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初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
高中数学经典问题背景高中数学中有很多经典的问题背景，以下是其中一一些例子:1.等差数列与等比数列:等差数列和等比数列是高中数学的基础内容，涉及到很多实际问题，如存款.贷款、人口增长等。
这些问题背景可以帮助学生理解等差数列和等比数列的基本概念和性质。
2.函数与方程:函数与方程是高中数学的核心内容之一,涉及到很多实际问题，如物价、路程、面积、体积等。
这些问题背景可以帮助学生理解函数与方程的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
3.三角函数:三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到很多实际问题，如测量、航海、航空等。
这些问题背景可以帮助学生理解三角函数的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
4.立体几何:立体几何是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械制造、地理测显等。
这些问题背景可以帮助学生理解立体几何的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
5.概率与统计:概率与统计是高中数学中的重要内容之一，涉及到很多实际问题，如天气预报、医学诊断、金融投资等。
这些问题背景可以帮助学生理解概率与统计的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
6.数列与数学归纳法:数列与数学归纳法是高中数学中的重要内容之一。
涉及到很多实际问题，如计算机科学、物理学、化学等。
这些问题背景可以帮助学生理解数列与数学归纳法的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
7.不等式:不等式是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如资源分配、最优化问题等。
这些问题背景可以帮助学生理解不等式的基本概念和性质。
以及它们在实际问题中的应用。
8.解析几何:解析几何是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械制造、计算机图形学等。
这些问题背景可以帮助学生理解解析几何的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
以上只是部分例子，实际上高中数学中还有很多其他经典的问题背景。
这些问题背景不仅可以帮助学生理解数学知识，还可以提高他们的数学应用能力和解决问题的能力。
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。
微积分的基本概念和内容包微分学积分学。
但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。
十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。
1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。
流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。
所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。
高等数学融入思政元素——以定积分为教学案例1 教学过程1.1 背景的介绍为了探究圆的面积问题，我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆术”，利用已掌握的圆内接正多边形的面积，求得圆的面积。
也就是说我不会求圆的面积，但会求正多边形的面积，这时候我就考虑以直代曲，用正多边形代替圆，其作法是：首先作圆的内接正六边形得到面积A1，其次作圆的内接正十二边形形得到面积A2，用同样的方法继续作圆的内接正二十四边形得到面积A3，等等，圆的内接正6×2n-1邊形的面积An。
当n无限地增大时，圆内接正多边形越来越接近于该圆面积，误差也越来越小，为了减小误差我们取极限，则（圆的面积）。
在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的面积的极限是圆面积。
1.2 数学问题的提出在此阶段让学生体会到现实生活中遇到问题时，不要害怕惊慌，努力用自己掌握的知识来解决问题。
为达到此目的，给出一个以现有知识水平无法解决的问题作为引例，吸引学生与教师一起分析和探究，例如。
问题：我们中学没有现成的计算公式，而现在我们要解决这个问题。
自然而然的要用已经掌握的知识来求这个曲边三角形的面积。
仿照着割圆术的思想，以直代曲。
1.3 概念的建立通过图形如此下去会发现随着曲边梯形的分割，误差越来越小，为了减少误差取极限。
同理我们取最左侧（最小）的函数值作为高第二步将上述解决问题的方法提炼出来，得到定积分的定义。
1.4 知识巩固通过两个具体的例题，让学生进一步理解和掌握定积分的概念。
具体过程如下：例1计算由抛物线y=x2+1，两直线x=a，x=b（b>a）及x轴所围成的图形的面积。
例2已知自由落体运动的速度υ与时间t的关系为υ=gt（g为重力加速度）。
我们来计算从时刻t=8s到t=10s通过的路程。
1.5 课后思考练习题：用定积分表示下列极限2 教学效果的评价1）定积分是已经学习了微分和不定积分之后的知识内容，通过介绍刘徽“割圆术”，让学生感受到民族的自豪感和对中国文化的认同感，对比近代数学的落后又会激起学生学习的热情，增强他们的内忧外患意识，激起强烈的民族责任感。
数学是一门美妙而神秘的学科，它是人类文明进程中最重要的组成部分之一。
从我们的日常生活到科学研究，无处不在，数学是我们思考的工具和解决问题的途径。
所以，我们可以说数学探险是一场令人期待且无尽的旅程，从初等数学到高等数学的追溯是一次风景无限的探险。
数学的历史可以追溯到古埃及、古巴比伦和古希腊时期，但现代数学的起源可以追溯到17世纪的欧洲。
从初等数学开始，我们学习基本的概念，如加法、减法、乘法和除法。
这些基本运算在我们解决日常问题的过程中起着重要的作用。
例如，我们购物时使用加法来计算总价格，使用减法来计算找零金额。
在初等数学中，我们还学习了几何学，这是一门研究形状、大小和相对位置的学科。
通过学习几何，我们可以理解并描述物体的属性和变化。
例如，我们可以使用几何概念来计算房间的面积和体积，还可以使用几何概念来解决旅行路径等问题。
学习初等数学后，我们进入高等数学的领域。
高等数学更加深入和抽象，涵盖了微积分、线性代数、概率等课题。
微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化和衡量变化的规律。
通过微积分，我们可以解决许多现实生活和科学领域的问题。
例如，通过微积分，我们可以计算速度和加速度，解决质点的运动问题；我们也可以使用微积分来计算曲线下面积，并解决许多实际应用问题。
线性代数是另一个高等数学中重要的分支，它研究向量和线性方程组。
在现代科学和工程领域中，向量和矢量空间被广泛应用于模拟和解决实际问题，如人工智能、图像处理和金融分析等领域。
此外，概率论也是高等数学中的一个重要部分，它用于研究事件的可能性和发生的规律。
概率论在统计学、金融学、物理学等领域中起着重要的作用。
例如，我们可以使用概率论来计算股票市场中的风险，也可以使用概率论来解决赌博和游戏相关的问题。
总之，数学探险之旅从初等数学到高等数学是一次令人兴奋和有益的学习之旅。
通过掌握初等数学的基本知识，我们可以更好地理解世界和解决实际问题；通过学习高等数学，我们可以进一步深入探索数学的无限魅力，将其应用于现实生活和各个领域的科学研究中。
例说中学数学部分问题的高等数学背景
任何事物之间都是有联系的，初中数学和高等数学也不例外。
看似复杂的高考题背后用高等数学的一个定理就能很简单的解决，用高观点来看低问题往往就比较容易。
在近几年的高考中就出现了一些有着一定高等数学背景的试题, 这类题目形式新颖,既能开阔数学视野,有利于完成高等数学与初等数学的衔接, 又能有效地考查考生的学习潜能。
因此,这类以高等数学为背景的高考试题成为高考中的一道新风景。
所以,在中学数学教学中应注意高等数学思想和知识的渗透, 同时注意这方面的能力培养, 适当地对初等数学与高等数学的衔接处进行探究, 这样有利于提高学生分析、解决问题的能力。
下面我们就来看几个初中数学问题背后连接的高等数学定理。
一．以不动点原理为背景
不动点原理是高等数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或Banach 不动点定理,完整的表达;完备的距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点. 用初等数学可以这么理解:连续映射f的定义域包含值域, 则存在一个x使得f (x) = x。
例：对于函数f（x) ,若存在x0 ∈R,使f ( x0 ) = x0 成立,则称x0 为f ( x) 的不动点. 已知函数f ( x) = ax 2 + ( b + 1) x + ( b -1) ( a ≠0)
(1) 当a = 1 , b = - 2 时,求函数f ( x) 的不动点;
(2) 若对任意数b, 函数f ( x) 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;
解析: (1) 当a = 1 , b = - 2 时, f ( x) = x2 -x - 3 , 由题意可知x = x2 - x - 3 ,得x1 = - 1 , x2 = 3.所以,当a = 1 , b = - 2 时,求函数f(x)的不动点为- 1 ,3。
(2)因为f(x) = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1)( a ≠0)恒有两个不动点,所以x = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1) ,即a x 2 + bx+ ( b - 1) = 0 恒有两个相异的实数根,得Δ= b2 - 4 ab + 4 a > 0 ( b ∈R) 恒成立.于是Δ′= (4 a) 2 - 16 a < 0 ,解得0 < a < 1 ,所以,当b ∈R, f(x)恒有两个相异的不动点时, a 的取值范围为0 < a < 1。
根据函数f ( x) 的不动点的定义可知:不动点是方程f ( x) = x 的实数根. 本题中(1) 即是求方程f ( x) = x2 - x - 3 = x 的实数根x0; (2) 即是x = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1) ,即ax 2+ bx + ( b - 1) = 0 恒有两个相异的实数根,其对应的判别式Δ > 0. 通过如此转换, 我们就很快解决了一个陌生的问题。
因此, 我们一定要坚信:在高考阶段出现的以高等数学知识为背景的试题,一定可以转换到初等数学知识内容上来解决。
而问题
的关键是如何进行转换和过渡, 如何进行知识的正迁移,建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。
二．以闭区间上连续函数的介值性定理为背景
介值性定理：设f 在闭区间[ a , b] 上连续,且f (a) ≠f ( b) ,若μ为介于f (a) 与f ( b) 之间的任何实数f (a) < μ < f ( b) 与f ( a) >μ > f (b) ,则存在x0 ∈( a , b) 使f ( x0 ) = μ。
例：设函数f (x) = x -ln ( x + m) ,其中常数m 为整数。
(1) 当m 为何值时, f (x) ≥0 ;
(2) 定理: 若函数g (x) 在[ a , b] 上连续, 且g ( a) 与g ( b) 异号,则至少存在一点x0 ∈ ( a , b) ,使g ( x0 ) = 0。
试用上述定理证明:当整数m > 1 时, 方程f( x) = 0 在[e- m - m ,e2m ] 内有两个实根。
解析: (1) 函数f ( x) = x - ln ( x + m) , x ∈( - m , + ∞) 连续, 且f′( x) = 1 -1／x + m, 令f′( x) = 0 ,得x = 1 - m.当x ∈( - m ,1 - m) 时, f′( x) < 0 , f ( x) 为减函数, f ( x) > f (1 - m) ,当x ∈(1 - m , + ∞) 时, f′( x) > 0 , f ( x) 为增函数, f ( x) > f (1 - m) , 根据函数极值判别方法, f (1 - m) = 1 - m为极小值,而且对x ∈( - m , + ∞) 都有f ( x) ≥f (1 - m) =1 - m.故当整数m ≤1 时, f ( x) ≥1 - m ≥0。
(2) 证明:由(1) 知,当整数m > 1 时, f (1 -m) = 1 - m < 0 ,函数f ( x) = x - ln ( x + m) ,在[e- m - m ,1 -m] 上为连续减函数。
f (e- m - m) = e- m - m - ln (e- m - m + m) =e- m > 0。
当整数m > 1 时, f (e- m - m) 与f (1 - m) 异号,由所给定理知, 存在唯一的x1 ∈ (e- m - m ,1 - m) ,使f ( x1 ) = 0.而当整数m > 1 时,f (e2m - m) = e2m - 3m > (1 + 1) 2m - 3m >1 + 2m +2m (2m - 1) ／2- 3m > 0.类似地,当整数m > 1 时, 函数f ( x) = x -ln ( x + m) 在[1 - m ,e- m - m] 上为连续增函数且f (1 - m) 与f (e2m - m) 异号,由所给定理知,存在唯一的x2 ∈[1 - m ,e- m - m] ,使f ( x2 ) = 0。
故当m > 1 时, 方程f ( x) = 0 在[e- m - m ,e2m - m] 内有两个实根。
在高等数学中有些内容与中学数学比较靠近, 例如函数, 它既是中学数学的重要知识,也是在高等数学中继续深入研究的重要对象; 有些概念、结论只要稍作叙述,就能以中学数学的形式出现。
三．以极限定点为背景
极限是高等数学中微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限, 它们都是在无限变化过程中( n →∞, x →∞或x →x0 ) 的变化趋势. 数
列
极限的定义(或称之为极限的“ε- N”定义) 为:设{ an} 为一个数列, a 为确定的常数, 若对任意ε >0 , 存在正整数N ,当n > N 时,有| an - a | <ε,则称当n趋于无穷大时数列{ an} 收敛于a ,或说数列{ an} 的极限是a。
例：已知不等式1／2+1／3+…+1／n > 1／2[log2 n] , 其中n 为大于2 的整数,[log2 n] 表示不超过log2 n 的最大整数. 设数列{ an} 的各项为正, 且满足a1 = b ( b > 0) , an ≤nan- 1／n + an- 1, n = 2 ,3 ,4 , ⋯. ( Ⅰ) 证明an <2ba + b[log2 n], n = 3 ,4 ,5 , ⋯;
( Ⅱ) 猜测数列{ an} 是否有极限?如果有, 写出极限的值(不必证明) ; ( Ⅲ) 试确定一个正整数N ,使得当n > N 时,对任意b > 0 ,都有an <1／5 极限是高等数学教学的主线,是高等数学的核心内容,也是整个高等数学的基础.。
极限知识自从进入中学教材后就成为了每年数学高考的必考内容,但考查范围往往局限于求值问题。
本道高考题用不等式、整数部分函数“包装”而成的数列题,同时以高等数学中极限的定义“一剑封喉”,使得呆板、平淡的数学题充满了活力和无穷魅力。
上述例题我们都看到了每一道题目背后都有一个更深刻的思想指导这解题，初中数学与高等数学是紧密不可分割的。
我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用。
近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要。
