2016《高等代数(一)》期中考试试题

张家口一中西校区、万全中学2016年第一学期期中考试高一数学试题（288—293班）命题人：王仲彪一、选择题：本大题共12题，每题4分，共48分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则Q C P U ( ) A.{}1,2 B.{}3,4,5 C.{}1,2,6,7 D.{}1,2,3,4,52．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( )A. 211x y x -=-与1y x =+B. y x =与log x a y a =()0,1a a >≠C. 1y 与1y x =-D. lg y x =与21lg 2y x =3.若集合{{|,|A x y B y y ==== 则 ( )A.A B =B.A B =∅C.A B A =D.A B A =4．设A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)5．函数(21)log x y -= ( )A. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 1,1(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 2,1(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知()()()1,13,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 ( )A.25B.23C.29D. 21-7．下列函数中，函数值域为()0,+∞的是 ( )A.()2(1),0,y x x =+∈+∞B.()12log ,1,y x x =∈+∞C.12x y -=D.y =8．函数()x f x e =（e 为自然对数的底数）对任意实数x 、y ，都有 ( ) A. ()()()f x y f x f y += B.()()()f x y f x f y +=+ C. ()()()f xy f x f y = D. ()()()f xy f x f y =+9.下列函数中，奇函数的个数是 ( ) ①1()ln1x f x x -=+，②1()()2xxg x e e -=+，③())h x x =， ④11()212xm x =+- A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个10. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0,x >时 ()lg(1),f x x =+ 则0x <时()f x =( )A.lg(1)x -B.lg(1)x -+C.lg(1)x --D.以上都不对11. 函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是 ( )A. 1个B.2个C. 3个D. 4个12.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是 ( ) A.a 11 B ．a 12C.12a －1 D ．11a －1 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上．13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．14. 已知log (2)a y ax =-在(0,1)上为x 的减函数, 则a 的取值范围为15.求值，22log 3321272log 8-⨯+=16. 函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m = 三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知集合{}73≤≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x x C <=,全集为实数集R.（1）求()B A C R ；（2）如果φ≠C A ，求a 的取值范围。

高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。

3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。

另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。

2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。

于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。

故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。

高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。

1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。

10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。

二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。

五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。

参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。

1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。