第1讲变化率与导数导数的运算

变化率与导数、导数的运算
【基础梳理】
1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1,若Δx
＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx。

2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即
x
y
x f x ∆∆=→∆0`lim
)(。

(2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m
Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
为f (x )的导函
数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式
①若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；
②若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1
；
③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； ④若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；
⑤若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ；
⑥若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x
；
⑦若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1
x ln a ； ⑧若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1
x .
5．导数四则运算法则
①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
③`
)()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 注：
1、一个区别：曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
2、两种法则:(1)导数的四则运算法则．(2)复合函数的求导法则．
3、三个防范:①利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆；②要正确
理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．③正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
【双基自测】
1．下列求导过程中 ①`)1(x
＝－1x 2；②(x )′＝12x ；③(log a x )′＝1x ln a ；④(a x )′＝a x ln a 其中正确的个数是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )．
A ．2(x 2－a 2)
B ．2(x 2＋a 2)
C ．3(x 2－a 2)
D ．3(x 2＋a 2)
3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1
2在点M )0,4
(π处的切线
的斜率为( )．
A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0) 【典型例题】 考向一 导数的定义
【例1】利用导数的定义求函数f (x )＝x 3
在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点．
注：利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li m
Δx →0 Δy
Δx . 【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
考向二 导数的运算
【例2】求下列各函数的导数： (1)y ＝x ＋x 5＋sin x
x 2；
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；
(3))4
cos 21(2sin 2x x y -=；
(4)y ＝11－x ＋1
1＋x ；
注：(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数： (1) y ＝x n e x ；
(2) y ＝cos x sin x
；
(3) y ＝e x ln x ；
(4) y ＝(x ＋1)2(x －1)．
考向三 求复合函数的导数 【例3】求下列复合函数的导数． (1) y ＝(2x －3)5
；
(2) y ＝3－x ；
(3) )3
2(s i n 2
π
+=x y ；
(4) y ＝ln(2x ＋5)．
注：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数： (1) y ＝x 2＋1；
(2) y ＝sin 22x ；
(3) y ＝e －
x sin 2x ；
(4) y ＝ln 1＋x 2.
考向四 求曲线的切线方程 【例4】已知函数12
ln )(-+
+=x
x x x f ，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程。

注： 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【强化训练】 一、填空题
1．已知f (x )＝x 2
＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于________． 2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3
在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a
b 为________．
3．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．
4．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．
5．已知各项均为正数的等比数列{a n }；满足a 1a 7
＝4，a 6＝8，函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则)2
1('
f ＝________. 6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 7．若曲线y ＝x ＋1x －2在x ＝1处的切线与直线x ＋by
＋1＝0垂直，则实数b 的值为________． 8．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．
9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＞0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)
f ′(0)的最小值为________．
10．已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数
⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,12
10,)21(2)(2
x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________． 二、解答题
11．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲
线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．
12．已知函数y ＝f (x )＝ln x
x ，求函数y ＝f (x )的图象
在x ＝1
e 处的切线方程；。