以高等数学为背景的高考数学试题的研究

高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。

关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。

教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。

”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。

所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。

其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。

罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。

因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。

我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。

我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。

极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。

!高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究#山东省烟台第三中学!杨新萍新课标背景下!数学高考试卷压轴题命题的视角愈发多元!其难易程度以及能力考查位于中等与高等之间!整合了竞赛类数学题目中典型知识点)问题)数学思想!而竞赛数学为高等数学的基础!其在高考试卷压轴题中的渗透是高中数学课改的最新尝试!以加大能力考查力度!对学生智力以及综合能力展开更精准的衡量!从而更好地发挥高考的选拔功能!因此!在高中阶段!溯源高考数学压轴题背景!是把控高考数学热点与方向的重要手段!本文基于此!从知识背景与方法背景两个层面展开高考数学压轴题溯源!并提出针对性备考教学设计方法!以为高中生数学复习提供有益参考!!高考数学压轴题背景溯源!1!知识背景目前高考数学压轴题的难度以及考查的主要内容介于中等与高等数学之间!与竞赛数学在思想)方法方面存在诸多融合之处!其中两者知识点的重合部分有'代数方程)三角函数)平面几何)初等数论等!而高考作为一次选拔性考试!其命题过程中始终遵循以能力意志为基础的原则-且课程标准提倡尊重学生个性差异!从不同角度学习数学!而在高考命题中也充分体现这一特点!压轴题的出现则是加深试卷整体深度!对学生思维品质与综合能力展开更高标准的考查!其中借鉴了诸多竞赛数学题目)思想)理念!因此!从知识背景溯源应考虑高考命题与竞赛数学结合后题型)考点的创新!以函数问题为例'高考试题 %#((%年广东卷&设函数-%"&在%&K !$K &上满足-%#&"&%-%#$"&!-%'&"&%%'$"&!且在闭区间5(!'6上!只有-%!&%-%$&%(!问题'%!&试判断函数#%-%"&的奇偶性-%#&试求方程-%"&%(在闭区间5&#((%!#((%6上的根的个数!并证明结论!竞赛试题 %!3&"年第二节美国数学邀请赛&函数-定义在实数域上!且满足如下条件'对任何实数"!-%#$"&%-%#&"&!-%'$"&%-%'&"&!如果"%(是-%"&%(的一个根!那么-%"&%(在区间&!(((&"&!(((中至少应有几个根$两个题目的条件以及问题都具有相似性!高考试题仅在试题的问题上以及已知条件中做了简单改动!考查学生对函数单调性)周期性等知识点的掌握!主要测试学生的运算能力与思维能力!!1"方法背景除了考查知识点)命题思想等知识层面与竞赛数学试题的关联!在数学方法上也存在直接的联系!例如!对极端原理的考查!通过已知条件对研究对象极端情况的约束!研究数学题目中的某种极端性质!用于解题的思想)方法及研究都被称作极端原理!利用该原理解决数学问题过程中!重点应放在全面讨论问题的极端情况上!如果已知条件发现矛盾或特殊性质!极端情况往往隐藏其中!这是竞赛数学中频繁出现的数学问题解决方法!如最小)最大原理!最短)最长原理等都是竞赛数学的高频考点!而在高考中极端原理题目也经常出现!如'高考试题 %#((%年辽宁卷&已知#%-%"&是定义在*上的单调函数!实数"!5"#!&5!!!%"!$&"#!$&!'%"#$&"!!$&!若-%"!&(-%"#&$-%!&(-%'&!则%!!&!4!&$(J !&%()!($&$!!?!&+!"高考数学压轴题备考教学设计方法高考为一场选拔性考试!其侧重基础知识考查兼能力测试!因此!在试卷的命题上其多以基础数学知识)基础数学思想)基础数学技能为主!主要考查的能力有空间想象能力)运算能力)思维能力等!在保持命题方向基本不变的情况下!借鉴竞赛数学的基础问题提高试卷难度!从更多元的视角考查学生能力!因此!在备考环节可广泛借鉴数学竞赛试题的思想与方法!#"#(##年$月上半月备考指南复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!具体策略如下'"1!借鉴法即将竞赛数学中的基础思想)命题直接移植到备考习题当中'或摘取竞赛数学试题当中的某些设问方法)已知条件)结论片段运用到备考习题设计当中!以上述高考试题!为例!其仅对竞赛试题的已知条件与设问方法做出了简单的调整!更多直接借鉴其条件与结论!但从借鉴问题的具体过程来看!虽然条件做出了改变!但是方法基本不变!而这种大范围借鉴的情况并不多见!小范围借鉴案例颇多!高考试题 %#((&年江西卷&如图!所示!正三棱锥="678的三条侧棱=6)=7)=8两两垂直!且长度均为#!<)3)L分别为67)68)<3的中点!过<3作平面与侧棱=6)=7)=8或其延长线分别交于6!)7!)8!!已知=6!%$#!求证7!8!1平面=6L!求二面角="6!7!"8!的大小!图!图#竞赛试题 %!33%年全国联赛&如图#所示!设=为正三棱锥+"678的底面正@678的中心!过点=的动平面与三条侧棱或其延长线的交点分别是C)A)>!求'!+C$!+A$!+>是定值!(%(为侧棱长&!两道试题在条件上具有相同性!高考试题将设问转变!但仍为相同问题的两种不同表述方式!且所给图形仍然具有一致性!"1"改造法简单理解借鉴法多为直接移用竞赛原试题!容易引发对考试公平性的争议!因此!高考数学压轴题也利用改造法!更改竞赛试题原来的面貌!以竞赛试题为骨架或模型!经过加工与改编使试题重新回到备考试题当中!采用改造法由高考不得不面对的诸多现实问题决定!如新课改背景下!要求高考进行试题创新!不得使用陈题!为确保题目的新颖性!改造法成本最低)效果最佳-且竞赛试题是经由数学专家)学者苦心设计的!其集中反馈出数学研究兴趣!目前常用的改造方法如下'%!&数据变换!高考试题 %#((%年江西卷&已知数列,(1的各项都是正数!且((%!!(0$!%!#(0%"&(0&!0--!证明(0$(0$!$#!0---求解数列,(01的通项公式(0!竞赛试题 %!3&%年加拿大数学奥林匹克竞赛&设!$"!$#!对于0%!!#!$!00!定义"0$!%!$"0&!#"#0!求证对于0+$!有"0&槡#$#&0!%#&化繁为简!高考试题 %#((&年全国卷!&如图$所示!环形花坛被分成四块!有"种花供本次选种!要求每块里种一种花!且相邻两种种类不同!问'共多少种种法$竞赛试题 %#((!年全国高中数学联合竞赛&在正六边形的6)7)8);)<)3六个区域种植观察植物!如图"所示!要求每块种一种植物!相邻两块植物种类不同!现有"种植物可供选择!栽种方案有多少种$图$图""1#渗透法即选择竞赛试题中的定理进行加工)改造!渗透原题目的思想!使试题焕然一新!高考试题 %!330年全国卷&已知(!)!5为实数!函数-%"&%("#$)"$5!G%"&%("$)!当&!&"&!时!-%"&&!!求'%!&5&!-%#&当&!&"&!时!G%"&&#-%$&(,(!当&!&"&!时!G%"&的最大值为#!求-%"&!竞赛试题 %美国第六届普特南竞赛&设()))5-*!-%"&%("#$)"$5!当"&!时!-%"&&!!证明当"&!时!#("$)&"!通过对高考数学压轴题的溯源!了解命题人的意图)命题思维!在备考阶段可逐步渗透所涉及的数学思想)方法!使学生提前了解)适应试题思路!形成应对策略体系!参考文献*!+犹广江!立足教材$全面构思$注重导向!!!命制一道中考模拟压轴题的心路历程*,+!中学数学&下($#(!3&"(!*#+张宁!关注倍角模型$破解中考压轴题!!!等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用*,+!中学数学&下($#(!&&!((!$$"复习备考备考指南#(##年$月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

高观点下的高考数学函数问题晋江二中 林建彬摘要：在高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现，比如函数的凹凸性，函数的拐点，函数的有界性，函数的封闭性等。

在近年的高考试题中，经常会出现以高等数学知识为背景的试题，这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨。

关键词：高观点 高考数学 高题低做高中数学是高等数学的准备和基础，高等数学是初等数学的延伸和发展，高考作为高校的选拔性考试一直关注这两者的衔接点，从这个角度设计的试题，观点高，立意新，对中学教学具有良好的导向作用，因此以高等数学丰富的内容为感性材料，适当移植，可产生适合于高中教学的数学问题，这正是高中数学教学研究所关注的一个课题。

一． 函数的凹凸性【知识背景】 观察抛物线2y x =，y ，它们在区间(0,1)都是单调递增，但弯曲的方向不一样。

这说明，在研究函数的图形时，仅知道他们的单调性是不够的，还需要考察曲线的弯曲方向-----函数的凹凸性。

定义： 设()f x 定义于[,]a b ，12,[,]x x a b ∀∈若1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-，01t <<则称()f x 为[,]a b 上的凸（上凹）函数，如图1所示;若1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≥+-，01t <<则称()f x 为[,]a b 上的凹（下凹）函数，如图2所示。

（注：函数的凹凸性是由函数的图像由下而往上看得来的概念） 特别地，当12t =时有下面的推论： 设()f x 定义于[,]a b ，12,[,]x x a b ∀∈， 若1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[,]a b 上的凸（上凹）函数。

以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。

给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。

关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。

由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。

下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的种证法及推广２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的６种证法及推广Һ贾方正㊀（安徽省颍上第一中学，安徽㊀阜阳㊀２３６２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ对高考试题的研究既有利于教师明确考试重点和命题方向，也有利于学生总结解题技巧与方法，对高考备考具有非常积极的影响．２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题 解析几何综合题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及其运算，具有很好的区分度．笔者对其进行了深入探究，给出该题的６种证明方法，并对试题进行推广，希望借此帮助相关教师总结教法，帮助学生提高解题效率．ʌ关键词ɔ２０２３年高考；全国乙卷；解析几何；推广试题承担着对较高水平考生的鉴别任务，通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才．２０２３年高考试题对考生的能力要求较高，呈现出 反刷题 的现象，要求考生从 机械刷题 和 题海战术 中跳出来．其中的全国乙卷理科第２０题，以高等几何中的极点与极线为命题背景，注重对数学本质及其应用性的考查，具有很好的选拔功能．一㊁真题再现２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题如下：已知椭圆Ｃ：ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率是５３，点Ａ（－２，０）在Ｃ上．（１）求Ｃ的方程；（２）过点（－２，３）的直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴的交点分别为Ｍ，Ｎ，证明：ＭＮ的中点为定点．二㊁证法探究（１）由题意得ｂ＝２，ａ２－ｂ２ａ＝５３，解得ａ２＝９．所以Ｃ的方程为ｙ２９＋ｘ２４＝１．下面重点探究第（２）问．证法１㊀如图所示，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），则直线ＡＰ：ｙ＝ｙ１ｘ１＋２（ｘ＋２），ｙＭ＝２ｙ１ｘ１＋２．设Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），同理可得ｙＮ＝２ｙ２ｘ２＋２．设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ＭＮ的中点Ｄ（０，ｙＤ），则ｙＤ＝ｙＭ＋ｙＮ２＝ｋ（ｘ１＋２）＋３ｘ１＋２＋ｋ（ｘ２＋２）＋３ｘ２＋２＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）．由ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）㊃（ｘ＋２）２＋１２（２ｋ－３）（ｘ＋２）＋３６＝０，所以（ｘ１＋２）＋（ｘ２＋２）＝１２（３－２ｋ）４ｋ２＋９，（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３６４ｋ２＋９，所以ｙＤ＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法２㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），显然ｋ存在，故设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．由ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）ｘ２＋（１６ｋ２＋２４ｋ）ｘ＋１６ｋ２＋４８ｋ＝０．因为Δ＝－１７２８ｋ＞０，所以ｋ＜０．不妨令ｘ１＞ｘ２，故ｘ１＝－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９，ｘ２＝－８ｋ２－１２ｋ－１２－３ｋ４ｋ２＋９．㊀㊀㊀㊀㊀所以ｙ１＝－８ｋ３－１２ｋ２＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９＋２ｋ＋３＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９，同理ｙ２＝１８ｋ＋２７－１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９．于是直线ＡＰ：ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９＋２（ｘ＋２），化简，得ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ（ｘ＋２）．令ｘ＝０，则点Ｍ的纵坐标为３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ．同理得点Ｎ的纵坐标为３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ．所以３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ＋３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ＝２ˑ（３６ｋ＋５４）（１８－１２ｋ）＋６ˑ２８８ｋ２（１８－１２ｋ）２＋４３２ｋ＝６（４ｋ２＋９）４ｋ２＋９＝６．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法３㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），直线ＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），直线ＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），显然ｋ１，ｋ２存在且ｋ１ʂｋ２，则ｙＭ＝２ｋ１，ｙＮ＝２ｋ２．由ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｙ２９＋ｘ２４＝１，ìîíïïï得（４ｋ２１＋９）ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－３６＝０．故－２ｘ１＝１６ｋ２１－３６４ｋ２１＋９，ｘ１＝１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９，ｙ１＝３６ｋ１４ｋ２１＋９．同理ｘ２＝１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９，ｙ２＝３６ｋ２４ｋ２２＋９．因为直线ＰＱ过点（－２，３），所以（ｙ１－３）（ｘ２＋２）＝（ｙ２－３）（ｘ１＋２）．所以３６ｋ１４ｋ２１＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９＋２æèçöø÷＝３６ｋ２４ｋ２２＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９＋２æèçöø÷，化简，得［３－（ｋ１＋ｋ２）］（ｋ１－ｋ２）＝０，即ｋ１＋ｋ２＝３．故２ｋ１＋２ｋ２２＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法４㊀（同构方法）设Ｔ（－２，３），ｌＡＭ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＮ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．联立ｙ＝ｍ（ｘ＋２）与ｙ２９＋ｘ２４＝１，得Ｐ１８－８ｍ２４ｍ２＋９，３６ｍ４ｍ２＋９æèçöø÷．同理得Ｑ１８－８ｎ２４ｎ２＋９，３６ｎ４ｎ２＋９æèçöø÷，ʑＴＰң＝３６４ｍ２＋９，３（１２ｍ－４ｍ２－９）４ｍ２＋９æèçöø÷．同理ＴＱң＝３６４ｎ２＋９，３（１２ｎ－４ｎ２－９）４ｎ２＋９æèçöø÷．由Ｔ，Ｐ，Ｑ三点共线，得到１２ｍ－４ｍ２－９＝１２ｎ－４ｎ２－９，即（ｍ－ｎ）（ｍ＋ｎ－３）＝０，又ｍʂｎ，所以ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：上述证法用了同构的思想，看起来过程比较多，实际上只算了点Ｐ和ＴＰң，而点Ｑ与ＴＱң都是类比得到的．同时可知，ＭＮ的中点为定点等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ为定值．证法５㊀（曲线系方法）设ｌＡＰ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．经过Ａ，Ｐ，Ｑ三点的二次曲线方程为［ｙ－ｍ（ｘ＋２）］［ｙ－ｎ（ｘ＋２）］＝０，即ｙ２－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０．椭圆方程ｙ２９＋ｘ２４＝１可化为ｙ２＝９４（２＋ｘ）（２－ｘ），消去ｙ２，得９４（ｘ＋２）（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０，再消去一个（ｘ＋２），得９４（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）ｙ＋ｍｎ㊃（ｘ＋２）＝０，这就是直线ＰＱ的方程，又直线ＰＱ经过（－２，３），所以９－３（ｍ＋ｎ）＝０，即ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：该题的本质是证明直线ＡＰ，ＡＱ的斜率之和为定值，而二次曲线系是证明两直线的斜率之和为定值的 利器 ．证法６㊀（齐次化方法）易知直线ＡＰ，ＡＱ的斜率存在，分别设为ｋ１，ｋ２，则ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），令ｙ＝０得Ｍ（０，２ｋ１），Ｎ（０，２ｋ２），所以线段ＭＮ的㊀㊀㊀㊀㊀㊀中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２）．下面证明ｋ１＋ｋ２为定值．设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｌＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．ｙ２９＋ｘ２４＝１⇒９（ｘ＋２－２）２＋４ｙ２＝３６⇒９（ｘ＋２）２－３６（ｘ＋２）＋４ｙ２＝０．将其与ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３联立，得９（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）［ｙ－ｋ（ｘ＋２）］＋４ｙ２＝０，即（９＋１２ｋ）（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）ｙ＋４ｙ２＝０，即４ｙｘ＋２æèçöø÷２－１２ｙｘ＋２æèçöø÷＋（９＋１２ｋ）＝０，由韦达定理得ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２＝３．又因为ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以ｋ１＋ｋ２＝３，即线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．点评：由于线段ＭＮ的中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２），所以解题的关键是证明ｋ１＋ｋ２是定值．而ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以考虑将ｘ＋２作为整体，构造齐次方程，然后利用韦达定理求解，这样可以简化运算，提高解题效率．三㊁试题推广推广１㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ａ（－ａ，０），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（０，ｂ）．类似可得：推广２㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ｂ（０，ｂ），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＢＰ，ＢＱ与ｘ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（－ａ，０）．设Ｔ（－ａ，ｂ），Ａ（－ａ，０），Ｂ（０，ｂ），则ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，即ＡＢ是切点弦．而ＭＮ的中点为定点（０，ｂ）等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝２ｋＡＢ．于是可将问题再推广如下：推广３㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），顶点Ａ（－ａ，０）．点Ｔ是直线ｘ＝－ａ上任意一点，过点Ｔ作椭圆的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，过点Ｔ作直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．证明㊀设Ｔ（－ａ，ｔ），则ＡＢ是Ｔ的切点弦所在的直线，方程为－ａｘａ２＋ｔｙｂ２＝１，故ｋ＝ｂ２ｔａ．设ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），{可得（ｂ２＋ａ２ｋ２１）ｘ２＋２ａ３ｋ２１ｘ＋ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２＝０．由ｘＡ㊃ｘＰ＝ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２ｂ２＋ａ２ｋ２１及ｘＡ＝－ａ，得ｘＰ＝ａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，故Ｐａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，２ａｂ２ｋ１ｂ２＋ａ２ｋ２１æèçöø÷．设ｌＰＱ：ｙ＝ｍ（ｘ＋ａ）＋ｔ，将点Ｐ代入，化简，得ａ２ｔｋ２１－２ａｂ２ｋ１＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，同理得ａ２ｔｋ２２－２ａｂ２ｋ２＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，所以ｋ１和ｋ２是方程ａ２ｔｘ２－２ａｂ２ｘ＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０的两个根，所以ｋ１＋ｋ２＝２ａｂ２ａ２ｔ＝２ｂ２ａｔ．因此，ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．四㊁试题再推广把试题进行进一步推广可得到如下更一般的情形，其证明留给读者完成．设Ｔ是椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）外一定点，ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，其中Ａ，Ｂ是切点．过Ｔ的直线与椭圆Ｃ交于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．结㊀语试题的解决过程也是考生经历猜想和假设㊁转化和化归㊁实验和论证等问题研究的过程．教师通过对高考试题进行深度研究，可促进自身的专业发展，从而更好地服务于教学．该题虽然证明的是线段的中点为定点，但实质是证明直线的斜率之和为定值．对于定值问题，解决的方法主要有常规方法㊁同构方法㊁曲线系方法㊁齐次化方法等．有兴趣的读者还可以对该题的高等数学背景进行深度探究，然后基于高等数学背景对该题进行推广，还可以对该题进行改编，甚至基于极点与极线命制出高质量的原创题．ʌ参考文献ɔ［１］罗文军．多视角切入，巧方法运用 ２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的探究［Ｊ］．广东教育（高中版），２０２３（９）：２０－２３．［２］李歆．数学问题：因变化而精彩 对一道经典三角题的变式探究［Ｊ］．中学数学，２０１３（１１）：２１－２３．［３］田甜，曹文栋，李誉．高考试题中数学表征转换水平比较研究 以新高考Ⅰ卷㊁全国乙卷及北京卷为例［Ｊ］．内江师范学院学报，２０２３，３８（８）：６－１２．［４］佟俊姬．夯实基础知识，落实立德树人２０２３年高考数学全国乙卷评析［Ｊ］．数学之友，２０２３，３７（１３）：８９－９１．。

高考数学论文(5篇)高考数学论文(5篇)高考数学论文范文第1篇一、近年来高考试题中涉及工科高等数学学问的考题类型及难度分析1、涉及函数与极限部分的试题这部分试题大都以客观题的形式消失，分值不大，难度中等或较低，只需结合初等数学学问作简洁整理和代入。

但是同学必需娴熟把握简洁极限的求法以及函数连续的定义。

如（2021年陕西12题），（2021年湖北6题），（2021年四川5题）2、涉及导数及其应用部分的试题此类试题考试形式敏捷，涉及导数的几何意义、单调性、极值、最值、不等式的证明以及实际应用问题等，所占分值在12分左右。

客观题难度较低，主观题其次小问通常有肯定难度，而且有些问题需要借助于高等数学的定理来证明（例6需要拉格朗日定理作依托）。

完整解答问题需要同学具有良好的数学素养，能全面考察同学力量。

如（2021全国大纲卷8题），（2021安徽17题），（2021辽宁21题），（2021福建18题）3、涉及向量及其运算的试题直接涉及向量内积、向量夹角、向量间关系试题多以客观题形式消失，立体几何中证明线、面平行、垂直、求动点的轨迹、最值等“动态”型问题通常以主观题形式考查且分值都在10份以上。

主要考察同学用向量学问识把抽象的空间图象关系、空间中的点、线、面的位置关系转化为详细的数量关系，降低思维难度，淡化推理论证，简化思维过程的力量。

如（2021安徽13题），（2021全国大纲卷19题），（2021江苏15题）4、涉及定积分的试题由于新课程标准的实施，涉及定积分制试点的试题消失在近年来全国新课标卷中，基本是以客观题的形式消失，分值不高，主要考查定积分的定义、几何意义以及简洁的计算。

如（2021全国新课标9题）除了涉及高等数学的学问点外，高考命题越来越注意“力量立意”。

增加了有关数学建模思想、数学算法思想以及数学探究等开放性试题，在考查同学一般数学力量（思维力量、计算力量、空间想象力量）的基础上，全面地测量同学观看、试验、联想、猜想、归纳、类比、推广等思维活动的水平以及抽象、概括并建立数学模型的力量。

教育研究课程教育研究58 学法教法研究的苦心钻研的精神和对数学发展的贡献。

这不仅使学生们了解了这些数学知识背后所隐藏的故事，还能让他们对这些数学公式和概念有了深刻印象，帮助他们吸收数学知识。

就比如给学生讲述勾股定理时，可以向学生介绍毕达哥拉斯学派和其他学派对几何学发展所做出的贡献：人类史上首次发现数学的研究对象是抽象；发现了勾股定理和提出了三角形的内角之和的度数为180°，还发现了无理数的存在等。

特别是发现了无理数之后，对数学史的发展产生了很大的影响[2]。

三、结束语数学史融入到数学教学中不能过于生硬，融入的最终目的是为教学提供帮助，通过对数学史来增强学生对数学概念的理解，并提高课堂效率。

如果脱离这一目的，那最终数学史只会成为课堂上可有可无的部分。

参考文献：[1]张小明，汪晓勤.中学数学教学中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报，2009，18（04）：89-92.[2]包吉日木图.中学数学教学中融入数学史的调查研究[D].内蒙古师范大学，2007.高等数学视角下的中学数学研究裘庆庆（江西省南昌市洪都中学 江西 南昌 330000）引言在新的一轮基础教育课程改革后，教育部已经要求高等学校的招生制度要贴合国家推行的素质教育，增加了对学生综合素质的考查。

在这个新的改革制度下，近几年的高考数学试题中也隐隐浮现出高等数学的影子。

目的就是为了考查学生对数学的灵活运用和自我创新能力，而不是死板地照着高考练习题刷题训练。

同时，随着“高观点”看中学数学的不断研究，在未来的高考教育中也会加入更多的高等数学元素，这是一个非常有益的良性循环。

一、高等数学视角下的中学数学研究（一）研究的可行性（1）“高观点”对课程的影响我国的数学课程在新的一轮课程改革后，在维持了基础知识教学和基本技能训练的教学水准上，同时增加了很多微积分的内容，把数据分析能力、概率统计等知识作为新课程的基础和学生必须要掌握的能力；并且，删去了很多机械化的计算、技巧化超标的难题。