高斯函数问题赏析

以”高斯函数”为背景的问题中蕴含的数学思想分析作者：家辉培优数学老师——陈怡[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[2.4]2,[ 1.3]2=-=-,把函数[]y x =称为高斯函数,又称为取整函数. 在高中数学的各知识点中,频繁出现以高斯函数为背景的问题,高斯函数也是高考和竞赛的热门素材,它形式新颖，解答巧妙，能考察学生的数学素养和潜能.本篇文章通过列举一些高斯函数与高中数学各个知识点相结合的问题,在分析并解决这些问题过程中，最后总结背后蕴含数学思想. 一、不等式思想与高斯函数取整符号[]x 本身就蕴含不等式[][]11x x x x -<≤<+，因此在处理一些高斯函数方程问题的时候，可以构造出不等式，通过解不等式的解集确定方程可能的范围.然后逐一带入验证得到方程的解.例1、设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则集合2{|930[]200}x R x x ∈-+=中所有元素的和为 .解析：由2930[]200()x x -+=*，得230[]9200x x =+>，则[]1,x ≥ 从而 1.x ≥因为[],x x ≤ 所以22[].x x ≤ 所以，29[]30[]200,x x -+≤ 即2(3[]5) 5.x -≤所以[]1[]2x x ==或.若[]1x =，代入得13x =；若[]2,x =带入得23x =.例2、若a 为正数，[]a 表示不超过a 的整数部分，{}[],a a a =-如果[]{}a a a 、、顺次组成等比数列，则a = .解析：由题意得，2[]{}a a a =⋅即2[]([])a a a a =-整理得：22[][]()a a a a =+*，因为[]1a a >-，得到22(1)(1)a a a a >-+- 即2310,a a -+<解得3(0,2a ∈.所以，[]1 2.a =或 当[]1,a =代入()*得：a =符合要求；当[]2a =，代入()*得1a =+不符合题意.因此，a =点评：解带有高斯函数的方程，一般先要确定[]x 的范围，然后再一一代入原方程求解.如何求解[]x 的范围，例题1给出两种不同的方法.首先是230[]9200x x =+>，通过这个不等式可以得到[]x 的范围;再有[],x x ≤然后得到29[]30[]200,x x -+≤这是一种基于[]x 本身的范围，通过放缩得到的一个不等式.例题2通过[]1a a >-先确定了a 范围，再得到[]a 的范围.总结方法，通过问题外部的不等式结构和本身的不等式得到关于x 或者[]x 的范围,得到[]x 的范围，再代入计算.这里主要体现了体现了不等式的思想. 2 、分组思想与高斯函数要计算1011[]3k k =∑的值，需要分3,31,32n k n k n k ==+=+讨论，当n 取这三个值[]3nk =,因此把n 取这三个数分为一组进行分组计算33033132[][][]333k k k k =++++∑=3331683k k ==∑.有些分组问题需要一定的技巧，比如当,,x y Z x y Z +∈∉,[][][] 1.x y x y +=+-这个性质在计算取整问题中(例4)显得特别有用.例3、符号[]x 表示不超过x 的最大整数，n 是正整数，则20141([][][])236n n n n=++=∑ . 解析：设()[][][]236n n n f n =++，任意k N ∈，666(6)[][][]6,236k k kf k k =++=616161(61)[][][]6,236k k k f k k ++++=++=同理可得：(62)61,f k k +=+(63)62,f k k +=+(64)63,f k k +=+(65)63,f k k +=+所以，20141([][][])236n n n n=++=∑2014([][][])236n n n n=++=∑335((6)(61)(62)k f k f k f k =++++∑(63)(64)(65))(2015)f k f k f k f ++++++-=335(369)(63355)k k f =+-⨯+∑=2027091点评：这里对n 以6的余数分了6类，这样的分类能使得[],[],[]236nn n 都能求出来，这里的6是2,3,6的最小公倍数.在计算的过程中，注意到0k =时(0)0f =，再以六为循环进行计算.这里体现了分类讨论以及分组求和的思想.例4、设89nn a =，则1232014[][][][]S a a a a =++++=.（符号[]x 表示不超过x的最大正整数）解析: 对任意的212k k a a -、均不是整数，且2122121288899k kk k k a a ---+=+=. 所以对任意的正整数,k 21212[][]81k k k a a --+=-.所以100710071007100721212118(164)8(641)[][]8116463k k k k k S a a --==--=+=-==-∑∑-1007.点评：本题的突破点在于以下事实：Z x y +∈，且,x y Z ∉，则[]1x y x y +=+-.发现了这个性质之后，用分组求和的方法即可.接下来，我们解决一个稍复杂的变式问题：求2320162222[][][][]7777S =++++.解析：假设27k k a =，对任意的k a 不是整数，且满足32323132k k k k a a a ---++=.所以 323232313[][][]2122.k k k k k a a a ----++=--或 又因为322277k kk +-= ，所以322{}{}77k k+=，因此3{}{}k k a a += ，得32313123{}{}{}{}{}{}k k k a a a a a a --++=++=1， 所以3232313[][][]21k k k k a a a ---++=- ，所以672672672323231311282[][][](21)6727k k k k k k S a a a ---==⋅-=++=-=-∑∑.3、对应思想与高斯函数在解析几何中，方程对应了坐标平面内的一条曲线.取整符号[]1x =对应了数轴上的点[0,1)，高斯函数与解析几何相结合的问题中，往往体现了这种对应思想.例5、[]x 表示不超过x 的最大整数，则在平面直接坐标系xOy 中，满足[][]2013x y ⋅=的所有点(,)x y 组成的图形面积为 .解析：满足[],[]x a y b ==对应的(,)x y 所组成的图形就是不等式 1.1a x a b y b ≤<+≤<+ 围成的区域，其面积是1.因为2013367112013111833361==⨯=⨯=⨯=⨯，所以满足[][]2013x y ⋅=的点(,)x y 组成的图形面积为4416⨯=.点评：本题整数对([],[])x y 要联系到直角坐标系中的对应的区域，2013要想到所有的因式分解可能性.同样的思路请读者完成以下问题：设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则在平面上，由满足22[][]50x y +=的点所形成的图形面积是 .4、换元思想与高斯函数换元法是高中数学的重要思想，通过换元，把问题转化，使问题简化，怎样换元，如何换元,为什么这样换元，是一个非常值得探讨的问题.例6、对正整数,n 设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实根，记[(1)]n n a n x =+（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）.则23420111()1005a a a a ++++= .解析：设(1)t n x =+，则原方程转化为3320()(1)1n t t n n n +-=*++，设方程()*的解为n t ，容易验证(1)n n t n x =+，因此[][]n n a t =.设函数332()(1)1n f t t t n n n =+-++，则()f n =23(1)(1)n n n n -+++，(1)2f n +=.当2n ≥时，()0,(1)0f n f n <+>，所以(,1)n t n n ∈+，所以[](2)n a n n =≥. 所以23420111()1005a a a a ++++=12010(22011)10052⨯+=2013. 点评：本例利用换元思想，把原来要求整的表达式看成一个变量，这样只需要求换元后方程的解.利用零点定理寻找函数的解，只需要寻找两个正整数,1n n +，两个端点函数值异号，就得到该变量的取整后的值.本题很好地把换元思想，零点定理和高斯函数融合地结合. 例7、若[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于x 的函数()|[]|f x x x a =-+存在最大值(),M a 则正实数a 的取值范围是 .解析：设,x a N α+=+，其中N 为整数，[0,1)α∈. 则 ()||||f x N a N a αα=+--=-，[0,1)α∈，则原问题只需求()||,[0,1)g a ααα=-∈能取到最大值时整数a 的取值范围. 通过作出函数图象，容易得到，当12a <，函数()g α 的最大值为(1)g ，但1取不到，因此不存在最大值；当1,2a ≥函数()g α最小值为(0),g 且0在定义域内.所以1.2a ≥点评：本题对取整表达式的进行换元，并不是常见的换元方法，而是结合了取整函数的特点的换元x a +换成一个整数加小数部分N α+，把得到了非常简单的表达式，使得原来表达式里既有取整符号又有绝对值符号的复杂的函数转化为一个常见的函数问题.本题体现了换元思想和取整符号合理结合. 5、单调思想与高斯函数,x y > 则[][]x y ≥.特别地，1,x y -≥ 则[][];x y >10x y >->，则[][]x y =或[][]1x y =+.这个性质表明取整函数是一个非减函数；还可以通过两个数的差的大小，估算两个数取整之后的差异.例8、设[]x 表示不超过x 的最大整数，2009[],k 1,2,,100k a k==，则这100个整数中不同的整数的个数为 .解析：以下事实：1,x y -≥ 则[][];x y > 若01x y <-<，则[][]x y =或[][]1x y =+.2009200920091(1)k k k k -=++,当[1,44]k ∈，20091;(1)k k >+ 当[45,99]k ∈，20091.(1)k k <+ 所以，12444544a a a a >>>>=;[45,100]k ∈,1k k a a +=或11k k a a +=-，且10020a =，由此得：4546100,,,a a a 中一共有44-20+1=25个数；1244,,,a a a 各不相同且4445a a >，所以一共有25+44=69个不同的整数.点评：本题通过比较相邻两个数的差的大小来判断取整之后的大小.从45项起，前后两项满足1k k a a +=或11k k a a +=-，且451004,20,a a == 得到45项到100项的不同个数为25个，显示了本题的精髓和巧妙之处，不禁让人醍醐灌顶！ 6、进制思想与高斯函数 例9、对正整数x ，记23[][][][],2222kx x x x m =++++其中k 为满足2kx ≥的最小整数，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，x 与m 的差，即x m -称为正整数x 的“亏损数”.（如，100x =时，234567100100100100100100100[][][][][][][]972222222m =++++++=，3,x m -=因此，数100的“亏损数”为3.）则亏损数为9的最小正整数x 为 .解析：设正整数x 的2进制表示为1122102110[]222n n n n n n n x a a a a a a a a a a ----==⋅+⋅++⋅+， 0,01n k a a ≠=（或）则120112222n n n n a xa a a ---=⋅+⋅+++，得，1111112[]22[]2n n n n n n xa a a a a a ----=⋅+⋅+⋯+=则012210212212[][0]n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----=-=1122[]n n x a a a --⋅⋅=2[]2xx -同理得到：12[]2[]2[][]2[]2222x x x x a =-=-，2231[]2[],[]2[]2222n n n x x x xa a +=-=-,所以012212[][][]2[][][][]2222222n n n n x x x x x x xa a a a x x +++++=-----=----因为122n n x +≤<，则k 取n 或1n +，当,k n =23[][][][]2222n x x x xm =++++，当1,k n =+ 231[][][][][]22222n n x x x x x m +=+++++=23[][][][]2222n x x x x++++，因此012n a a a a x m ++++=-，因此若x 亏损数是9，则代表x 的二进制表达式中的非零个数为9.因此，x 的最小值为872[111111111]2221511.=++++=点评：本题解题独特，构思巧妙，体现了进制与取整的内在联系.在不同的知识点之间可以相互联系，互相渗透，这也许是数学的奇妙之处吧！。

赏析与高斯函数有关的中考新定义问题1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用[x ]或int (x )[2]表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。

在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。

笔者前些年在高三复习时发现高斯函数问题[1]在高考中频繁出现，同样的，高斯函数也已渗透到中考，多以阅读理解的新定义问题的形式出现在压轴题的位置。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终[8]。

陶行知指出：“创造力最能发挥的条件是民主。

”民主、平等、宽松、和谐、愉悦的教学气氛，能够使学生产生自觉参与的欲望，无顾忌地充分表达自己的创意和“心理安全”，为其创造性活动的开展提供必要的条件。

高斯函数[x ]有关的求值问题及方程问题，这类问题新颖有趣味性，备受命题者关注。

同时这类问题对初中生有较大难度。

下面本文从一些各地中考考题和一些数学竞赛题为例去体会高斯函数。

2 高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+。

3 高斯函数有关问题的解决一．以高斯函数的定义为背景考察例1 （2016乐山16）高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数． 例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x ]+[﹣x ]=0；③若[x +1]=3，则x 的取值范围是2≤x ＜3； ④当﹣1≤x ＜1时，[x +1]+[﹣x +1]的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．分析：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x +1]=3，则x 的取值范围是2≤ x ＜3，正确；④当﹣1≤ x ＜1时，0≤ x +1＜2，0＜﹣x +1≤2，∴[x +1]=0或1，[﹣x +1]=0或1或2，当[x +1]=1时，[﹣x +1]=2；当[﹣x +1]=1时，[﹣x +1]=1或0；所以[x +1]+[﹣x +1]的值为1、2，故错误．故答案为：①③．点评：根据“定义[x ]为不超过x 的最大整数”进行计算．【变式1】（2017崇仁）规定：用符号[x ]表示一个不大于实数x 的最大整数，例如：[3.69]=3，[3+1]=2，[﹣2.56]=﹣3，[﹣3]=﹣2．按这个规定，[﹣13﹣1]= ．分析：∵4133<<，∴3-13-4-<<，∴[]5-1-13-=．故答案为：﹣5．【变式2】（2015，永州）定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x ，下列式子中错误的是（ ）A ．[x ]=x （x 为整数）B ．0≤x ﹣[x ]＜1C ．[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．[n +x ]=n +[x ]（n 为整数） 分析：A 、∵[x ]为不超过x 的最大整数，∴当x 是整数时，[x ]=x ，成立；B 、∵[x ]为不超过x 的最大整数，∴0≤x ﹣[x ]＜1，成立；C 、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x +y ]≤[x ]+[y ]不成立，D 、[n +x ]=n +[x ]（n 为整数），成立；故选：C ．美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学教学就是数学语言的教学”，可见数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言---描述科学的语言。

最近有感于部分网友对高斯模糊滤镜的研究，现总结如下。

高斯模糊是数字图像模板处理法的一种。

其模板是根据二维正态分布（高斯分布）函数计算出来的。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到，C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

一维正态分布的函数定义：在这个函数中，第一个参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ,σ2)。

遵从正态分布的随机变量其概率规律为：取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ=0，σ2=1时，称为标准正态分布，记为N(0,1)。

两个参数的意义：μ－期望，σ2－方差。

下面我们解决第一个疑问：高斯模糊滤镜中的半径是什么？答案是高斯半径就是公式中的σ。

高斯曲线的图形和半径的含义如下图（来自Adobe SDK中技术支持专家的文档）所示：由此可见高斯半径（σ）对曲线形状的影响：σ越小，曲线越高越尖，σ越大，曲线越低越平缓。

对二维图像来说，是一个钟形曲面，高斯半径越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半径越大，曲面越低越平缓。

因此高斯半径越小，则模糊越小，高斯半径越大，则模糊程度越大。

我们将看到PS对高斯半径的范围定义是[0.1~250]。

当半径为0.1时，高斯模板在计算后只有中间像素为1，其他像素均为0（实际上只是趋近0），即图像不会有变化。

第二个疑问，高斯模板大小和高斯半径的关系？这是一个一直困扰我们的误解。

因为我们的思维进入了物理实现的误区。

在物理实现中，高斯模板有界，从而使我们忽略了这个问题的真正答案：高斯模板在逻辑上是无边界的。

也就是说高斯模板本质上是逻辑上无穷拓展曲面的一个近似。

gis高斯函数GIS高斯函数GIS（地理信息系统）是一种用于收集、存储、管理、分析和展示地理数据的技术系统。

在GIS中，高斯函数是一种常用的空间分析方法，用于模拟地理现象的分布和插值。

本文将介绍GIS高斯函数的原理、应用和局限性。

一、高斯函数的原理高斯函数，又称为正态分布函数，是一种连续的数学函数，其曲线呈钟形，左右对称。

在GIS中，高斯函数被广泛应用于空间插值、地理统计和地理加权回归等领域。

高斯函数的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))其中，f(x)表示函数的值，x为自变量，μ为均值，σ为标准差，e 为自然常数。

高斯函数的曲线在均值处达到峰值，随着离均值的距离增加，曲线逐渐减小。

二、高斯函数的应用1. 空间插值：GIS中常常需要通过已知点的属性值推算未知点的属性值。

高斯函数可以通过已知点的空间位置和属性值，对未知点进行插值计算。

通过高斯函数的插值结果，可以获得更加平滑和连续的空间分布。

2. 地理统计：高斯函数可以用于描述地理现象的分布特征。

例如，通过统计人口分布数据，可以使用高斯函数拟合出一个人口密度曲线，进而分析人口分布的集聚和离散情况。

3. 地理加权回归：在地理分析中，常常需要考虑空间自相关性。

高斯函数可以作为一种权重函数，用于对空间邻近性进行加权处理。

在地理回归分析中，使用高斯函数进行加权回归可以更准确地估计空间数据之间的关系。

三、高斯函数的局限性尽管高斯函数在GIS中有着广泛的应用，但也存在一些局限性。

首先，高斯函数的计算复杂度较高，特别是对于大规模数据集。

其次，高斯函数在边缘部分的衰减较慢，可能会导致插值结果过于平滑，忽略了局部的空间变化。

此外，高斯函数对异常值较为敏感，可能会导致插值结果受到极端值的影响。

四、总结GIS高斯函数是一种重要的空间分析工具，可以用于空间插值、地理统计和地理加权回归等应用中。

通过高斯函数的计算，可以获得更加平滑和连续的空间分布，并且考虑了空间自相关性。

浅析简单的高斯方程的解法广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰一、知识概念介绍1、高斯函数的表示； [x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。

2、高斯函数的基本性质；性质1： [x]≤x＜[x]+1 x-1＜[x] ≤x 0≤{x}<1性质2: [n+x]=n+[x],x为实数, n为整数性质3:{x+n}={x}, n为整数性质4:X= [x] + ｛χ｝3、简单的高斯方程；是指含有[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分的简单方程。

求解简单的含高斯函数方程就是利用以上的性质进行转化来求解方程的未知数的值。

二、例题学习例1、解方程:[x]-4{x}=3,其中:[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。

解：把[x]-4{x}=3整理变形得：[x]= 4{x}+3因为0≤{x}<1，所以3≤4{x}+3＜7即3≤ [x] ＜7 [x] =3, 4, 5, 6。

(1)、当[x] =3时, 代入原方程得:3- 4{x}=3, 解得： {x}=0；所以x= [x] + {x}=3+0=3(2)、当[x] =4时, 代入原方程:4- 4{x}=3, 解得： {x}=；所以x= [x] + {x}=4+=(3)、当[x] =5,代入原方程: 5- 4{x}=3, 解得： {x}=； 所以x= [x] + {x}=5+=5. 5(4)、当[x] =6时,代入原方程得: 6- 4{x}=3, 解得：{x}=； 所以x= [x] + {x}=6+=综上所述， 方程[x]-4{x}=3 的解有四个， 分别为：x=3, , 5. 5, 。

例2、符号[X]表示不超过X 的最大整数.{X}表示X 的正的小数部分,求方程2[X]+5{X}+3=0的解 。

解： 由2[X]+5{X}+3=0得：{X}=(-3-2 [X]) ÷5因为0≤{x}<1 所以0≤ (-3-2 [X]) ÷5 ＜1解以上关于[X]的不等式得：≥ [X] ＞-4故[X]=-2, -3。

活跃在高考试卷中的高斯函数近年来，为创设新颖的问题情境，考查学生知识迁移能力，体现“以能力立意”，很多命题者把目光投向了高斯函数，并且由简单的直接利用定义到复杂的运用性质，难度越来越大.本文研究高斯函数的一些常用的性质，及其在高考试题中的简单运用.一、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.显然，任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x r r =+≤<. 二、常用性质：1、[]y x =的定义域是R ，值域是Z ，图像如图.2、对任意x R ∈，[][]11x x x x -<≤<+.证明：设[]()01x x r r =+≤<，于是[]01r x x ≤=-<, 所以[][]11x x x x -<≤<+. 3、若,n Z x R ∈∈，则[][]n x n x +=+.证明：设[]()1101x n x n r r +=++≤<，则[]1x x n n r =+-+, [][]1[][]x x n n r x n n =+-+=+-. 所以[][]n x n x +=+.4、若x R ∈，则[][][]1,,x x Z x x x Z ⎧--∉⎪-=⎨-∈⎪⎩证明：设[]()01x x r r =+≤<，则[]x x r -=--，[][]x x r ⎡⎤-=--⎣⎦ 若0r =，则[][][]x x x ⎡⎤-=-=-⎣⎦；若01r <<，则011r <-<，所以[][]1(1)x x r ⎡⎤-=--+-⎣⎦[][]11x x ⎡⎤=--=--⎣⎦.综上可得[][][]1,,x x Zx x x Z ⎧--∉⎪-=⎨-∈⎪⎩5、对任意,x y R ∈，[][][]x y x y +≥+.证明：设[]1x x r =+，[]2y y r =+，120,1r r ≤<，则[][]12x y x y r r +=+++，1202r r ≤+<. 若1201r r ≤+<，则[][][]x y x y +=+；若1212r r ≤+<，则12011r r ≤+-<, [][]121(1)x y x y r r +=++++-， 所以[][][]1x y x y +=++. 综上可得[][][]x y x y +≥+. 6、对任意,x y R ∈，[][][]x y x y -≤-.证明：由性质5知，[][][][]x y y x y y x -+≤-+=，所以[][][]x y x y -≤-. 7、对任意,x y R ∈，若x y ≤，则[][]x y ≤.证明：（反证法）若[][]x y >，则[][]0x y ->，所以整数[][]1x y -≥，即[][]1x y ≥+. 于是由性质2，[][]1x x y y ≥≥+>，这与已知x y ≤矛盾， 故[][]x y ≤. 8、对任意0,0x y ≥≥，[][][]xy x y ≥.证明：设0,0x y ≥≥且[]1x x r =+，[]2y y r =+, 120,1r r ≤<， 则[][][][]2112xy x y x r y r rr =+++. 因为0,0x y >>，120,1rr ≤<， 所以[][]21120x r y r rr ++≥，于是[][]xy x y ≥. 由性质7可知[][][][][]xy x y x y ⎡⎤≥=⎣⎦.特别地，对任意0,x n N +>∈都有[][]nx n x ≥.9、若1,0x y ≥≥， 则[][]y y x x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.证明：设1,0x y ≥≥，由性质8知[][]y y y x x x x ⎡⎤⎡⎤=⋅≥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又因为[]1x ≥，所以[][]y y x x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦ 10、若,0n N x +∈≥，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.证明：由性质2知[][]1x x x ≤<+. 又n N +∈，所以[][](1)n x nx n x ≤<+. 再由性质8知[][]n x nx ≤，由性质2知[]nx nx ≤，于是[][][](1)n x nx nx n x ≤≤<+,[][][]1nx x x n≤<+，所以[][]nx x n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x 用x n 代换，即得[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、应用举例例1、2013年湖北文科8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数 分析：由[]()01x x r r =+≤<知，[]()[0,1)f x r x x ==-∈，图像如图，可见，函数()[]f x x x =-是周期函数，选 D ．注：由图像可知，函数()[]f x x x =-是有界的、非奇非偶的、以1为周期的非单调函数，在每个区间[,1)n n +,（n Z ∈）上都是单调增函数.例2、（2013年陕西理科10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数,x y ，有（ ）A.[][]x x -=-B.[][]22x x =C.[][][]x y x y +≤+D.[][][]x y x y -≤- 分析：由性质4、8、5知A. B. C.均不对，由性质6知D 是正确的.注：本题若根据[]x 的定义，取特殊值也可以淘汰掉A. B. C ．例3、（201２年四川理科16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数. 例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-.设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n nn ax x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥时，1n x ；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则k x =．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）分析：对于①，5a =时，根据1[][]()2n nn ax x x n N *++=∈ 知15x =，251[]32x +==，3533[]22x +==.所以①为真.对于②，注意到3a =时，13x =,22x =,31x =,42x =,51x =,62x =,71x =，，此时数列{}n x 除第一项外，从第二项起以后的各项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =.所以②为假.对于③，由条件知n x 是正整数，所以由性质3知[][]n n n n a ax x x x +=+.所以[][]22n n nna a x x x x ++=，[][][][]22n n nnaa x x x x ++=. 由性质10知[][][]22n n nna a x x x x ++=.又因为2n na x x +≥ 由性质8知[]2n n a x x +≥,从而1[][]12n nn a x x x ++=≥>（性质2），所以③为真. 对于④，因为n x 是整数，由性质3知1[][]()2n n n n n a x x x x x ++-=+-[][()]2n n n a x x x +=+-[][]2nn a x x -= [][]2n n ax x -=. 于是若1k k x x +≥，则0k ka x x -≥ ，又因为0k x >，所以2k x a ≤，k x ≤.又由③知k x ≥，所以k x ≤7知[]k x ⎡⎤=≤≤⎣⎦，从而[]k k x x ==.所以④为真. 综上可知，正确的编号为①③④注：本题难度较大，需要多次利用几个性质才能做出判断，特别是③④.例4、（2010年陕西理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( )A. 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D. 510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦分析：设)90(10≤≤+=ααm x . 当，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B 注：本题也可以采用排除法：若56x =则5y =,排除C 、D ，若57x =则6y =，排除A ，所以选B例5、（2009年湖北文科9）设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ,令{}[]x x x =-，则12⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭，⎣⎦（ ） A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列分析：因为12<<，所以1=⎣⎦.又{}[]x x x =-故=-⎪⎪⎩⎭⎣⎦11122=-=. 而12，1，12成等比数列但不成等差数列，所以选B. 注：作为文科题，本题较简单，直接利用定义即可.例6、（2008年湖南理科10）设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1)(1)(1)xn n n n x C x x x x --+=--+，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦分析：当3[,2)2x ∈时，[]1x =.8816(4,]3xC x =∈. 当[2,3)x ∈时，[]2x =，828756(1)x C x x x x⨯==-- 此时2211()[2,6)24x x x -=--∈，所以828(,28]3x C ∈. 于是81628(4,](,28]33x C ∈⋃，选D. 注：本题是对常见组合数计算公式的延拓，又结合取整函数，设计巧妙，构思新颖.由于x 未必是正整数，而根据定义在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭内［x ］的值有两个，因此需要加以讨论, 再结合xn C 的定义研究8x C 的值域.。

与高斯函数有关的恒等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯函数是一种在数学和物理领域广泛应用的特殊函数。

它由德国数学家高斯在18世纪末提出，并被广泛研究和应用于各个领域，如信号处理、图像处理、统计学以及自然科学等。

高斯函数不仅具有良好的数学性质，还具有许多重要的物理意义。

在本文中，我们将讨论高斯函数的定义及其一些基本性质，并介绍与高斯函数相关的一些重要恒等式。

这些恒等式是由高斯函数的特殊性质和运算规律导出的，对于解决实际问题和推导其他数学定理具有重要意义。

本文结构如下：第2部分将详细介绍高斯函数的定义与性质。

我们将从高斯函数的数学定义开始，并讨论它的图像、曲线特征以及一些重要的性质，如对称性、峰值和标准差等。

此外，我们还将介绍高斯函数在概率密度函数和误差函数中的应用。

第3部分将重点讨论与高斯函数相关的恒等式。

这些恒等式涉及到高斯函数的运算规律、积分性质以及与其他特殊函数的关系。

我们将详细介绍这些恒等式的推导过程，并给出一些实际应用的例子。

最后，结论部分将对本文内容进行总结，并展望未来对高斯函数及其相关恒等式的研究方向。

高斯函数作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用和深入的研究价值。

未来的研究可以着重于高斯函数在更复杂问题中的应用，以及与其他数学工具的结合，为解决实际问题提供更多的数学方法和技巧。

通过本文的阅读，读者将对高斯函数有更深入的了解，并了解到与高斯函数相关的一些重要恒等式的推导方法和应用。

希望本文能为读者提供有关高斯函数的全面信息，激发读者对高斯函数和相关数学工具的兴趣和研究热情。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分首先概述了与高斯函数有关的恒等式的重要性和应用背景。

然后介绍了本文的结构和目的，以给读者一个整体的了解。

正文部分主要包括两个小节。

第一小节（2.1 高斯函数的定义与性质）详细介绍了高斯函数的定义和一些基本性质，包括其数学表达式、图像特点以及常见的应用领域。

透彻理解高斯核函数背后的哲学思想与数学思想数据点转换到高维空间后，原始特征无关紧要。

仅仅计算测试数据与支持向量的点积，支持向量由SVM优化算法选择的特殊数据点。

在此，作一个类比如下：一个人看过湖泊，河流，溪流，浅滩等，但从未见过大海。

你怎么向这个人解释大海是什么？也许可以通过将海水中的水量与人们已经知道的水体中的水量相关联来解释。

简单与复杂的辩证：从线性模型到非线性模型简单性是一个古老朴素的哲学观念。

认识论和自然科学，对于世界的认识经历了由简单到复杂的过程。

复杂的事物与现象，背后存在简单的规律或过程；现实世界中，纯粹线性的模型是几乎不存在的，正如你在初中学习匀速运动一样，但在实际中，匀速运动的情况几乎很难找到，即使是定速，也会因外界的扰动而发生改变。

在机器学习实践中，也是如此，很多情况下需要非线性模型。

然而要构建复杂的非线性模型，往往是从简单的线性模型出发的。

线性模型很棒，因为它们易于理解且易于优化。

缺点是因为他们只能学习非常简单的决策边界。

神经网络可以学习更复杂的决策边界，但会丢失许多线性模型的漂亮凸性。

使线性模型表现为非线性的一种方法是转换输入。

例如，通过添加特征对作为附加输入。

在这样的表示上学习线性模型是凸的，但在除了非常低维空间之外的所有情况下都是计算上很难实现的。

你可能会问：不明确地扩展特征空间，是否可以在保留原始数据的同时，隐藏地处理特征扩张？令人惊讶的是，答案是肯定的，这就是核方法。

这是一个在当前空间下不可分的情况，我们的目标不是直接在当前维度寻找一个曲线来非线性划分类别，变换空间直接线性可分，这是哲学上简单性原则的应用：这个线性平面，返回到原来空间就是一个形状类似椭圆的决策边界。

这样就把问题解决了，从而找到了原空间的非线性分类边界。

这个原空间的复杂，实质上是由高维空间的简单演绎过来的。

通过核方法，可以很好的处理线性不可分问题。

简单性的哲学思想实质上就是，我们坚持寻找线性可分的转换问题，即变换数据，让它们线性可分，而变换数据的方法就是由低维到多维特征的一个特征空间变换。