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1.2.2 组合（二）学习目标1.掌握几种有限制条件的排列问题．2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．讲练互动探究点1无限制条件的排列问题例1(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？互动探究变条件若将本例(2)中的“有5本不同的书”改为“有5种不同的书”，则有多少种不同的送法？方法归纳求解有关排列的实际应用问题的步骤第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序，也即看当选出的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数．跟踪训练1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A．2 160种B．240种C．720种D．120种2．从100个两两互质的数中取出两个，其商的个数为________．探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题例23名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．方法归纳“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18 B．24C．36 D．48探究点3元素“在”与“不在”问题例3六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．反思提升“在”与“不在”问题的解决方法跟踪训练1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在两端，不同的排法共有()A．2 400种B．3 600种C．4 800种D．7 200种2．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数．当堂检测1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324B．224C．360 D．6482．已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种3．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．4．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能站中间或两端；(2)全体站成一排，男生必须排在一起．课堂小结1.解排列应用题的基本思想实际问题――→化归（建模）排列问题――→求数学模型的解求排列数――→得实际问题的解实际问题2．解有限制条件的排列问题的基本思路 限制条件 解题策略特殊元素通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素 特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置 元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中参考答案讲练互动探究点1无限制条件的排列问题例1解：(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A34＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．互动探究变条件解：由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．跟踪训练1.【答案】C【解析】有A310＝720种不同的分法．2．【答案】A2100(或9 900)【解析】从100个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A2100.探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题例2解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．跟踪训练【答案】C【解析】5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．探究点3元素“在”与“不在”问题例3解：(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A14·A55＝480种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A25·A44＝480种．法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480种．(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．(3)法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．跟踪训练1. 【答案】A【解析】可分两步：第一步，排两端，从5名志愿者中选2名全排有A25＝20(种) 排法；第二步，剩余3名志愿者与2位老人全排列有A55＝120(种)排法．根据分步乘法计数原理，共有20×120＝2 400(种)排法．2．解：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个)．法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．法三：(排除法)①从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0，2，4在个位上的排列数为3A55，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．②从局部上排除：1在个位上的排列有A55个，其中0在十万位上的排列有A44个，故1在个位上的六位奇数有(A55－A44)个，同理，3，5在个位上的六位奇数也各有(A55－A44)个，因此符合题意的六位奇数共有3(A55－A44)＝288(个)．(2)法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个)．法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个)．当堂检测1．【答案】B【解析】先排个位数，有A14种，然后排十位和百位，有A28种，故共有A14A28＝224个没有重复数字的三位偶数．2．【答案】C【解析】先排甲，有4种；剩余5人全排列有A55＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.3．【答案】86 400【解析】第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A56种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86 400种．4．解：(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A13种方法，再考虑其余6人的位置，有A66种方法．故有A13·A66＝2 160种方法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A33·A55＝720种不同的排法．。
排列组合应用题（二）学习目标：1．知识：能运用排列组合知识解决有条件限制的简单应用题；2．能力：通过对排列组合应用题的解决，提高学生分析问题与解决问题的能力；3．方法：排列组合综合题（先定元素后定序）；分配（均分分步有序，不均分分步无序）；分堆（均分分步要除序，不均分分步正当时）学法指导：排列组合综合题（先定元素后定序）；分配（均分分步有序，不均分分步无序）；分堆（均分分步要除序，不均分分步正当时）学习过程：一、复习与回顾：1．两个计数原理；2．排列与组合的区别；3．排列数与组合数的计算；二、典型例题：例1：5名男生和4名女生，从中任选5人，参加5项不同的活动（1）5人中恰有3男2女；（2）5人中恰有3男2女，但男甲和乙女不可同去；（3）5人中至多有3名男生；小结：排列组合综合问题处理方法：先再例2：6本不同的书分给甲、乙、丙三人（1）甲3本、乙2本、丙1本；（2）一人3本、一人2本、一人1本；（3）每人2本；（4）一人4本，其余两人各1本。
小结：分配问题处理方法：（1）平均分配：；（2）不均分配（无序）；不均分配（有序）例3：6本不同的书进行分堆：（1）分三堆，每堆2本；（2）分三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；（3）分四堆，两堆各2本，其余两堆各1本；（4）分三堆，一堆4本，其余两堆各1本小结：均分堆分步含序要；不均分堆；例4：（1）某公路上亮着9盏路灯，现为了节约用电，要求灭掉其中的3盏灯，但两端的灯不能灭掉，且不能灭掉相邻的两盏灯，问有多少种不同的办法？（2）8个三好生名额分给六个班级，每班至少一个名额，一共有多少种不同的分法？（3）8个三好生名额分给三个班级，每班至少两个名额，一共有多少种不同的分法？三、课堂小结：四、练习与作业：1.从1、3、5、7、9中任选3个数，从2、4、6、8中任选两个数，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？2.从5名男生和4名女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到4个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？3.6名实习医生分到三家不同的医院进行实习，（1）要求每家医院2人，有多少种分法？（2）甲医院1人，乙医院2人，丙医院3人，有多少种不同的分法？4.6张无座的足球票，分给4人，每人至少一张，有多少种不同的分法？。
排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、 两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、 排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、 组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析 将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。
A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种． 说明 本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。
绝密★启用前2019-2020学年度学校2月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（）A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种3．凸10边形内对角线最多有( )个交点A ．210AB ．210C C ．410AD ．410C 4．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A ．30 B ．36 C ．60 D ．725．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A ．240B ．480C ．720D ．9606．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A ．60B ．90C ．120D ．1307．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种8．从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0,,m n m n N <≤∈），共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111mn C C -⋅种取法．显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m mn n n C C C -++=成立．试根据上述想法，下面式子1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1,,,k m n k m n N ≤<≤∈）应等于 （ ）A ．m n k C +B ．+1m n kC + C ．+1m n k C +D ．kn m C +9．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）A ．300种B ．150种C ．120种D ．90种10．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A ．72 B ．60 C ．36 D ．3011．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（不同排课顺序共有（ ）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ）A ．234B ．363C ．350D ．34613．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A B 、、C 、D 、E ，除B 与E 、D 与E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（们单独会晤的不同方法共有（ ）A ．48种B ．36种C ．24种D ．8种14．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有( )A ．14种B ．16种C ．20种D ．30种15．一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a b c <<，c d e >>（如12430，13531等）， 则在所有的五位数中“凸”数的个数是( )A ．8568B ．2142C ．2139D ．113416．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A ．50种 B ．60种C ．120种D ．210种17．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A ．24B ．36C ．48D ．6018．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ）A ．18B ．24C ．30D ．3619．某学校高三有四个优秀的同学甲､乙､丙､丁获得了保送到重庆大学､西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会,若每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去重庆邮电大学,则不同的保送方案共有( )种A ．24B ．36C ．48D ．6420．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种21．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ） A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-1022．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A ．2764B ．916C ．81256 D ．71623．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ）A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种24．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）A ．100种B ．60种C ．42种D ．25种25．设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．13026．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72 B ．144 C ．150 D ．18027．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．60B ．90C ．120D ．15028．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）A ．90B ．15C ．36D ．2029．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足则满足①②条件的矩阵的个数为( )A ．48B ．72C ．144D ．264名同学准备拼车去旅游，其中其中()1班、()2班，()3班、年元旦假期，高三的高三的8名同学准备拼车去旅游，()4班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中()1班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种31．从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．2100 B．2200 C．2160 D．240032．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义义工A不安排照顾老人甲，义工B 工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（）A．30种B．40种C．42种D．48种33．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A．3600 B．1080 C．1440 D．252034．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．10 B．11 C．12 D．15第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明卷的文字说明参考答案1．B【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为5,4,3,2,1.要求4,1不相邻，分四类：①先排5,4时，则1只有1种排法，3,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；②先排5,3时，则4只有1种排法，1,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；③先排2,1时，则4只有1种排法，5,3在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；④先排3,1时，则这样的排法只有两种，即43512,21534综上共有142444=+++种，故选B. 考点：排列与计数原理知识的运用.2．D【解析】【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()22323234432C A A A ⋅⋅=种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()2212232223144C A C A A ⋅⋅⋅=种；从而所求的结果为432144288-=种.故选D. 【点睛】本小题主要考查涂色问题，本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、考查相邻问题、考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立考查对立事件的方法，属于中档题.3．D【解析】【分析】【分析】根据凸n 边形内对角线最多有个交点的公式求得.【详解】【详解】凸n 边形内对角线最多有4n n C - 个交点，又10441010C C -= ，故选D. 【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.4．C【解析】【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案。
排列、组合题的常见题型归类分析山东省利津县第一中学 胡彬 257400排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的归类分析解答．1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 [ ]A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列,共有2444=A 种,故选D.2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]A ．1440B ．3600C ．4820D ．4800分析 除甲、乙外,其余5个的排列数为55A 种,再用甲、乙去插6个空位有26A 种不同的排法种数是36002655=A A 种,故选B. 3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即602155=A 种, 故选B. 4．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 [ ]A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有:25201718110=C C C 种, 故选C.6．多元素问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 [ ]A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个、331314A A A 个、331313A A A 个、331312A A A 个、3313A A 个,合并总计得300个, 故选B.【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除的数的集合{}100,99,2,1⋅⋅⋅=A 共有86个元素.由此可知,从集合A 中任取两个数的取法,共有214C 种; 从集合A 中任取一个数又从集合A 中任取一个数的取法,共有186114C C 种,两种情形共得符合要求的取法有1295186114214=+C C C 种. 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此可得符合要求的取法共有225125125225C C C C ++(种).7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()25224353546=+--=⋂+--A A A A B A n B n A n I n (种)8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．分析 老师在中间三个位置上任选一个位置,有13P 种;然后4名同学在其余4个位置上有44A 种,共有724413=A A 种. 9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]A ．36B ．120C ．720D ．1440．分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排,共72066=A 种,故选C.【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析 看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种;某1个元素在后半段四个位置中任选一个,有14A 种;其余5个元素任排在剩余的5个位置上有55A 种,故共有5760552414=A A A 种排法. 10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 [ ]A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机,故不同取法共有70353439=--C C C 种,故选C.11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析 先取男、女运动员各两名,有2425C C 种;这四名运动员混双练习有22A 种排法,故共有222425A C C 种分组法.12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例15】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 [ ]A ．70个B ．64个C ．58个D ．52个分析 正方体8个顶点,从中每次取四个点,理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有581248=-C 个,故选C.。
排列组合题集 一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法） 等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理” . 、排列、组合问题大体分以下几个类型 、插空法、隔板法、类型一：排队问题 例1： 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法： （1）甲不站排头，乙不站排尾 ____________________ （2）甲、乙两人不站两端 _____ 甲、乙两人相邻 ______________________________ （ 4）甲、乙两人不相邻 _____ 甲、乙之间隔着 2人_________________________ （6）甲在乙的左边 ____________ 若7人顺序不变，再加入 3个人，要求保持原先 7人顺序不变 __________________若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列 _____________ 7人站成前后两排，前排 3人，后排4人的站法 ________________ 甲站中间 ______ （ 11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法_____________________ 甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法 ______________ 若甲、乙两人去坐标号为 1，2, 3, 4，5，6, 7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法 类型二：分组与分配问题 例2:将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有： （1 ）平均分成3堆，每堆2本 _____________________ （ 2 ）分给甲、乙、丙3人，每人2本___ 分成3堆，每堆本数分别是1, 2, 3， ________________ （4）分给甲1本，乙2本，丙3本_ 分给3人，1人1本，1人2本，1人3本 ______________________ 分给甲、乙、丙 3人，每人至少1本 _________________________ 若将6本不同书放到5个不同盒子里，有 ___________ 种不同放法 若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有 若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_ I 若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本 _____________ 若将6本编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的不同的书放到编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的6个不同盒子中, 要求有3本书的编号与盒子不一致的放法 _______________）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少 从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如C 2 C 2本书按2, 2, 3来分有C 7斗丝A(3) (5) (7) (8) (9)(10) (12) (13)(14)(3) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) 种分法。
1. 2. 2 组合（一）【自主检测】1．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有 种不同的选法；2.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有 种不同的选法；3.判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．【典型例题】例1.（1）写出由五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2.计算：（1）47C ； （2）710C ；例3.求证：11+⋅-+=m n mn C m n m C【课堂检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （ ）（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法;从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成 种币值.4．计算：（1）315C ； （2）3468C C【总结提升】1.掌握组合及组合数的定义，理解组合模型特征，会用组合模型解决符合组合问题特征的实际问题；2.组合和排列是两个不同的数学模型，应用时注意区分两者的特征，排列选出的m 个元素讲究顺序，而组合选出的m 个元素是不讲究顺序的，但二者之间也是有联系，排列可以看成是先选出m 个元素，再排列顺序，其中选出m 个元素的过程恰是组合的过程.【学习目标】 1 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.正确认识组合与排列的联系与区别 .【自主学习】1．什么是组合数？2．组合数公式的推导过程是什么？3．组合数公式的限制条件是什么？4. 组合数公式与排列有什么关系？【自主检测】1．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有 种不同的选法；2.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有 种不同的选法；3.判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．【典型例题】例1.（1）写出由五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2.计算：（1）47C ； （2）710C ；例3.求证：11+⋅-+=m n mn C m n m C【课堂检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （ ）（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法;从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成 种币值.4．计算：（1）315C ； （2）3468C C ÷ 【总结提升】1.掌握组合及组合数的定义，理解组合模型特征，会用组合模型解决符合组合问题特征的实际问题；2.组合和排列是两个不同的数学模型，应用时注意区分两者的特征，排列选出的m 个元素讲究顺序，而组合选出的m 个元素是不讲究顺序的，但二者之间也是有联系，排列可以看成是先选出m 个元素，再排列顺序，其中选出m 个元素的过程恰是组合的过程.。
