复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注 第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注 第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注 第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注 第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。
