1n(8.4)其中c1,c2,?,cn为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得148v(k)akkcx?c(a?jj?jxj) j?1j?1nn(8.5)由akxj??kjxj和式(8.5)，得v(k)cj?kjxjj?1n(8.6)当?1?0时，由式(8.3)知，特征值?1??2n?0．下面针对?1?0进行讨论．由式(8.6)有v(k)knjk1?c1x1cj?xj?j21n?j??jxj?0，?(8.7)k此时有(k)kv(k)??1c1x1(k)上式表明，v与x1只近似相差一个常数因子，故可取v作为矩阵a的相应于主特征值?1的近似特征向量．当k充分大时，若vi(k)?0，则有 k?1vi(k?1)?1(c1x1)i1 (k)kvi?1(c1x1)i(8.8)这表明主特征值?1可由式(8.8)近似求得．如果矩阵a的特征值满足12l,1l1n则根据式(8.6)有v(k)lk1cjxj?j?1kjcjxj?jl11n(8.9)则当k充分大时，由于j1(jl1,,n)，故有 ?1149v(k)k1cxjj?1ljl(8.10)由于x1,x2,?,xl都是矩阵a的特征值?1对应的特征向量，故特征值?1对应的特征向量．由式(8.10)知，k较大时，v(k)cxjj?1j0也是矩阵a的就是与主特征值?1的对应的近似特征向量．类似于式(8.8)，可求得主特征值的近似．由于此时?1的特征向量子空间不是一维的，故由式(8.10)得到的近似特征向量只是该子空间的一个特征向量，对于不同的初始向量v能得到?1的特征向量空间中线性无关的近似特征向量．对于矩阵a的其它主特征值情形，如?12，?1?2等，同样可以用乘幂法求解，具体过程可参阅文献[6]．以上讨论说明了乘幂法的基本原理．通过上述对乘幂法过程的分析可知，乘幂法是一种迭代法，公式计算简单，便于上机实践，可以方便地用于近似求矩阵按模最大的一个(或几个)特征值及相应的特征向量．需要注意的是： (1) 从理论上讲，对于任意给定的初始向量v(0)(0)可，有可能使式(8.4)中的c1?0，但因舍(0)入误差的存在，随着迭代过程的进行，等效于从c1?0的v(2) 在用乘幂法(8.1)进行迭代计算时，迭代向量v(k)出发进行迭代．的分量的绝对值可能会出现非常大(当?1?1)或者非常小(当?1?1)的现象，甚至出现溢出．为此，实用中每进行m步就需要对迭代向量v(k)~(k)进行一次规范化，即用v?(k)v(k)(k)(k)(其中maxv表示向量v的按模最(k)maxv大的分量)代替v继续迭代．由于特征向量允许相差一个常数因子，故按前面乘幂法的理论依然得到正确的近似特征向量．在每次规范化后，用乘幂计算前后两个向量的分量的比值作为主特征值的近似，这种规范化并不影响主特征值的近似计算。

第一章 绪论学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

214159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

数值分析第8章 数值积分与数值微分8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f (x )dx ba ≈∑A j n j =0f (x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。

[注：第1空，见定理8.1]（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。

[注：分别见定理8.1,8.3] （3）求积公式∫f (x )dx h0≈h2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)−f ′(h )]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。

解：令f(x)=1,x,x 2带入有， {h 2[1+1]+ah 2[0−0]=hh2[0+h ]+ah 2[1−1]=12(h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0−2h ]=13(h 3)//注：x 的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。

∴积分公式为：∫f (x )dxh0≈h2[f (0)+f (h )]+h 212[f ′(0)−f ′(h )]令f(x)= x 3带入求积公式有：h2[0+h 3]+h 212[0−3h 2]=14(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值14(h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。

令f(x)= x 4带入求积公式有，h2[0+h 4]+h 212[0−4h 3]=16(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值15(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。

8.2 确定以下求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。

解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。