函数值域的求法及例题

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

函数值域的求法1、〔察见解〕求以下函数的值域〔1〕求函数 y1=11的值域0,12x1〔2〕求函数 y1=2－x的值域。

- ，22、〔配方法〕求以下函数的值域〔1〕求函数y x2 2 x 5, x [ 1,2] 的值域4，8〔2〕求函数 y x26x 5 的值域：0，2〔3〕 x, y 是关于m的方程222的根那么m2am a 6 0, x 1y 1 的最小值是〔〕 CA.-12 1D.3 443、〔换元法〕求以下函数的值域〔1〕y2x 1x 13，〔2〕y x 49 x21,4 3 2〔3〕求函数 y=x 2的值域0,1 x 32〔4〕求函数y x 1 x 的值域1,2〔5〕求函数 y=x3x的值域11 42x21-, x444、〔分别常数法〕 求以下函数的值域〔1〕求值域〔 1〕 yx 1( x 4)x 2〔2〕求函数 yx 2x 的值域。

x 2x 15、〔鉴识式法〕 求以下函数的值域2 x 2 x 2〔1〕求函数的值域 yx 1x 2- ，1 5，2- 1，1 31，5〔2〕求函数 y2x 24x7的值域。

- 9 ，2x 2 2x 322ax b的值域是 [1， 3 ]，求实数 a ，〔3〕函数f ( x)2 xb 的值 .a=2或-2，b=2x 216、(单调性法 )求以下函数的值域〔1〕求函数 f (x)2x 3 4x 2 40x ， x [ 3,3] 的最小值。

f (2)-483 1〔2〕设函数 f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－4，4上的最大值和最小值．f ( x)max f ( 1)= ln 7+ 1 f (x)min f (- 1)= ln 2+ 14216247、 (数形结合法 )求以下函数的值域26x 13 6-2〔1〕求函数 y=6 x x 4x 5的值域-5，262x 1 7-2〔2〕求函数 y=7 x x - x 1的值域-1,1〔2〕假设 ( x1 y2 )( y 1 x2 ) 0 ,求 x y 的最大、最小值-2，1cos x〔3〕求函数y - 2 ， 2sin x 3 的值域。

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。

解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。

由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。

故函数的值域是：$[2,4]$。

3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。

1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。

2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。

4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。

解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。

例13.求函数y sinx cosx的值域。

解：由三角函数的性质可知。

1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。

函数的值域题型一：求函数值，特别是分段函数求值例题1.已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R).(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值.【答案：f (2)＝13，g (2)＝6；∴f [g (3)]＝112】 练习1.1.已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)].【答案：f (2)＝34；f [f (1)]＝58】 练习1.2.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值.【答案：f (2)＝5，f (1x )＝1＋x －x 2x 2；x ＝2，或x ＝－3.】 练习1.3.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________.【答案：6】 题型二：值域是函数y=f(x)中y 的取值范围例题2.1.（图像法）求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x ≤1) 【答案：[-1，5]】 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f 【答案：]92,32[--】 ③ xx y 1+=（记住图像） 【答案： ]2,(--∞[2，+∞)】 练习2.1.求下列函数的值域：①142+-=x x y ； 【答案：{y|y ≥-3 }.】②；]4,3[,142∈+-=x x x y 【答案：[-2，1].】③]1,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-2，1].】④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 【答案：[-3，6].】例题2.2.（代数换元法）求函数x x y -+=12 的值域 。

【答案：]2，（∞-】 练习2.2.求函数y=x x --1的值域。

【答案：｛y|y ≤－3/4｝】例题2.3.（三角换元法）求函数21x x y -+=的值域【答案：[-1,2]】练习2.3.例题2.4.（反函数法）求函数21+-=x x y 的值域【答案：{}1≠y y 】（此类题目也可用分离常数法） 练习2.4.1.求函数6412+-=x x y 的值域【答案：{y|y ≠21}】 练习2.4.2.求函数133+=x xy 的值域【答案：y ∈(0，1)】 练习2.4.3.求函数 y =1212+-x x 的值域；【答案：y ∈(-1，1)】例题2.5.（判别式法）函数1122+-=x x y 的值域（也可用分离常数法，反函数法） 练习2.5.1.求函数34252+-=x x y 的值域 【答案：}50|{≤<y y 】 练习2.5.2.求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 【答案：[)∞+,2】（也可用分离常数法） 例题2.6.（分离常数法）详细过程见其他例题例题2.7.（单调性法）求函数y=4x －x 31-的值域。

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

函数值域十一种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。

思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域的方法（1）直接法：从自变量x 的围出发，推出y=f(x)的取值围；一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x 2-4x+5； （2）y=x 2-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2+2x+4, x ∈[0,+∞)（4）y=-x 4+2x 2+3； （5）y=221224x x x x+---； (6) y=4x +2x+1（7）y=2229(log )log 4x x -+； （8）y=sin 2x-sinx+94（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k xkx y ，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9x x+,（0＜x ≤2)；（4）y=x(6-x)； （5）y=212(4)4xx x ≥+,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域：（1）y=262x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）y=62sin 1x -（4） （2）y=13()4(1)2x x -+≤-； （3）y=2211log ()()42x x +>（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值围，通过解不等式，得出y 的取值围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. 【例4】求下列函数的值域：（1）y=11x x e e -+； （2）y=2sin 3sin xx+； （3）y=222x x +；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 【例5】求下列函数的值域：（1）y=x 3+arcsinx ； （2）y=1x xa a -(正常数a ≠1,x ≥1)；（3）y=412log (1)x +； （4）y=241()3xx-（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】（1）y x =+2）y x =【解】（1）设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（2）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-． （8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 【例7】（1）已知224x y +=，求函数u=3x+4y 的值域； （2）（3）对于圆x 2+(y-1)2=1上任一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，数m 的取值围；（4）求函数|1||4|y x x =-++的值域. 解：（2）设，则yxk y kx ==.问题转化为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1有公共点时，斜率的取值围问题。

如何用判别式法求函数值域
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。

一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。

下面是洪老师的高考必备资料库结合数学老师的教学实践进行探讨一下用判别式法求高中函数值域！
一、判别式法求值域的理论依据
二、判别式法求值域的适用范围
更多方法解高中函数值域！
在洪老师的高考必备资料库里，有一套63套解题方法大全！
其中，针对常见函数值域或最值的经典求法归纳汇总了10种方法。

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下面通览一下 常见函数值域或最值的经典求法的10种方法。

换元法求函数值域例题
换元法是高等数学中的一个重要概念，在函数值域的求解中起着关键的作用。

它可以将原函数转化为一个新的变量，从而简化函数表达式的形式，从而更容易求出函数的值域。

本文将为你提供一个换元法求函数值域的例题，并解释相关的参考内容。

例题：求函数f(x) = √(2x + 5) 的值域。

解答：要求函数的值域，我们首先需要知道函数的定义域。

显然，由于函数中存在根号，那么 2x + 5 的取值范围不能小于0，即2x + 5 ≥ 0。

解这个不等式得x ≥ -2.5，因此函数的定义域为[-2.5, +∞)。

接下来，我们可以使用换元法来求出函数的值域。

首先，让 y = √(2x + 5)，则原函数可以表示为 x = (y^2 - 5) / 2。

注意到，
对于函数y = √(2x + 5) 来说，y 只能取得大于等于0的值，即
y ≥ 0。

因此，我们只需要考虑 x 在定义域内的取值，即 x ∈ [-2.5, +∞)。

将 x = (y^2 - 5) / 2 代入定义域的范围，可以得到 y 的范围。

当
x = -2.5 时，y = √(2*(-2.5) + 5) = 0。

当 x 趋于正无穷时，y =
√(2*x + 5) 也趋于正无穷。

因此，我们可以得知 y ∈ [0, +∞)。

即 y 的范围是大于等于0的实数集。

综上所述，函数f(x) = √(2x + 5) 的值域为[0, +∞)。

换元法使
我们能够将原函数转化为新的变量，从而更容易理解和求解函数的性质。

函数值域求法十五种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

当然可以，以下是一个使用换元法求函数值域的例题，用1500字回答：题目：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的值域。

解答：首先，我们观察函数f(x)的形式，发现它具有形式$f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$，其中a为待定参数。

由于$f(x)$中含有一个常数项，我们可以利用换元法将其分离出常数项，从而得到一个更易于求解的值域问题。

步骤如下：1. 将原函数中的常数项分离出来，得到$f(x) = x(x-3)(x-1) + 1$。

2. 令$t = x-3$，则原函数变为$g(t) = t(t+1)(t-1) + 1$。

3. 由于$g(t)$中只含有一次项和二次项，因此可以利用求导的方法求出其极值点，从而得到值域。

具体步骤如下：1. 求导：$g^{\prime}(t) = 0 \Rightarrow t = - 1$或$t = 1$。

2. 当$t < - 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减；当$- 1 < t < 1$时，$g^{\prime}(t) > 0$，函数单调递增；当$t > 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减。

3. 极值点处的函数值为极值点。

在上面的步骤中，我们需要对每个情况进行讨论，找到合适的极值点处的函数值，并将其代入原函数的定义域中，求得最终的值域。

由于上述方法涉及到较复杂的讨论和推导过程，下面我们用具体数值来求解这个例子。

具体数值解法：假设定义域为$x \in [0,4]$，将原函数变形为：$f(x) = (x-3)^3 - (x-3) + 4$。

此时定义域变为[0,4]，可得到值域如下：当x=4时，ymin=7当x=0时，ymax=26所以函数的值域为[7,26]。

方法总结：换元法是一种常用的求函数值域的方法。

通过将原函数中的某个变量看作一个整体，利用另一个变量来替换原函数中的变量，从而将原函数转化为一个更易于求解的形式。