2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳《数列》(拔高)

专题四 数 列第1讲 数列的概念、等差数列与等比数列[记牢方能用活]一、由递推公式求数列通项的常用方法 1．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(n ≥2，n ∈N *)求解． 2．形如a n ＋1＝a n ·f (n )，常用累乘法． 利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)求解．3．形如a n ＋1＝ba n ＋d (b ≠1)，常用构造等比数列法．对a n ＋1＝ba n ＋d 变形得a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ＝d b －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它可求出a n .4．形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r ，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp . 若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用等差数列的通项公式求1a n，进而求a n ；若p ≠r ，则采用3的方法来求1a n，进而求a n .5．形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ＋q ＝1)，常用构造等比数列法．将a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n 变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )(n ≥2，n ∈N *)，然后用累加法求a n .二、等差等比的基本运算 1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)． 2．求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .三、等差数列的常用性质1．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．2．若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .3.若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 4．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)仍是等差数列． 5．若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列．四、与等差数列各项的和有关的性质1．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.2．S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．3．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.4．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.五、等比数列的性质1．若数列{a n }是等比数列，则有：(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }({b n }是等比数列)，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 等也是等比数列．(2)数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…仍是等比数列．(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.2．若S n是等比数列{a n}的前n项和，则有：(1)当{a n}的公比q≠－1(或q＝－1且m为奇数)时，数列S m，S2m－S m，S3m －S2m，…是等比数列．(2)当项数是偶数时，S偶＝S奇·q；当项数是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.调研1数列的有关概念及运算a．S n与a n的关系1．(2018·全国Ⅰ，14,5分)记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n＋1，则S6＝________.答案：－63解析：∵S n＝2a n＋1，当n≥2时，S n－1＝2a n－1＋1，∴a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{a n}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴S n＝a1(1－q n)1－q＝－1(1－2n)1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.2．(2019·上海，8,5分)已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n＋a n＝2，则S5＝________.答案：3116解析：当n＝1时，S1＋a1＝2，∴a1＝1.当n≥2时，由S n＋a n＝2，得S n－1＋a n－1＝2，两式相减，得a n＝12a n－1(n≥2)，∴{a n}是以1为首项，12为公比的等比数列，∴S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.小提示：S n 与a n 共存于同一代数式，要么转化为a n ，a n －1的关系，要么转化为S n ，S n －1的关系，a n ＝S n －S n －1是转化的关键．b ．由递推公式到通项公式3．(2014·课标Ⅱ，17,12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.(1)解：由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)证明：由(1)知，1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.小提示：1．结论中的形式，指明变形的方向，递推公式变形为a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，从而构造等比数列．2．放缩后求和，应用3n －1≥2·3n －1进行放缩转化． [对点提升]1．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 017的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7答案：B 解析：由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，{a n }中的整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 017＝4×504＋1，故b 2 017的末位数字为2.故选B.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2)，则a n ＝________.答案：n ＋23n 解析：∵a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2)，∴3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)， 即3n a n －3n －1a n －1＝1(n ≥2)． 又∵a 1＝1，∴31·a 1＝3，∴数列{3n a n }是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴3n a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， ∴a n ＝n ＋23n (n ∈N *)．调研2 等差、等比数列的基本运算 a ．等比数列的基本运算1．(2019·全国Ⅰ，9,5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案：A 解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.2.(2018·北京，4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f 答案：D 解析：由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f ＝1227f .故选D. 小提示：第1题中解数列选择题，可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法．本题若用逐项检验法去验证S 4和a 5，就会发现无法排除错误选项，因此，还是要从通用方法入手．b ．等差数列的判定与求和问题3．(2016·天津，18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．证明：小提示：等差数列的判定方法1．定义法：a n＋1－a n＝d.2．等差中项法：2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．3．前n项和公式法：S n＝An2＋Bn.4．通项公式法：a n＝pn＋q.c．等差、等比数列中S n的最值与计算4．(2019·福建龙岩新罗区模拟)已知等差数列{a n}的公差为－2，前n项和为S n，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若S n≤S m对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝()A．7 B．6C．5 D．4答案：B 解析：∵等差数列{a n }的公差为－2，又a 3，a 4，a 5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，∴a 23＝a 24＋a 25－2a 4·a 5cos 120°， 即(a 4＋2)2＝a 24＋(a 4－2)2＋2a 4(a 4－2)×12， 化为a 24－5a 4＝0，又a 4≠0，解得a 4＝5， ∴a 3＝7，a 5＝3，a 6＝1，a 7＝－1.∴S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立，∴实数m ＝6.故选B.5．(2019·湖南湘潭三模)已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取最大值时，n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C 解析：等比数列{a n }中，由a 1＝－24，a 4＝－89， 可得q 3＝a 4a 1＝127，解得q ＝13，小提示：求等差数列{a n }的前n 项和最值的方法如下：d．构造法求通项6．(2019·吉林长白山二模)在数列{a n}中，设f(n)＝a n，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1.(1)求b n＝a n2n－1，并证明数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.解：(1)由已知，得a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝a n＋12n＝2a n＋2n2n＝a n2n－1＋1＝b n＋1，所以b n＋1－b n＝1，又a1＝1，所以b1＝1，所以b n＝n.所以{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n＝a n2n－1＝n，所以a n＝n·2n－1.所以S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2，得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以S n ＝(n －1)·2n ＋1. 题目拆解：高考大题综合性较强，求解时，把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决，可化难为易，得步骤分.学会了快速拆解题目，就能在解大题时得高分、得满分.(1)构造b n ＋1－b n ＝常数，证明{b n }为等差数列； (2)①求b n 的通项公式，求a n 的通项公式； ②求数列a n 的前n 项和S n . [对点提升]1．(2019·原创冲刺卷一)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 3＝6，则S 2n ＋1＝( )A ．(2n ＋1)(n ＋1)B ．(2n ＋1)(n －1)C ．(2n －1)(n ＋1)D ．(2n ＋1)(n ＋2)答案：A 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋d ＝3,3a 1＋3d ＝6，所以a 1＝d ＝1，则a n ＝1＋(n －1)×1＝n . 因此S 2n ＋1＝(2n ＋1)(1＋2n ＋1)2＝(2n ＋1)(n ＋1)．2．(2019·安徽巢湖模拟)已知数阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21a 22 a 23a 31a 32a 33中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若a 22＝5，则该数阵中九个数的和为( )A ．18B ．27C ．45D ．54答案：C 解析：由题意得，这九个数的和S 9＝a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33.根据等差数列的性质，得a 11＋a 12＋a 13＝3a 12，a 21＋a 22＋a 23＝3a 22，a 31＋a 32＋a 33＝3a 32，又因为各列也构成等差数列，则a 12＋a 22＋a 32＝3a 22，所以S 9＝9a 22＝45.故选C.调研3 等差、等比数列性质的综合应用 a ．等比数列公比的讨论1．(2018·浙江，10,4分)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则( )A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4 答案：B 解析：构造不等式ln x ≤x －1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1， 所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0. 又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1， 所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾． 因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0， 所以a 1>a 3，a 2<a 4. 故选B. 小提示：1．由题中的选项可知要判断0<q 2<1，还是q 2>1.2．由条件可知要利用不等式ln x ≤x －1(x >0)，得a 4<0，进而得q <0. 3．直接求q 的取值范围较难，转化为判断q ＝－1和q <－1时，等式a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)左、右两边的正负，进而得出矛盾．从而得－1<q <0.4．注意a 1>0，而a 2<0，利用－1<q <0得结论． b ．等差数列前n 项和的特殊性质2．(2019·广东珠海3月联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则数列{a n }( )A ．既非等差数列，又非等比数列B ．既是等差数列，又是等比数列C ．仅为等差数列D ．仅为等比数列答案：B 解析：根据题意，数列{a n }中，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则S n S n －1＝nn －1(n ≥2)，则S n ＝S nS n －1×S n －1S n －2×…×S 2S 1×S 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n (n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1，当n ＝1时，a 1＝1符合，故a n ＝1(n ∈N *)，则数列{a n }为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列，故选B.3．(2019·广东汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．4或5答案：B 解析：由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5，故选B. 小提示：与等差数列各项的和有关的性质1．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.2．S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．3．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.4．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[对点提升]1．(2019·北京东城区模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＝a n ＋1＋2，定义数列{b n }，使得b n ＝1a n，n ∈N *，若4<a <6，则数列{b n }的最大项为( )A ．b 2B ．b 3C ．b 4D ．b 5答案：B 解析：∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＝a n ＋1＋2，∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公差d ＝a n ＋1－a n ＝－2的等差数列，∴a n ＝a －2(n －1)．∵4<a <6，∴{a n }的最后一个正项是a 3＝a －4，∴b n ＝1a －2(n －1)中，当n ＝3时，数列{b n }取得最大项b 3，故选B.2．(2019·贵州遵义模拟)在数1和2之间插入n 个正数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记为A n ，令a n ＝log 2A n ，n ∈N *，则T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝________.答案：tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N * 解析：设在数1和∴a n ＝log 2A n ＝n ＋22. 又tan 1＝tan[(n ＋1)－n ]＝tan (n ＋1)－tan n1＋tan (n ＋1)tan n，∴tan(n ＋1)tan n ＝tan (n ＋1)－tan ntan 1－1，∴tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝tan(n ＋1)tan(n ＋2)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1，n ∈N *，∴T n ＝tan a 2·tan a 4＋tan a 4·tan a 6＋…＋tan a 2n ·tan a 2n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 3－tan 2tan 1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4－tan 3tan 1－1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5－tan 4tan 1－1＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1＝tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N *，故答案为tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n ，n ∈N *.提醒 完成专题训练(十一)第2讲 数列求和及数列的综合应用[记牢方能用活]一、求数列的前n 项和的方法 1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式 a ．当q ＝1时，S n ＝na 1；b ．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．裂项相消把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和．4．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．倒序相加把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．并项求和将某些具有某种特殊性质的项放在一起先求和，再求整体的和． 二、常见的拆项公式1．若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1； 2.1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； 3.1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；4．log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (a >0且a ≠1)．三、常见数列的前n 项和 1．1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； 2．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； 3．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； 4．12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；5．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 四、放缩为等比数列求和的两种类型1a n <1a n －b n ＝1a n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ≤1a n －1，a －b ≥1，a ，b >0； 1a n －b ≤1a n －1(a －b )≤1a n －1，a －b ≥1，a ，b >0. 小积累放缩为裂项相消法求和的常见类型1n 2>1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n 2<1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，n ≥2； 1n 2<1n 2－14＝44n 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 1(2n －1)2>1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 1(2n －1)2<1(2n －1)(2n －3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，n ≥2； 1n ＝2n ＋n >2n ＋1＋n ＝2(n ＋1－n )； 1n ＝2n ＋n <2n －1＋n ＝2(n －n －1)； 1q n －1<q n ＋1(q n －1)(q n ＋1－1)＝q q －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －1－1q n ＋1－1， q >1；1n 3<1(n －2)(n －1)n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n －2)(n －1)－1(n －1)n ， n ≥3；1n 3<1(n －1)n (n ＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n －1)n －1n (n ＋1)，n ≥2.调研1 数列求和问题 a ．简单代数式裂项求和问题1．(2019·湖北十堰调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝9a n(a n ＋3)(a n ＋1＋3)，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S 2n ＝0，∴S 2n ＝S n －1S n ＋1(n ≥2)．又由S 1＝a 1＝1≠0，S 2＝a 1＋a 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0， ∴数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －Sn －1＝3×4n －2，又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). (2)当n ≥2时，b n ＝9a n(a n ＋3)(a n ＋1＋3)＝ 9×3×4n －2(3×4n －2＋3)(3×4n －1＋3) ＝3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)， 又知b 1＝38，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧38(n ＝1)，3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)(n ≥2)，则T 1＝b 1＝38.当n ≥2时，b n ＝3×4n －2(4n －2＋1)(4n －1＋1)＝14n －2＋1－14n －1＋1， 则T n ＝38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2＋1－142－1＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＋1－14n －1＋1＝78－14n －1＋1，又当n ＝1时，T 1＝38符合上式， ∴T n ＝78－14n －1＋1(n ∈N *)．题目拆解：高考大题综合性较强，求解时，把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决，可化难为易，得步骤分.学会了快速拆解题目，就能在解大题时得高分、得满分.本题可以拆分成以下几个小题： (1)①求数列{S n }的通项公式； ②求数列{a n }的通项公式． (2)裂项求数列{b n }的前n 项和． b ．复杂代数式的裂项求和问题2．(2018·天津，18,13分)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n(n∈N*)，{b n}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*)．①求T n；(1)解：设等比数列{a n}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故a n＝2n－1.设等差数列{b n}的公差为d，由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故b n＝n.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，数列{b n}的通项公式为b n＝n.小提示：数列问题求解常用方法为应用方程思想，把条件转化为基本量的方程求解，如第(2)①问．求和现象必须观察代数式的结构特点，再选择合适的方法．c ．错位相减求和3．(2019·河南百校联盟模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n <3. (1)解：设数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，7a 1＋21d ＝49，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)证明：b n ＝a n 2n ＝2n －12n ， 所以T n ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ， 12T n ＝14＋38＋516＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝12＋12＋14＋18＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，故T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n <3.小提示：错位相减求和常有以下几点易错之处1．作差的代数式写不对，尤其后面两项的变化规律． 2．作差后求和过程中，等比求和易数不对项数． 3．最后细致的计算，合并同类项时一定认真． [对点提升](2019·广东广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意，可得S nn ＝1＋2(n －1)， 化简得S n ＝2n 2－n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1对上式也成立． ∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 两式相减，得a n b n ＝(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2)，又a 1b 1＝12满足上式，∴a n b n＝(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)．∴b n ＝2n .∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.调研2 数列求和中的不等式问题 a ．前n 项和与不等式恒成立问题1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，当n ＝1时上式也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．∴b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]＝(2n ＋1)(2n ＋3)·cos[(n ＋1)π]，当n 为奇数时，cos[(n ＋1)π]＝1； 当n 为偶数时，cos[(n ＋1)π]＝－1.因此，当n 为奇数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n ＋1)(2n ＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n ＋1)＝15＋4×(2n ＋8)(n －1)4＝2n 2＋6n ＋7.∵T n ≥tn 2， ∴2n 2＋6n ＋7≥tn 2，∴t ≤7n 2＋6n ＋2＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋372＋57，∴t <2.当n 为偶数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n ＋1)(2n ＋3) ＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n ＋1)＝－2n 2－6n . ∵T n ≥tn 2，∴－2n 2－6n ≥tn 2，∴t ≤－2－6n ，∴t ≤－5. 综上可得，t ≤－5. 小提示：先求出a n ，进而得b n ，分析b n 的结构，对n 分奇数和偶数求T n ，进而利用分离参数法转化为求最值问题．b ．数列与函数单调性的综合问题2．(2018·江苏，20,16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立，求d 的取值范围；(2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2 ]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．(1)解：由条件知，a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1. 因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1,2,3,4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得 73≤d ≤52.因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，52.(2)证明：由条件知，a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1.若存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立， 即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2,3，…，m ＋1)， 即当n ＝2,3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1.因为q ∈(1，m2 ]，则1＜q n －1≤q m ≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1＞0，对n ＝2,3，…，m ＋1均成立．因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1的最大值和数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的最小值(n ＝2,3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n (n －1)＝n (q n －q n －1)－q n ＋2n (n －1)，当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －q n －1)－q n ＋2＞0. 因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1单调递增， 故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1的最大值为q m －2m . ②设f (x )＝2x (1－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0， 所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1.当2≤n ≤m 时，q nn qn －1n －1＝q (n －1)n ≤21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1单调递减， 故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的最小值为q mm .因此，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 1(q m －2)m ，b 1q m m .小提示：本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的概念和相关性质． 1．第(1)问主要考查绝对值不等式．2．第(2)问要求d 的取值范围，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2,3，…，m ＋1均成立，首先把d 分离出来，变成q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1，难点在于讨论q n －1－2n －1b 1的最大值和q n －1n －1b 1的最小值．对于数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1－2n －1，可以通过作差讨论其单调性，而对于数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1，要通过作商讨论单调性，∴q nnq n －1n －1＝q (n －1)n ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ，当2≤n ≤m 时，1<q n ≤2.∴q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ≤21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ，可以构造函数f (x )＝2x (1－x )，通过讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性去证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n <1，得到数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫q n －1n －1的单调性，解出最小值．两个数列，一个作差得到单调性，一个作商得到单调性，都是根据数列本身结构而得，方法自然合理，最后构造函数判断21n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 与1的大小是难点，平时多积累，多思考，也是可以得到的．[对点提升](2019·天津滨海新区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ，通项a n 满足S na n －1＝qq －1(q 是常数，q >0且q ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当q ＝14时，证明：S n <13；(3)设函数f (x )＝log q x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，是否存在正整数m ，使1b 1＋1b 2＋…＋1b n ≥m 3对n ∈N *都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)解：由题意S n ＝q q －1(a n －1)，得S 1＝a 1＝q q －1(a 1－1)，所以a 1＝q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝q q －1(a n －a n －1)，所以a na n －1＝q ，故数列{a n }是首项为q ，公比为q 的等比数列， 所以a n ＝q ·q n －1＝q n .(2)证明：由(1)知，当q ＝14时，a n ＝14n ， 所以S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <13. (3)解：因为f (x )＝log q x ，所以b n ＝log q a 1＋log q a 2＋…＋log q a n ＝log q (a 1a 2…a n ) ＝log q (q ·q 2·…·q n )＝log q q 1＋2＋…＋n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1b n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 欲使2n n ＋1≥m 3，即m ≤6n n ＋1＝6－6n ＋1对n ∈N *都成立，需有m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－6n ＋1min ，而当n ∈N *时，6－6n ＋1随n 的增大而增大， 所以m ≤6－61＋1＝3，又m 为正整数， 所以m 的值为1,2,3，故使1b 1＋1b 2＋…＋1b n≥m3对n ∈N *都成立的正整数m 存在，其值为1,2,3.调研3 数列的综合应用 a ．双数列问题1．(2019·福建晋江期中)已知等比数列{a n }，{b n }，{c n }的公比分别为2，A ，B .记b n ＝a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4，c n ＝a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4，n ∈N *，则A B＝________.答案：1212 解析：本题考查等比数列的应用．根据题意，等比数列{a n }的公比为2.因为b n ＝a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4，则b n ＋1＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4，所以A ＝b n ＋1b n ＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4a 4(n －1)＋1＋a 4(n －1)＋2＋a 4(n －1)＋3＋a 4(n －1)＋4＝24.因为c n ＝a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4，则c n ＋1＝a 4n ＋1a 4n ＋2a 4n ＋3a 4n ＋4，所以B ＝c n ＋1c n ＝a 4n ＋1a 4n ＋2a 4n ＋3a 4n ＋4a 4(n －1)＋1a 4(n －1)＋2a 4(n －1)＋3a 4(n －1)＋4＝216，则A B ＝24216＝1212.b ．数列与导数、三角的渗透问题2．(2019·宁夏银川月考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．110B ．100C ．55D ．0答案：C 解析：本题考查数列与三角函数．∵2n ＋12·π＝n π＋π2，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 是奇数，n 2，n 是偶数，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝22－12＋42－32＋…＋102－92＝(2－1)×(2＋1)＋(4－3)×(4＋3)＋…＋(10－9)×(10＋9)＝1＋2＋3＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55.故选C.3．(2019·江西宜春3月联考)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，记f ′(x )是f (x )的导函数，将满足f (x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }，n ∈N *，则数列{f ′(x n )}的通项公式是( )答案：B解析：[对点提升]如图，设函数y＝1x图象上的点与x轴上的点顺次构成等腰Rt△OB1A1，等腰Rt△A1B2A2，…，直角顶点在函数y＝1x的图象上，设A n的坐标为(a n,0)，A0为原点．(1)求a 1，并求出a n 与a n －1之间的关系式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝2a n －1＋a n(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12，2a 1，2×2a 1＝a 1，解得a 1＝2.过点B n 作B n H ⊥x 轴，垂足为点H .∵△A n －1B n A n 为等腰直角三角形，且B n 为直角顶点， ∴|B n H |＝12|A n －1A n |＝a n －a n －12，∴点B n 的纵坐标为a n －a n －12.∵△A n －1B n A n 为等腰直角三角形，且B n 为直角顶点， ∴点H 为线段A n －1A n 的中点， ∴点H 的横坐标为a n ＋a n －12. ∵B n H ⊥x 轴，∴点B n 的横坐标也为a n ＋a n －12.∵点B n 为函数y ＝1x (x >0)图象上的点， ∴a n ＋a n －12·a n －a n －12＝1， ∴a 2n －a 2n －1＝4.(2)∵a2n－a2n－1＝4，a1＝2，∴数列{a2n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2n＝4n，∴a n＝2n(n∈N*)．(3)∵b n＝2a n－1＋a n＝1n－1＋n＝n－n－1，∴S n＝(1－0)＋(2－1)＋…＋(n－n－1) ＝n(n≥2，n∈N*)．提醒完成专题训练(十二)。

专题三 数列第一讲 等差数列、等比数列高考导航对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97[解析] 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎨⎧ S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.[答案] C 2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.故选A.[答案] A3．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1.解法一：S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.解法二：S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12.又S 1＋12＝32，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列， ∴S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，∴S 5＝35－12＝121.[答案] 1 1214．(2017·绵阳三诊)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)设b n ＝(－1)na n，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1a n， 即2S n a n －a 2n ＝1.①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知S 2n ＝n ，则S n ＝n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n －n －1.∴b n ＝(－1)na n ＝(－1)n n －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)． 当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n .∴{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n .考点一 等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1＋(n －1)d ；S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 等差数列{a n }中，S 6＝(a 1＋a 6)×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.[答案] C2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 由题意可知，由上到下灯的盏数a 1，a 2，a 3，…，a 7构成以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴a 1＝3.故选B. [答案] B3．(2017·湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23[解析]由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝32，将q＝32代入S2＝3a2＋2中得a1＋32a1＝3×32a1＋2，解得a1＝－1，故选B.[答案] B4．(2017·东北三校联考)已知等差数列{a n}满足a2＝3，a5＝9，若数列{b n}满足b1＝3，b n＋1＝ab n，则{b n}的通项公式为________．[解析]由题意可得等差数列{an }的公差d＝a5－a25－2＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝2n－1，则b n＋1＝ab n＝2b n－1，b n＋1－1＝2(b n－1)，又因为b1－1＝2，所以数列{b n－1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以b n－1＝2n，b n＝2n＋1.[答案]bn＝2n＋1等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．【易错提醒】等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q＝1或q≠1两种情况讨论．考点二 等差、等比数列的性质[对点训练]1．(2017·广州六校联考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64[解析] 因为a 7＋a 9＝2a 8＝16，所以a 8＝8.因为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.[答案] A2．(2017·太原模拟)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18[解析] 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，故a 2＝a 1q ＝14×2＝12.[答案] C3．(2017·合肥模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________．[解析] ∵数列{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，∴(S 10－S 5)2＝S 5·(S 15－S 10)，4＝1×(S 15－3)，得S 15＝7.[答案] 7[探究追问] 3题中条件不变，如何求S 100的值？[解析] 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 5＝1，S 10＝3，所以S 100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S 100＝1×(1－220)1－2＝220－1. [答案] 220－1等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．考点三 等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．2．证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．[解] (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．(2)a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．[对点训练]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n－1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.热点课题11 函数与方程思想在数列中的应用[感悟体验]1．(2017·西安统测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，则S n 的最大值为( )A ．49B ．28C ．－49或－28D ．28或49[解析] 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，知当n ＝7时，S n 最大，且最大值为49.[答案] A2．(2017·河南郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2 D.92[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2， ∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4.故选A. [答案] A。

回扣5 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13＞0，S 14＜0，若a k ·a k ＋1＜0，则k 等于( ) A ．6 B ．7 C ．13 D ．14答案 B解析 因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)， 所以a 7＞0，a 8＜0，a 7·a 8＜0，所以k ＝7.2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3 B ．15 C ．48 D ．63 答案 C 解析a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13 答案 C解析 ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零， 又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0， ∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.4．已知数列{a n }满足1393n n a a+=⋅(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793l o g ()a a a ++等于( )A ．－13 B ．3C ．－3 D.13答案 C解析 由已知1393n n aa+=⋅＝32n a+，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d )＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，所以1579133log ()log 27 3.a a a ++==-故选C.5．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在 答案 A解析 在正数组成的等比数列{a n }中，因为a 1·a 20＝100，由等比数列的性质可得a 1·a 20＝a 4·a 17＝100，那么a 7＋a 14≥2a 7·a 14＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14＝10时取等号，所以a 7＋a 14的最小值为20.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4， ∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.7．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7答案 B解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3，故选B.8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意可知，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的等差数列，所以S 20＝(a 1＋a 3＋……＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝122， 故选B.9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92答案 A解析 由题意a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，由基本不等式知，2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 10．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，数列{a n }满足a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝nC ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2答案 C解析 由题意F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，即F (x )关于(0,0)对称，则f (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1对称．即f (0)＋f (1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＝2，则a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)＝n ＋1.11．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.13．数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，S n ＋1＋(－1)nS n ＝2n ，则S 100＝____________. 答案 198解析 当n 为偶数时，S n ＋1＋S n ＝2n ，S n ＋2－S n ＋1＝2n ＋2，所以S n ＋2＋S n ＝4n ＋2，故S n ＋4＋S n＋2＝4(n ＋2)＋2，所以S n ＋4－S n ＝8，由a 1＝2知，S 1＝2，又S 2－S 1＝2，所以S 2＝4，因为S 4＋S 2＝4×2＋2＝10，所以S 4＝6，所以S 8－S 4＝8，S 12－S 8＝8，…，S 100－S 96＝8，所以S 100＝24×8＋S 4＝192＋6＝198.14．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知可知，S 7＝7×a 1＋7×(7－1)2×d ＝7＋21d ＝28， 解得d ＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.16．各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：S n ＝14a 2n ＋12a n ＋14(n ∈N *)．(1)求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，证明：对一切正整数n ，都有T n ＜54.(1)解 由S n ＝14a 2n ＋12a n ＋14可知，①当n ≥2时，S n －1＝14a 2n －1＋12a n －1＋14， ②由①－②化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， 又数列{a n }各项为正数，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝2，故数列{a n }成等差数列，公差为2，又a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1＋14，解得a 1＝1， ∴a n ＝2n －1.(2)证明 T n ＝1a 21＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n －1＋1a 2n＝112＋132＋152＋…＋1(2n －3)2＋1(2n －1)2 . ∵1(2n －1)2＝14n 2－4n ＋1＜14n 2－4n ＝14n (n －1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴T n ＝112＋132＋152＋…＋1(2n －3)2＋1(2n －1)2＜1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －2－1n －1＋1n －1－1n ＝1＋14－14n ＜54.。

概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。

3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。

二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。

2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。

3.有关正态分布的考题多为一道小题。

三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。

（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。

A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。

即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。

（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。