二次函数与根与系数关系综合运用(最新整理)

中考压轴题之——二次函数与根与系数关系（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．FMNN 1M 1 F 1 Oyx l第22题图y xBAO图1F Ey xBAO1、如图，已知抛物线y=-x ²+3x+6交y 轴于A 点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n 个单位长度后与直线AC 交于心对称，求n 的值。

3、如图，已知抛物线y=x ²-4x+3，过点D(0，-2)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。

* 例7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、 B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．* 例8 如图，抛物线4)(22c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。

二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。

在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。

一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。

二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。

即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。

2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。

3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。

- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。

二次函数的根与系数的关系二次函数是一种常见的数学函数形式，通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。

在二次函数中，根是函数图像与 x 轴相交的点，也就是函数的零点或解。

本文将探讨二次函数的根与系数之间的关系。

1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

这里的 a 是最重要的系数，它决定了二次函数的开口方向和开口的大小。

2. 二次函数的根为了确定二次函数的根，需要解方程 f(x) = 0。

根据求根公式（也称作二次公式），根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 根与系数的关系根与系数之间有着密切的关系，可以通过系数的值推断根的性质。

3.1 开口方向当 a > 0 时，二次函数开口向上，拥有最小值，也就是抛物线的顶点。

当 a < 0 时，二次函数开口向下，拥有最大值，同样是顶点。

3.2 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3.3 根的个数根的个数与判别式有关，判别式（也称为二次方程的判别式）可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac若Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实数根；若Δ < 0，则方程没有实数根。

3.4 根之间的关系对于有两个实数根的二次函数：设 x1 和 x2 分别为两个根，且 x1 < x2，则 x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。

4. 根与二次函数图像根与二次函数的图像之间有着密切的联系。

当根为实数时，二次函数图像与 x 轴相交；当根为负数或复数时，二次函数图像则不与 x 轴相交。

5. 例题分析假设有二次函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，我们可以根据函数的系数计算根的性质和其他相关信息。

根与系数的关系公式8个根与系数之间存在以下8个关系公式：1.二次方程的根与系数的关系公式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，它的两个根可以通过以下公式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.一元三次方程的根与系数的关系公式：对于一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0，它的根可以通过三角恒等式表示：x = (√3 R cos(θ/3) - b)/(3a), (√3 R cos((θ+2π)/3) -b)/(3a), (√3 R cos((θ+4π)/3) - b)/(3a)其中 R = ∛(q + √(q^2 + p^3)), q = (3ac - b^2)/(9a^2), p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3)3.一元四次方程的根与系数的关系公式：对于一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a ≠ 0，它的根可以用四舍五入的方法获得。

但在实际情况中，它的根通常是通过数值方法，如牛顿迭代法等获得。

4.一元五次方程的根与系数的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

5.一元二次方程的系数与根的关系公式：如果一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 p 和 q，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q)c = pq6.一元三次方程的系数与根的关系公式：如果一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根为 p，q 和 r，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r)c = pq + qr + rpd = -(pqr)7.一元四次方程的系数与根的关系公式：如果一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 的根为 p，q，r 和 s，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r+s)c = pq + qr + rs + spd = -(pqr + qrs + rsp + spq)e = (pqr)s8.一元五次方程的系数与根的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。

其中 x 称为自变量，y 称为因变量。

在二次函数中，最重要的就是函数的根。

根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。

它可以是一个实数或者是一个复数。

在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。

首先，我们来看一个二次函数的图像。

当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。

当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。

当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。

此时的图像是一条直线。

对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。

求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。

也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。

但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。

我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。

首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。

由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。

可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。

反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。

从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。

也就是说，x1和x2就是二次函数的根。

接下来，我们来推导方程没有实根的情况。

当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。

例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2 +2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=（1+k 2）（x 1﹣x 2）（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2k•k+2=k 4+5k 2+4，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 为直角三角形．如图，已知抛物线y=x ²-4x+3，过点D(0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线M的解析式。

二次方程的根与系数的关系二次方程是一个常见的数学概念，它的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

解决这个方程的关键是求出它的根，也就是满足方程的x值。

本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并解释这些关系对解的影响。

1. 一元二次方程的一般解法为了求解二次方程，我们可以使用以下一般解法：1) 判断Δ = b² - 4ac的值：若Δ > 0，则方程有两个不同实根；若Δ= 0，则有两个相同实根；若Δ < 0，则没有实根；2) 计算根的值：若Δ > 0，则实根为x₁ = (-b + √Δ) / 2a和x₂ = (-b - √Δ) / 2a；若Δ = 0，则实根为x₁ = x₂ = -b / 2a。

2. 二次方程根与系数之间的关系接下来，我们将讨论二次方程的根与系数之间的关系。

假设方程的根为x₁和x₂，则有以下关系：1) 根的和与系数的关系：x₁ + x₂ = -b / a。

这意味着二次方程的根的和与系数b和a之间存在着特定的关联。

例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的和为x₁ + x₂ = -3 / 1 = -3。

2) 根的乘积与系数的关系：x₁ * x₂ = c / a。

同样地，二次方程的根的乘积与系数c和a之间也有着特定的关系。

例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的乘积为x₁ * x₂ = 2 / 1 = 2。

这两个关系可以帮助我们更好地理解二次方程的性质和解的特点。

3. 根与系数的例题分析为了更加具体地说明根与系数之间的关系，我们来看几个例题。

例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。

首先，我们可以计算出Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 1，由于Δ > 0，该方程有两个不同实根。

根据一般解法，我们可以得到根的计算公式：x₁ = (5 + √1) / 2(1) = 3，x₂ = (5 - √1) / 2(1) = 2。

二次函数与二次方程的根与系数的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。

本文将探讨二次函数与二次方程的根与系数的相互关系。

1. 二次函数的定义及一般形式二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。

在二次函数中，x 是自变量，f(x) 是因变量。

二次函数的图像通常是一个抛物线。

2. 二次方程的定义及一般形式二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。

在二次方程中，x 是未知数。

求解二次方程的根可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法得到。

3. 二次函数的根与系数的关系对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，可以推导出以下关系：3.1 零点等于根二次函数的零点即为函数的根，也就是函数图像与 x 轴相交的点。

根据二次函数的定义，当 f(x) = 0 时，求解该方程可以得到二次函数的根。

如果二次函数有两个不同的实根，那么方程必有两个不同的解。

如果二次函数有一个重根（两个根相等），那么方程也有一个重解。

3.2 判别式与根的关系对于二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式 D = b² - 4ac 可以用来判断方程的根的性质。

当判别式 D > 0 时，方程有两个不同实根；当 D = 0 时，方程有一个重实根；当 D < 0 时，方程没有实根，有两个虚根。

3.3 根与系数的关系根与系数之间存在着一一对应的关系。

对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，根据求根公式可得：根 x₁ = (-b + √D) / (2a)根 x₂ = (-b - √D) / (2a)可以发现，根与系数 a、b、c 之间存在着明确的线性关系。

根的值受到系数的影响，不同的系数会导致不同的根的取值。

二次方程的根与系数之间的关系二次方程是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，以便更好地理解和应用二次方程。

一、二次方程的定义与一般形式二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

方程中的变量x代表未知数，而a、b、c则是方程的系数。

二、二次方程的求根公式对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过求根公式来求解它的根。

求根公式如下：-b ± √(b^2 - 4ac)x = -----------------------2a其中，±代表两个不同的根，√表示开平方，b^2 - 4ac称为判别式。

三、判别式与根的关系判别式b^2 - 4ac对于二次方程的根具有重要意义，通过判别式可以判断根的性质。

1. 当判别式大于0时，即b^2 - 4ac > 0，方程有两个不同的实数根。

这是因为当判别式大于0时，会出现开根号的情况，从而得到两个不同的根。

2. 当判别式等于0时，即b^2 - 4ac = 0，方程有两个相等的实数根。

这是因为当判别式等于0时，开根号后得到的结果为0，因此只能得到一个相等的根。

3. 当判别式小于0时，即b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根。

这是因为当判别式小于0时，无法进行开根号运算，因此方程没有实数根。

四、根与系数之间的关系通过求根公式可以得到二次方程的根与系数之间的关系。

1. 根的和与系数之间的关系对于方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根分别为x1和x2。

根的和可以表示为x1 + x2 = -b / a。

这个等式表明，根的和与二次方程的一次项系数-b的相反数成比例，而比例常数为二次方程的二次项系数a的倒数。

2. 根的积与系数之间的关系对于方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根分别为x1和x2。

根的积可以表示为x1 * x2 = c / a。

高中数学代数二次方程根与系数关系在高中数学学习中，二次方程是一个重要的内容。

二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，掌握这些关系对于解题非常有帮助。

本文将通过具体的例子，分析二次方程根与系数的关系，并给出解题技巧和指导。

一、二次方程的一般形式及根的求解方法二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq0$。

要求解二次方程的根，可以使用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$二、二次方程根与系数的关系1. 根的和与积与系数的关系对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，设其两个根为$x_1$和$x_2$，则根的和$x_1+x_2$与根的积$x_1x_2$与系数之间存在以下关系：根的和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$根的积：$x_1x_2=\frac{c}{a}$举例说明：例1：已知二次方程$x^2-5x+6=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，求$x_1+x_2$和$x_1x_2$。

解：根据关系式，我们可以得到：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$$x_1x_2=\frac{6}{1}=6$所以，$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$。

2. 根与系数之间的关系对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，设其两个根为$x_1$和$x_2$，则根与系数之间存在以下关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$举例说明：例2：已知二次方程$x^2-3x+2=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，求$x_1-x_2$。

解：根据关系式，我们可以得到：$x_1-x_2=\frac{\sqrt{(-3)^2-4\times1\times2}}{1}=1$所以，$x_1-x_2=1$。

三、解题技巧与指导1. 利用根的和与积求系数已知二次方程的两个根$x_1$和$x_2$，可以通过根的和与积求得系数$b$和$c$的值。

二次函数的根与系数的关系二次函数是高中数学中的重要内容，它的根与系数之间有着密切的关系。

在数学中，二次函数以 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式表示，其中 $a$、$b$、$c$ 为实数且$a\neq0$。

在本文中，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系，并希望能对读者的数学学习有所帮助。

首先，让我们来了解什么是二次函数的根。

根是指函数在横轴上与其交点的横坐标值，也就是函数的零点。

对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的根可以通过解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来求得。

根据求解二次方程的一般方法，我们知道二次方程的判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 是用来确定二次方程的根的个数和性质的。

当判别式为正时，即 $\Delta>0$，二次方程有两个不相等的实根；当判别式为零时，即 $\Delta=0$，二次方程有两个相等的实根；当判别式为负时，即 $\Delta<0$，二次方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。

接下来，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系。

首先考虑二次函数中的系数 $a$。

当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上，具有最小值点，根的个数与判别式的关系如下：- 当 $\Delta>0$ 时，函数有两个不相等的实根。

- 当 $\Delta=0$ 时，函数有两个相等的实根。

- 当 $\Delta<0$ 时，函数没有实根。

当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下，具有最大值点，根的个数与判别式的关系相同。

接下来考虑二次函数中的系数 $b$。

系数 $b$ 决定了二次函数图像的对称轴位置。

对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的对称轴的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}$。

当对称轴与横轴相交时，二次函数有一个实根，即判别式 $\Delta=0$。

最后考虑二次函数中的常数项 $c$。

常数项 $c$ 决定了二次函数图像与纵轴的交点位置。

二次方程的根与系数的关系二次方程是高中数学中常见的一类方程，它的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解二次方程的根是数学中的重要问题之一，而根与系数之间又存在着一定的关系。

在本文中，我们将对二次方程的根与系数的关系进行探究和分析。

1. 二次方程的根公式解二次方程的根可以通过求解一元二次方程的公式得到，即根据下列公式可以求得方程的实根：x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)其中，x₁和x₂分别为二次方程的根，√表示求平方根。

2. 二次方程的判别式在进一步讨论二次方程的根与系数的关系之前，我们先介绍一下二次方程的判别式：Δ = b² - 4ac。

判别式Δ决定了二次方程的根的性质。

- 当Δ > 0时，即判别式大于0，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，即判别式等于0，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，即判别式小于0，方程没有实根，而变成了有复数解。

3. 二次方程的根与系数的关系接下来，我们将探讨二次方程的根与系数之间的关系。

以一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0为例进行讨论。

- 根与系数的和：二次方程的根与系数的和可以通过根公式得到：x₁ + x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) + (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= -b / a- 根与系数的积：二次方程的根与系数的积也可以通过根公式得到：x₁ * x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) * (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= (b² - (b² - 4ac)) / (4a²)= c / a由以上推导可知，二次方程的根与系数之间存在着以下关系：- 根与系数的和等于二次方程的一次系数b的相反数除以二次方程的二次项系数a的倒数，即 x₁ + x₂ = -b / a；- 根与系数的积等于二次方程的常数项c除以二次方程的二次项系数a，即 x₁ * x₂ = c / a。

根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程 (a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，02=++c bx ax 则x 1+x 2= -，x 1x 2=a b ac （2）若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为(a≠0)()[]021212=+++x x x x x x a 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

二次函数与根的关系掌握二次函数与根的关系解决相关问题二次函数是高中数学学习中的重要内容之一，它与根（解）的关系密切相关。

在解决相关问题时，我们需要正确理解和掌握二次函数与根之间的关系，才能应用正确的方法解答问题。

本文将从二次函数与根的定义、计算和应用等方面进行详细讨论，帮助读者全面掌握二次函数与根的关系并解决相关问题。

1. 二次函数与根的定义二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

该函数的图像在坐标平面上呈现出抛物线的形状。

根（解）是指二次函数的值等于零的输入变量值，即 f(x) = 0 的解。

二次函数的根可以是一个实数或复数，取决于 b^2 - 4ac 的值。

2. 二次函数的根的计算为了计算二次函数的根，我们可以使用求根公式或配方法。

求根公式是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 解的通用公式，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个解，分别对应加号和减号。

通过代入 a、b、c 的值即可计算出二次函数的根。

配方法是利用二次函数的性质，将其转化为完全平方的形式来求解。

具体步骤为：1) 将二次函数写作 a(x + m)^2 + n，其中 m 和 n 是待定值。

2) 展开得到 a(x^2 + 2mx + m^2) + n。

3) 将展开后的式子与原式进行比较，得到 2am = b 和 am^2 + n = c 两个方程。

4) 解方程组，求出 m 和 n 的值。

5) 将 m 和 n 的值代入 a(x + m)^2 + n，得到二次函数的标准形式。

6) 根据标准形式求根。

3. 二次函数与根的关系二次函数与根之间存在着紧密的联系。

当二次函数的根为实数时，我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。

1) 当判别式大于零时，即 b^2 - 4ac > 0，二次函数有两个不相等的实数根。

二次函数与根与系数关系综合运用二次函数是数学中一种重要的函数类型，其表达式可以写成：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq0$。

二次函数的图像是一个抛物线，其根的数量取决于判别式$S=b^2-4ac$的正负性。

一、根与系数的关系根据二次函数的定义，我们可以推导出根与系数之间的关系。

1.虚根的情况若判别式$S=b^2-4ac$小于零，则二次函数的图像与$x$轴没有交点，即方程$ax^2+bx+c=0$无实根。

此时，方程的根为复数。

2.重根的情况若判别式$S=b^2-4ac$等于零，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有一个实根。

此时，方程的根为重根。

3.两个不同实根的情况若判别式$S=b^2-4ac$大于零，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有两个不同实根。

此时，方程的根为实数。

二、根与系数的综合应用根与系数的关系在实际问题中有着广泛的应用，下面我们来看几个例子：例1：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像上有两个交点$(1,3)$和$(-2,7)$，求该二次函数的表达式及其判别式。

解：由已知条件可得两个方程：\[a+b+c=3 \quad...(1)\]\[4a-2b+c=7 \quad...(2)\]将(1)式左右两边乘以2，再与(2)式相减可以解得：\[-4b+3a=1 \quad...(3)\]解得$a=\frac{5}{3}, b=-\frac{7}{6}$。

将$a, b$的值代入(1)式或(2)式中，可以解得$c=\frac{7}{3}$。

所以该二次函数的表达式为：\[y=\frac{5}{3}x^2-\frac{7}{6}x+\frac{7}{3}\]判别式$S=(-\frac{7}{6})^2-4(\frac{5}{3})(\frac{7}{3})=\frac{49}{36}-\frac{140}{27}=-\frac{23}{108}<0$。

二次函数与二次方程的根与系数关系二次函数和二次方程是数学中的重要概念，它们之间存在着密切的根与系数关系。

本文将详细介绍二次函数与二次方程的定义、性质以及它们之间的根与系数的关联。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于零。

二次函数的图像是一个拱形的曲线，称为抛物线。

其中，a决定了抛物线的开口方向和拱的程度，b决定了抛物线在x轴上的平移方向和程度，c决定了抛物线在y轴上的平移方向和程度。

二、二次方程的定义和性质二次方程是一个等于零的二次多项式，它的标准形式为ax^2 + bx +c = 0。

其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次方程的解称为方程的根，可以分为实数根和复数根。

二次方程的根与系数之间存在着紧密的关系。

三、二次函数与二次方程的根与系数关系1. 根与系数的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的根可以通过求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。

即二次函数的x轴交点就是二次方程的根，它们具有一一对应的关系。

2. 倒数与系数的关系二次函数的导数是一个一次函数，表示为f'(x) = 2ax + b。

二次函数的导数可以用来研究二次函数的增减性和极值点。

从导数的表达式可以看出，导数的斜率2a与二次函数的系数a相关，具有一定的倍数关系。

3. 零点与系数的关系二次函数的零点是函数等于零的x值，即f(x) = 0。

对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的根也就是二次函数的零点。

根据二次函数的定义可知，零点即为二次函数和x轴的交点。

因此，零点与二次函数的系数a、b、c之间存在着密切的关系，可以通过求解二次方程得到二次函数的零点。

四、根与系数的具体计算方法通过求解二次方程可以得到二次函数的根，进而分析二次函数的性质。

求解二次方程可以使用公式法和配方法。

1. 公式法当二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数a、b、c已知时，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解二次方程的根。

二次方程的根与系数之间的关系二次方程是一种形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知的实数，并且a不等于0。

解二次方程的关键在于确定方程的根，即满足方程等式的x取值。

本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并分析这种关系在数学和实际问题中的应用。

一、二次方程的根二次方程的根可分为三种情况：1. 两个相等的实数根（重根）：当判别式b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，此时方程图像与x轴相切于一个点。

2. 两个不相等的实数根：当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，此时方程图像与x轴交于两个不同的点。

3. 两个共轭的复数根：当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实数根，但有两个共轭的复数根，此时方程图像与x轴无交点。

二、二次方程根与系数之间的关系对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可由下式给出：x_1 = (-b+√(b^2-4ac))/(2a)x_2 = (-b-√(b^2-4ac))/(2a)其中√为平方根符号。

从上述公式可以看出，二次方程的根与系数a、b、c之间存在着一定的关系：1. 根与系数之间的乘积关系：根与系数a、b、c之间有如下关系：x_1*x_2 = c/a这表示二次方程根的乘积等于方程常数项与二次项系数的比值。

2. 根与系数之间的和与积关系：根与系数a、b、c之间还有如下关系：x_1 + x_2 = -b/ax_1 * x_2 = c/a这表示二次方程根的和等于二次项系数的相反数除以二次项系数，根的积等于方程常数项与二次项系数的比值。

三、应用举例1. 求解二次方程的根：可以通过上述公式计算二次方程的根，从而求解实际问题中的未知数。

例如，对于给定的二次方程，可以利用公式求解出方程的根，从而得到问题的解答。

2. 调整根与系数之间的关系：在实际问题中，有时候我们需要通过调整二次方程的系数来满足特定的要求。

例如，如果需要使二次方程的根为两个相等的实数根，即重根，那么可以令判别式等于零，从而确定系数之间的关系。