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2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进展分析。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数y ＝f 〔x 〕的值域是［－2，2］，那么函数y ＝f 〔x ＋1〕的值域是〔 〕 A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔x 〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔x 〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔x+1〕的图象是由y=f 〔x 〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔x+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔x+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么函数f 〔x 〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2x 〔x ≤10〕 B.y ＝20－2x 〔x<10〕C.y ＝20－2x 〔4≤x<10〕D.y ＝20－2x 〔5<x<10〕解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y ， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。
此题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，那么区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，那么函数y ＝f 〔x ＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤x ≤4 那么3+2 ≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 那么5≤x+5≤6，那么0≤x ≤1 所以y ＝f 〔x ＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕。
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
方程法——例7、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。
换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若xx x f -=1)1(,求)(x f .．配凑法3．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 4．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .待定系数法5．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.解方程组法 7．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.若x xx f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).特殊值代入法9．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ .1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f12．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.1.函数y=2122--+-+x x xx 的定义域是（ ） （A ）{x -21-≤≤x } （B ）{x -21≤≤x } （C ）{x x>2} （D ）{R x ∈x 1≠}2．函数6542-+--=x x x y 的定义域是（A ）{x|x>4} (B)}32|{<<x x (C){x | x<2 或 x>3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且3.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞ （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ]4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是 (A)132+-=x x y (B) y=2x+1(x>0) (C) y=x 2+x+1 (D)21xy = 5．)12(-x f 的定义域是[)1,0，则)31(x f -的定义域是(A) ]4,2(- （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,2 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛61,0 （D ）⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0 6.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ）（A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4）7．函数y=13+-+x x 的值域是（ ）(A)(0,2) (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2)二．填空题：1．函数y=1122-+-x x 的定义域是___________2．函数y=xx x --224的定义域为 3．函数y= -2x 2-8x-9, x ∈[0,3]的值域是_______.4．设函数y=f(x) 的定义域是[0,2], 则f(x-1)的定义域是_______5．函数2x x y -=的值域是 ；函数)11(2≤≤--=x x x y 的值域是 ；函数21x x y -=的值域是 。
1函数解析式的特殊求法例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式例2 若x x x f 21(+=+）,求f(x)例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f2函数值域的特殊求法例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例2. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点(A))1,4(-(B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-例3已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的减函数；（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。
例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠∅，(2)(,)a b C ∈同时成立.证明题1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.答案1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1 则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域为（）A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1,3]D．[0,2]【答案】C.【解析】先将函数方程化为，，再由二次函数的图像知，当时，函数取得最小值且为-1；当时，函数取得最大值且为3.所以函数的值域为[-1,3]. 故应选C.【考点】二次函数的值域.2.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】由题意得：函数的值域包含，当时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数的取值范围是.【考点】函数值域4.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）奇函数，（2）.【解析】（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.试题解析：（1）∵，， 4分∴是奇函数． 5分（2）令，则． 7分∵，∴，∴，∴，所以的值域是． 10分【考点】函数奇偶性，函数值域.5.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.6.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.其中正确的个数为 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，的定义域为.所以①不成立. 由函数的定义域为，所以.所以函数要满足.所以函数的定义域为.故②不成立.因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数y=与函数y=的图像关于y轴对称，所以④不正确.故选A.【考点】1.函数的概念.2.函数的定义域.3.函数的对称性.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】，即。
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。
同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。
⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。
同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。
_。
_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。
对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。
因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。
3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。
答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。
对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()4xf x -=的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()4xf x -=的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D 例2．函数2211y x x =-+-的定义域为( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数2211y x x =-+-可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±. 函数2211y x x =-+-的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤， 所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数212y x x =+-的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
（2）求函数值域的常用方法☉观察法：通过解析式的简单变形和观察（数形结合），利用熟知的基本初等函数的值域，求出函数的值域。
☉配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y=ax 2+bx+c(a=0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值得求法（可结合图像）。
☉换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。
☉分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域。
y=ax+b cx+d 型 y=a c +k cx+d 值域：{y |y ≠ac }☉判别式法：它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。
但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。
☉充分利用函数的单调性，对单调性未知的，应该先判断其单调性。
在通过定义域进行判断其函数取值范围。
注意：值域对基础函数、不等式、开方，绝对值等的要求较高，学生需要注意这些方面的掌握。
例1．函数()24f x x =-的值域为（ ）A. (),4-∞-B. (],4-∞-C. ()4,-+∞D. [)4,-+∞ 【答案】D ()244f x x =-≥-，故函数的值域为[)4,-+∞，故选D.例2．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：函数234y x x =--对称轴为32x =，当32x =时254y =-，当0x =时0y =，所以结合二次函数图像可知m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3．函数29y x =-+的值域为（ ）A.{|3}x x ≤B.{|03}x x ≤≤C.{|3}x x ≥D.{|3}x x ≤-【答案】B 【解析】试题分析：由于2099x ≤-+≤，所以2093x ≤-+≤，故选B.例4．函数212y x =+的值域是_________. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由212y x =+ ，得2112,,20x x R y y =-∈∴-≥ ，解之得102y <≤ 。
例5．已知xx x f -+=53)(,则f （x ）的值域为________________ 【答案】{y|y ≠-1 }【解析】主要考查函数值域的求法。
由x x x f -+=53)(=(5)85x x ----=－1－85x -，因为85x -≠0，所以x x x f -+=53)(≠－1，故f （x ）的值域为{y|y ≠-1 }。
例6．求函数的值域。
【解析】思路分析：1）题意分析：这是求分式型函数的值域，而且分子、分母是同次幂。
2）解题思路：分离出常数，使问题简化。
解：分离常数，得。
由，得，即有. 所以函数的值域是。
解题后的思考：该方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次幂，这时可以通过多项式的除法，分离出常数，使问题简化。
例7 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）（1）当21=y 时，方程（*）无解； （2）当21≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。
由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[例8 求函数1++=x x y 的值域。
解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y ，又 t ≥0，∴143210122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y函数解析式的表达方式☉待定系数法：若已知函数模型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解。
☉换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，但此时要注意换元法之后自变量的组织范围。
22211x y x -=+222213211x y x x -==-++211x +≥23031x <+≤12y -<≤[)12-，☉解方程组法:已知函数f （x ）满足某个等式，这个等式除f （x ）是未知量外，外出现其他未知量，如f （-x ），f （1x ）等，必须根据已知等式（如用-x 或者1x 替换x ）再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求f （x ）的解析式。
例1．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(2)5f f -=-，2(0)(1)1f f --=，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =- B ．()32f x x =+ C ．()23f x x =+ D ．()23f x x =-【答案】A 试题分析：设一次函数()f x kx b =+，依题意有()()3225k b k b +-+=-，()21b k b --+=，联立方程组，解得3,2k b ==-，所以()32f x x =-. 考点：待定系数法求解析式. 例2．已知)(x f 是一次函数，且满足,172)1(3+=+x x f 则=)(x fA.532+x B. 132+x C. 32-x D. 52+x 【答案】A 【解析】因为)(x f 是一次函数，且满足f (x)ax b,3f (x 1)3a(x 1)b 2x 17,=++=++=+则=)(x f 532+x ，选A 例3．已知()11fx x +=+，则函数()f x 的解析式为（ ）A.2()f x x = B.()2()11f x x x =+≥ C.()2()221f x x x x =-+≥ D.()2()21f x x x x =-≥【答案】C 【解析】试题分析：设1x t +=则()21,(1)x t t =-≥代入已知可得()()222(1)112f t t t t t =+-=-+≥函数()f x 的解析式为()2()221f x x x x =-+≥考点：函数的解析式例4．若[()]63,()21,()f g x x g x x f x =+=+且则的解析式为 （ ）A ．3B ．3xC ．3(21)x +D ．61x +【答案】B 试题：令12)(+==x x g t ，则21-=t x ，所以3216)(+-=t t f =t 3，故x x f 3)(=，选B. 1．函数f(x)=√2+x−x 2|x|−x的定义域是 ( )A. {x|－1≤x≤2}B. {x|－1≤x<0或0<x≤2}C. {x|－1≤x<0}D. {x|0<x≤2}【答案】C 【解析】由题设可得{x 2−x −2≤0x <0⇒{x|−1≤x <0}，应选答案C 。
2．函数的定义域是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：⎩⎨⎧≠≥+001x x ，解得：{1-≥x x 且}0≠x ，故选C.考点：函数的定义域3．如果函数()y f x =的值域为[],a b ，则()1f x +的值域为（ ） A. []1,1a b ++ B. []1,1a b -- C. [],a b D. (),a b 【答案】C 【解析】函数()y f x =的值域为[],a b ,而函数()y 1f x =+是把函数()y f x =向左平移1个单位得到的,纵坐标不变,()1f x +的值域为[],a b .所以C 选项是正确的.4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 ( )A .{－1,0,3} B.{0,1,2,3} C .{y |－1≤y ≤3} D.{y |0≤y ≤3} 【答案】A 【解析】把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x2－2x ，即y ＝0，－1,3.5．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )A ．；B ．；C ．；D ．无法确定【答案】 B 【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的6．函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ； 7．已知()2145f x x x -=+-，则()f x 的表达式是（ ）A. 26x x +B. 287x x ++C. 223x x +-D. 2610x x +-【答案】A 【解析】令1x t -=,1x t ∴=+． ()()()2214156f t t t t t ∴=+++-=+．()26f x x x ∴=+．故A 正确．R ()y f x =[,]a b (1)y f x =-[1,1]a b --[,]a b [1,1]a b ++(1)y f x =-()y f x =224y x x =--+[2,2]-[1,2][0,2][2,2]-22224(2)44,042,240x x x x x x x -+=--+≤≤-+≤-≤--+≤20242,02x x y ≤--+≤≤≤点睛:在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，通过换元的方法可得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．8．已知函数(1)1xf x x -=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A.1()2x f x x +=+ B.()1x f x x =+ C.1()x f x x -= D.1()2f x x =+【答案】A 【解析】试题分析:令1x t -=，则1x t =+，所以()1(1)12x t f x f t x t +-=⇒=++，即1()2x f x x +=+.故选A.考点：函数的解析式.9．已知2(1)1f x x -=+，则()f x 的表达式为（ ） A ．2()1f x x =+ B ．2()(1)1f x x =++C ．2()(1)1f x x =-+ D ．2()f x x =【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，设1t x =-，则1x t =+，所以()22(1)122f t t t t =++=++，所以函数的解析式为2()(1)1f x x =++，故选B ． 考点：函数的解析式．10．已知1()1xf x x-=+，则f(x)的表达式为 A ．11x x -+ B ．11x x +- C ．11x x -+ D ．21x x -【答案】A 【解析】试题分析：设1111x t t x x t --=∴=++()()1111t xf t f x t x--∴=∴=++ 考点：换元法求函数解析式11．设函数，则下列关系中正确的是 （ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：函数是开口向上的抛物线，对称轴是2-=x ，离对称轴越远，函数值越大，所以()()()201->>f f f ，故选B.考点：二次函数的单调性12．若一次函数()x f 满足()8923+=+x x f ，则()x f 的解析式是 A.()89+=x x f B.()23+=x x fC.()43--=x x fD.()23+=x x f 或()43--=x x f【答案】B 分析：()()()3298962332232f x x x x f x x +=+=++=++∴=+c x x x f ++=4)(2)2()0()1(-<<f f f )2()0()1(->>f f f )2()1()0(->>f f f )1()2()0(f f f <-<考点：函数求解析式13．函数()(0)f x kx b k =+>,若[0,1],x ∈ [1,1]y ∈-，则函数()y f x =的解析式是（ ） A.21y x =- B.1(1)2y x =- C.21y x =-或21y x =-+ D.21y x =--【答案】A 【解析】试题分析：由函数解析式可知函数为增函数，所以122111b k y x k b b =-=⎧⎧∴∴=-⎨⎨+==-⎩⎩考点：函数求解析式14．函数),12()(,32)(-=+=x g x f x x g 则=+)1(x f （ ）A.12+xB.54+xC.54-xD.14+x【答案】B 【解析】试题分析：()()()14312212+=+-=-=x x x g x f ，()()541141+=++=+x x x f ，故选B.考点：复合函数 15．已知()11fx x +=+，则函数()f x 的解析式为（ ）A.2()f x x = B.()2()11f x x x =+≥ C.()2()221f x x x x =-+≥ D.()2()21f x x x x =-≥【答案】C 【解析】试题分析：设1x t +=则()21,(1)x t t =-≥代入已知可得()()222(1)112f t t t t t =+-=-+≥函数()f x 的解析式为()2()221f x x x x =-+≥16．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3 【答案】B 【解析】∵2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，① 将①中x 换为－x ，则有 2f(－x)－f(x)＝－3x ＋1，② ①×2＋②得3f(x)＝3x ＋3， ∴f(x)＝x ＋1. 考点：复合函数解析式求法17．已知，则等于 ( )A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：令R t t x t x ∈+==,22,1-21则，所以()()743222+=++=t t t f ，因为所以==+m m 即,674 考点：函数解析式的求法。
