排列组合典型例题(带详细答案)
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例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数
例2三个女生和五个男生排成一排
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种
例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术
共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.
例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法
例7 7名同学排队照相.
(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必
须在后排,有多少种不同的排法
(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法 (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法
例8计算下列各题:
(1) 2
15
A ; (2) 66
A ; (3) 1
1
11------⋅n n m n m
n m n A A A ;
例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法.
例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法
例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、
5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有
例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ).
例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ).
例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数
1、解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个;当个位上在“
2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,
十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281
814A A A ⋅⋅(个).∴ 没有重复数字的四位偶数有22961792504281
814
39=+=⋅⋅+A A A A
2、解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有
66A 种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有33A 对
种不同的排法,因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法.
(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有66A 种排法,所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法. (4)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有
36000662388=⋅-A A A 种不同的排法.
3、解:(1)先排歌唱节目有55A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46A =43200.
(2)先排舞蹈节目有44A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:44A 55A =2880种方法。
4、5042445566=+-A A A (种).
5、363333=⋅A A 种.
6、解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并加排列,共有34A 种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有232323A A A ⋅⋅种.综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有:518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种.
7、解:(1) 5040774437==⋅A A A 种.(2)14405
51413=⋅⋅A A A 种.(3)7203355=⋅A A .
(4)14403544=⋅A A 种.
8、解:(1) 2101415215
=⨯=A ;(2) 720123456!66
6=⨯⨯⨯⨯⨯==A ; (3)原式!)1(1!)(]!)1(1[!)1(-⋅-⋅----=
n m n m n n 1!
)1(1
!)(!)(!)1(=-⋅-⋅--=n m n m n n ;
9、46A
10、解法1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”、“甲坐下”;“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法: