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第1讲等差数列与等比数列高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真题感悟1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()A.a n＝2n－5B.a n＝3n－10C.S n＝2n2－8nD.S n＝12n2－2n2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和.考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ； (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q； (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.温馨提醒应用公式a n＝S n－S n－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A.16B.8C.4D.2(2)(2019·北京卷)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.①求{a n}的通项公式；②记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.【训练1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.(2)(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{a n}的通项公式；②记S n为{a n}的前n项和.若S m＝63，求m.热点二等差(比)数列的性质【例2】(1)在等比数列{a n}中，a6，a10是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8的值为()A.2B.－2或 2C. 2D.－ 2(2)设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n<nS n＋1(n∈N*).若a8a7<－1，则()A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】(1)(2019·天一大联考)记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝16，S5＝35，则{a n}的公差为()A.－3B.－2C.3D.2(2)等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和S8为()A.4B.2C.3D.5热点三等差(比)数列的判断与证明【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n>0，S2n＝a2n＋1－λS n＋1，其中λ为常数.(1)证明：S n＋1＝2S n＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.【迁移】若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条件不变，试求解第(2)问. 探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n≥1，n ∈N *，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数；(2)中项公式法. 2.a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零.【训练3】 (1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”.(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和，判断数列{b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式. 热点四 等差数列与等比数列的综合问题【例4】 (2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值.探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练4】 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.1.在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.在应用性质时要注意前提条件，有时需要进行适当变形.3.应用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.A 级 巩固提升一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.122.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.103.(2019·广州模拟)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1，且a n，a n＋1是方程x2－b n x＋2n ＝0的两根，则b10等于()A.24B.32C.48D.644.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为()A.60里B.48里C.36里D.24里5.(2019·郑州模拟)数列{a n}的前n项和为S n，且3a n＋S n＝4(n∈N*)，设b n＝na n，则数列{b n}的项的最大值为()A.8164 B.2716C.32 D.2二、填空题6.(多填题)(2019·合肥质检改编)已知{a n}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________；公差d＝________.7.(多填题)(2019·北京卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________.8.(2019·湖南雅礼中学质检)若数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝3a n＋2(n∈N*).令b n＝log3(a n＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.三、解答题9.设{a n}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.(1)求{a n}的通项公式；(2)求e a1＋e a2＋…＋e a n.10.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围.B级能力突破11.(2019·广州质检)已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列.若a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，则2S n＋16a n＋3(n∈N*)的最小值为()A.4B.3C.23－2D.9 212.(2019·成都诊断)设等差数列{a n}的前n项和为S n，a＝(a1，1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{b n}的前n项和为T n，且满足2a n－1＝λT n－(a1－1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列？并说明理由.。
