《高等数学B2》本科期末考试试卷答案

《高等数学B2》考试大纲（普通教学班）适用专业：经济与管理各专业教材：《经济数学-微积分新编》，侯吉成主编，清华大学出版社，2014年参考书目：《经济数学-微积分》（第二版），吴传生主编，高等教育出版社，2009年。

一、考试的方式与题型考试方式：闭卷，考试时间120分钟题型：选择（15%）、简答题（15%）、计算题（49%）、应用题（14%）、证明题（7%）单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。

简答题只要求简单地写出解题过程和结果。

计算题、应用题和证明题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。

难度：基础题（1个知识点）：提高题（2个知识点）：综合题（3个及以上知识点）=5:3:2内容: 常微分方程（20%）；差分方程（14%）；无穷级数（20%）；向量代数与空间解析几何（12%）；多元函数微分学（22%）；多元函数积分学（12%）二、考试的目的和要求依据课程教学大纲要求，通过本课程的学习，要求学生比较系统地理解经济数学的基本概念和基本理论，掌握经济数学的基本方法，要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试的内容和要求（一）常微分方程（一）一阶微分方程考试内容：（1）微分方程的定义阶解通解初始条件特解；（2）可分离变量的方程；（3）一阶线性方程。

考试要求：（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解；（2）掌握可分离变量方程的解法；（3）掌握一阶线性方程的解法。

（二）二阶线性微分方程考试内容：（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐次线性微分方程考试要求：（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（非齐次项限定为ax n e x P x f )()(=，其中)(x P n 为x 的n 次多项式。

第二学期高等数学期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，，垂直的平面方程为_____________________________． 2．设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz ， ________________________．3．交换累次积分的顺序()=⎰⎰12xxdyy x f dx， ______________________．4．设222lnz y x u ++=，则()=u grad div ___________________．5．设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为1R ，幂级数∑∞=0n n n x b 的收敛半径为2R ，且+∞<<<210R R ，则幂级数()∑∞=+0n nn n x b a 的收敛半径为_____________．答案：⒈ 043=+--z y x ； ⒉ 1；⒊ ()⎰⎰1yydx y x f dy ，；⒋2221zy x ++；⒌ 1R ．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【 】． （A ）．充分条件； （B ）．必要条件； （C ）．充分必要条件； （D ）．既不是必要，也不是充分条件．2．设D 是xOy 平面上以()11，、()11，-、()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdyy x xy sin cos等于【 】．（A ）．⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； （B ）．⎰⎰12D xydxdy ；（C ）．()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）．0．3．下列级数中，属于条件收敛的是【 】．（A ）．()()∑∞=+-111n nnn ； （B ）．()∑∞=-1si n 1n nn nn π ；（C ）．()∑∞=-121n nn； （D ）．()∑∞=+-1131n nn ．4．设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x xx f 000 ，再设()x f 的Fourier （傅立叶）级数的和函数为()x s ，则()=πs 【 】． （A ）．2π-； （B ）．π- ； （C ）．0 ； （D ）．π ．5．设向量a 、b 、c 满足：0c b a =++，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a【 】．（A ）．0 ； （B ）．c b a⨯⨯；（C ）．c b ⨯； （D ）．()b a⨯3． 答案： ⒈ （A ）； ⒉ （C ）； ⒊ （B ）； ⒋ （A ）； ⒌ （D ）． 三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求xz ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz '+'=∂∂ ，()2221222112224f xyffyx xyf yx z ++-+-=∂∂∂ ．四．（本题满分7分） 计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．解：作球坐标变换θϕρcos sin =x ，θϕρsin sin =y ，ϕρcos =z ， 则空间区域Ω变为，104020≤≤≤≤≤≤Ω'ρπθπθ，，：，因此，()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I()⎰⎰⎰Ω+=ρϕθϕρϕρθϕρd d d s i n c o s c o s s i n 2()⎰⎰⎰+=12420s i n c o s c o s s i n ρϕρϕρθϕρϕθππd d d8π=五．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．解：取平面21=∑z ：，取上侧．则∑与1∑构成封闭曲面，取外侧．令∑与1∑所围空间区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=11I()⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω--=132229y x dxdydxdydz⎰⎰⎰⎰⎰≤+--=121120222y x rdxdydz rdr d πθ2π-=六．（本题满分8分） 判别级数()()()()()∑∞=++++12222!2!!3!2!1n n n的敛散性．解： ()()()()()!2!!3!2!102222n n u n ++++=≤()()()()()!2!!!!2222n n n n n ++++≤， ()()n v n n n =⋅=!2!2而()()()()()()()!2!!12!11limlim221n n n n n n v v n nn n ⋅++⋅+=→∞+→∞()()()14122121lim3<=+++=→∞n n n n n所以，由比值判别法，知级数()()∑∑∞=∞=⋅=121!2!n n n n n n v 收敛．再由比较判别法知级数()()()()()∑∑∞=∞=++++=122221!2!!3!2!1n n nn n u 收敛．七．（本题满分8分） 选取a 与b ，使得dy yx b y x dx yx y ax 2222++--++成为某一函数()y x u ，的全微分，并求()y x u ，． 解：()22y x y ax y x P ++=，，()22y x by x y x Q ++-=， 由()()()dy y x Q dx y x P y x du ，，，+=，得xQ yP ∂∂=∂∂即有()()()()222222222222yxxb y x y x yxyy ax y x +⋅+--+=+⋅+-+解得，1=a ，0=b ．所以，()()()()()⎰+--+=y x yx dyy x dx y x y x u ，，，0122⎰⎰+--=yxdy yxyx xdx 0221()⎰⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=yyyx y x d x y x y d x 0222202211ln()x yx xy x ln ln 21arctan ln 22-++-=()xyyx a r c t a n ln 2122-+=八．（本题满分8分） 过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程． 解：过已知直线作平面束方程()0272210=-++--+z y x z y x λ，即()()()0272210=-+-+++z y x λλλ，其法向量为{}λλλ--++=2210，，n．设所求切平面的切点坐标为()000z y x ，，，则有()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+++=-+---=+=+02722102732222610000202020000z y x z y x z y x λλλλλλ ， 解得1113000-====λ，，，z y x ．或1917173000-=-=-=-=λ，，，z y x ．因此，所求切平面方程为027339=--+z y x ，或02717179=-+--z y x ．九．（本题满分8分）求极限：()422221lim xx tu t x x eduedt ---→-⎰⎰+．解：交换积分()⎰⎰--222x tu t x du edt 中的顺序，有()()⎰⎰⎰⎰----=uu t x x tu t x dt edu du edt 022222，u t v -=，则有()⎰⎰-----=uvuu t dv edt e22所以()()4242222221lim 1lim xuu t xx xx tu t x x edt edueduedt---→---→-=-⎰⎰⎰⎰++4242002222221l i m 1l i mxx vx xxuvx ex d veed ud v e---→---→⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++212lim lim 1lim424222==-⋅=-→--→-→+++⎰xx x vx xx ex dvee十．（本题满分8分）利用⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x dx d 1cos 的幂级数展开式，求级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--122!2121n nn n n π的和．解： 设()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x dx d x s 1cos ，由于()()()()∑∑∞=-∞=-=--=-11202!211!211c o s n n nn nnn xxn xxx ()-∞<<∞-x因此，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-112!211c o s n n n n xdx d x x dx d x s()()∑∞=---=122!2121n n nxn n另一方面， ()21c o s s i n 1c o s x x x x x x dxd x s +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以，()()∑∞=---=+--1222!21211c o s s i n n n nxn n xx x x ()-∞<<∞-x当2π=x 时，()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛1222!21212n n nn n s ππ，所以，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--∑∞=222!2121212πππs n n n nn2221c o s s i n 2ππ=+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x22212c o s 2s i n24⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=πππππ21π-=十一．（本题满分8分）已知x 、y 、z 为实数，而且32=++z y e x证明：32≤z y e x．（提示：考虑函数()()223ye y e y xf xx--=，．） 解： 设()()223ye y e y xf xx--=，，由题设32=++z y e x ， 得 32≤+y e x， 即 32=+y e x为其边界．下面只需证明：()()223ye y e y xf xx--=，在区域32≤+y ex上的最大值为1．令：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='0232023222y e y e y x f y e y e y x f x x y x x x ，，， 解方程组得驻点()10，，()10-，和()0，x ．对于驻点()10，和()10-，，有 ()110=，f ，()110=-，f对于驻点()0，x ，()00=，x f ；在边界32=+y e x 上，()002=⋅=y e y x f x，，所以，函数()()223y e y e y x f x x --=，的最大值为1，即()()1322≤--=ye y e y xf xx，即32≤z ye x．。

第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分），1．求极限lim1 cos x x2 x．3 x 0 si n x解：1 cosx x x x2 1 1 c o xs 1cosx x 2x21 2lim lim lim si n 3 x x 3 x 3 x 0 x 0 x 0x ln 1 cosx x ln 1 c oxs 1 cosx ln 1 cosxe 2 1 e 2 1 xln 2 2 lim lim limlimx 3 1 cosx x 3 x 2x 0 x 0 x 0 x 0xln 2l i m s inx 1 ．x 0 1 c o sx 2x 4与 x 2 3x2．设 x 0 时，fx 是等价无穷小， f t dt 与 Ax k等价无穷小，求常数 k 与 A ．2 0 解：3 x3 x f t dt由于当 x 0 时， f t dt 与 Ax k等价无穷小，所以 lim 0 k 1 ．而0 x 0 Ax3 x21 x 31f t dt f 3 x 2 23 3 x 2f 3 x 2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0 lim li m li mlimAx kxx 0 Akx k 1 x 0 2Akx k 1 x 0 6Akx k 1 x 0 6Akx k 1x 32所以， lim11．因此， k 1, A 1． x 0 6 Akx k 163 x 2ax b dx 中不含有对数函数，求常数 a 与b应满足的条件．2 ．如果不定积分x 1 1x 2解：x 2ax b 化为部分分式，有将2 1 x 2x 1x 2ax bA B CxD ，x 1 2 1 x 2x 1 x 1 21 x 2因此不定积分x 2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 2 x 21A C 0 ．即x 2ax bB D B 1 x 2D x 1 22 22 2 ．1 x 2x 1 1 x 2x 1 x 1 1 x所以，有x 2ax b B 1 x 2 D x 1 2 B D x 2 2DxB D ．比较上式两端的系数，有 1 B D , a 2D , b B D ．所以，得 b 1．525．计算定积分 min 1, x 2 dx ． 0解：m i n1, x 2 x 2x 2 11 x2 1 1 x 12 x 1 x 2x 2 2 x ．31x35521 2 2 13 所以， min 1, x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx ．0 0 1 2 85．设曲线 C 的极坐标方程为 r a sin 3，求曲线 C 的全长． 3解：曲线 r a sin 3一周的定义域为 0 3 ，即 03 ．因此曲线 C 的全长为 3 3 2 2 3 3 3 s r r d 2 6 a 24 2 2aa s i n s i n c o s d a s i n d ．0 0 3 3 3 0 3 2二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分），6．求出函数f x sin x lim 2n 的所有间断点，并指出这些间断点的类型． n 1 2 x解：sin x x1 21sin x x 1 2 2f x lim 2n．1 1 n12 x x 2 20 x 1 2因此 x 1 1 1 是函数 f x与 x 2 2 的间断点． 2l i m f x l i m 0 0 ， lim f x lim si nx 1 ，因此 x 1x 的第一类可 是函数 f 1 x 1 x 1 1 2x 2 2 x2 2去型间断点．li mf x lim s i n x1 ，limf x lim 0 0 1 是函数 f x 的第一类可去型 ，因此 x 1 x 1x 1 x 1 2 x2 2 2 2 间断点．7．设 是函数 f x arcsin x 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日） 中值定理中的 “中值 ”， 求极限 lim ．b 0 b 解：f x ar c s ixn 在区间0, b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinb arcsin0 1 b 0 ．1 2b 2所以， 21．因此，arcsinbb 22 12 2arcsinblim lim a r c s bin bb 2 2 lim2b 0 b 0 bb 0 b 2a r c sbin令t arcsinb，则有2lim t 2 2limt2 2lim sin t s i n tb 0b 2t 0t2 sin 2tt0 t 4lim 2t sin 2t lim 22cos2t 1 lim 1 cos2t1 lim2 s in2t 1 t 0 4t 3t 0 12t 26 t 0 t 2 6 t 0 2t 3所以， lim 1 ．b 0 b31 x 18．设 fx e y 2 y dy ，求f x dx ．0 0解：111f x dx xf xf x dxx 00 01 x在方程f x e y 2ydy 中，令x 1 ，得1 1 0f 1 e y 2 y dy e y 2 y dy 0 ．0 0再在方程1 因此，1 xf xe1 x2f x e y 2y dy 两端对 x 求导，得，011 1f x dx xfx xf x dx xf x dx 00 0 01 11 11 x 2x 2e x2xe dx e xe dx e0 0 2 0 1e 1 ．29．研究方程 e x a x2 a 0 在区间, 内实根的个数．解：设函数f x ax2 e x1， f x 2axe x ax2e x ax 2 x e x．令f x 0 ，得函数 f x 的驻点 x10, x2 2 ．由于 a 0 ，所以lim fx lim ax2e x 1 ，x xlim f x lim 2ex1 a limx21 a lim2x1 a lim21 1．axe xexexx x x x x因此，得函数 f x 的性态x , 0 0 0, 2 2 2,f x 0 0f x 1 4ae 21 1⑴若 4ae 2 1 0，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 2、2, 内4各有一个零点，即方程e x a x2在, 内有 3 个实根．⑵若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 内各有一个零4点，即方程 e x a x2在, 内有 2 个实根．⑶若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax 2e x 1 在, 0 有一个零点，即方程4e xa x 2在, 内有 1 个实根．10．设函数 f x 可导，且满足f x x f x 1 ， f 0 0 ．试求函数 f x 的极值．解：在方程 f x xf x 1 中令 tx ，得f t t f t 1 ，即f x x f x 1 ．f x xf x x 中消去f x ，得在方程组xf x f x xf x x x2．1 x2x t 2积分，注意 f 0 0 ，得 f x f 0 t 0 1t 2 dt ．即x t t 2 1 ln 1 x 2f x 2 dt x arctan x ．0 1t 2由 f x x x 2f x 的驻点 x10, x21 ．而f 1 2 x x 21 x 2得函数 x 1 x 22 ．所以，f 0 1 0 ， f1 1 0 ．21ln 2所以， f0 0 是函数f x 极小值； f 1 1 是函数 f x 极大值．2 4三．应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），11．求曲线 y x 的一条切线，使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小．解：设切点坐标为 t, t 1 ，可知曲线 y x 在 t , t 处的切线方程为，由 y 2 t yt11x t ．x t ，或 y2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 2 82x tx dx 4 2t2 t4 3t所以， dV8 2 0 ．得驻点 t2 ，舍去 t2 ．由于 dt 4 3t 233d 2V16 0 ，因而函数 V 在 t 2 dt 24 3t 2 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切 t 2 t 3233 线方程为 y 3 x 1 ．4 212．设函数 f x 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1 内可导，且2e f xarctan xdx 1， f 1 0 ．2 证明：至少存在一点 0， 1 ，使得 f1．1 2arctan 解：因为 f x 在闭区间 0, 1 上连续，所以由积分中值定理，知存在20,，使得2e fx arctanxdx 2 e f arctan ．0 2由于 e fx arctan xdx 1，所以， 2 e farctan 1 ．再由 f 1 0 ，得 022e farctan e f1 arctan 1．4作函数 g xe f x arctan x ，则函数在区间 , 1 0, 1 上连续，在区间 , 1 内可导．所以由 Rolle 中值定理，存在, 1 0, 1 ，使得 g 0 ．而 g x e fx f e fx 2 ．x a r c t axnx1所以存在, 10, 1 ，使得e ff a r c t a ne f20 ．1由于 e f0 ，所以 farctan 1 2 0，即 f11．12 arctan一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。

《高等数学》（专升本）习题答案一、单选题1、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛2、点x=0是函数y=x^4的（D）A驻点但非极值点 B拐点 C驻点且是拐点 D驻点且是极值点3、极限（B）A B C1 D04、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、（C）A B C0 D16、曲线y=1/∣x∣的渐近线情况是（C）A只有水平渐近线 B只有垂直渐近线C既有水平渐近线又有垂直渐近线 D既无水平渐近线又无垂直渐近线7、函数的定义域为（D）A B C D8、y=x/(x^2-1)的垂直渐近线有(B)条A1 B2 C3 D49、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件D既非充分又非必要条件10、当x→0时，下列函数不是无穷小量的是（D）Ay=x By=0 Cy=ln(x+1) Dy=e^x11、，则（D）A BC D12、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷13、（A）A0 B C D14、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续15、直线上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与平行，则（B）A BC D16、设函数y=f(x)在点x0处可导，且f′(x)>0, 曲线y=f(x)则在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角为{C}A0 B∏/2 C锐角 D钝角17、设，则（A）A B C D18、函数y=x^2*e^(-x)及图象在(1,2)内是(B)A单调减少且是凸的 B单调增加且是凸的C单调减少且是凹的 D单调增加且是凹的19、和在点连续是在点可微分的（A）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D无关条件20、以下结论正确的是(C )A 若x0为函数y=f(x)的驻点,则x0必为函数y=f(x)的极值点.B函数y=f(x)导数不存在的点,一定不是函数y=f(x)的极值点.C若函数y=f(x)在x0处取得极值,且f′(x)存在,则必有f′(x)=0.D若函数y=f(x)在x0处连续,则y=f′(x0)一定存在.21、无穷大量减去无穷小量是（D）A无穷小量 B零 C常量 D未定式22、下列各微分式正确的是（C）Axdx=d(x^2) Bcos2x=d(sin2x) Cdx=-d(5-x) Dd(x^2)=(dx^2)23、已知向量两两相互垂直，且，求（C）A1 B2 C4 D824、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,-2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln525、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D26、曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程是（C）Ay=x By=(lnx-1)(x-1) Cy=x-1 Dy=-(x-1)27、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件28、曲线y=e^x-e^-x的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)29函数在区间上极小值是（D）A-1 B1 C2 D030函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D331、若，则（A）A4 B0 C2 D32、已知y=xsin3x ，则dy=（B）A(-cos3x+3sin3x)dx B(3xcos3x+sin3x)dxC(cos3x+3sin3x)dx D(xcos3x+sin3x)dx33、二重极限（D）A等于0 B等于1 C等于 D不存在34、曲线 y=x^3+x-2 在点(1,0)处的切线方程是（B）Ay=2(x-1) By=4(x-1) Cy=4x-1 Dy=3(x-1)35、设，则（C）A BC D36、曲线y=2+lnx在点x=1处的切线方程是（B）Ay=x-1 By=x+1 Cy=x Dy=-x37、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D38、半径R为的金属圆片，加热后伸长了R，则面积S的微分dS是（B）A∏RdR B2∏RdR C∏dR D2∏dR39、设在处间断，则有（D）A在处一定没有意义；B;(即)；C不存在，或；D若在处有定义，则时，不是无穷小40、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=141、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛42、函数y=(x^2-1)^3的驻点个数为（B）A4 B3 C1 D243、曲线在点处的切线斜率是（A）A B C2 D44、M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离∣M1M2∣=（C）A3 B4 C5 D645、利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程表达式（A）A B C D46、两个向量a与b垂直的充要条件是（A）Aab=0 Ba*b=0 Ca-b=0 Da+b=047、已知向量，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，25 48、求抛物线 y=x^2与y=2-x^2 所围成的平面图形的面积(B)A1 B8/3 C3 D249、若，为无穷间断点，为可去间断点，则（C）A B C D50、要用铁板做一个体积为2m^3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？(A)A均为³√2m时，用料最省. B均为³√3m时，用料最省.C均为√3m时，用料最省. D均为√2m时，用料最省.二、判断题1、设，则（错）2、已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为5/6∏，则f′(2)=-1（错）3、对于无穷积分，有（对）4、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）5、函数的定义域是（对）6、函数就是映射，映射就是函数（错）7、设，且满足，则（错）8、函数有界，则界是唯一的（错）9、设是曲线与所围成，则，是否正确（错）10、极限存在，则一定唯一（对）11、在处二阶可导，且，若，则为极小值点（对）12、1/x的极限为0（错）13、设，其中，则，是否正确（对）14、1/n-1的极限为0（错）15、，是否正确（对）16、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）17、，是否正确（对）18、无界函数与其定义域没有关系（错）19、齐次型微分方程，设，则（对）20、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）21、函数可微可导，且（对）22、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）23、微分方程的通解为，是否正确（对）24、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）25、设是由所确定，函数在上连续，那么（对）26、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）27、是齐次线性方程的线性无关的特解，则是方程的通解（对）28、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）29、设表示域：，则（错）30、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）31、设，则，是否正确（对）32、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）33、设，其中，则（错）34、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）35、设由所确定，则（对）36、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）37、设在区间上连续，是的内点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，则称点为曲线的拐点（对）38、无穷间断点就是函数在该点的极限是无穷（对）39、设是圆周围成的区域，是否正确（对）40、定积分在几何上就是用来计算曲边梯形的面积（对）41、，是否正确（对）42、数列要么收敛，要么发散（对）43、函数在点可导（对）44、函数在一点处极限存在的充要条件是函数在该点的左极限等于右极限（对）45、在的邻域内可导，且，若：当时，；当时，则为极小值点（错）46、定积分在几何上就是用来计算曲边梯形的面积（对）47、二元函数的最小值点是（对）48、任何函数都可以求出定积分（错）49、设为，与为顶点三角形区域，则积分方程（对）50、若被积函数连续，则原函数不一定存在（错）。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

天津城建大学高等数学b2试题及答案1、2.比3大- 1的数是[单选题] *A.2(正确答案)B.4C. - 3D. - 22、-270°用弧度制表示为（）[单选题] *-3π/2(正确答案)-2π/3π/32π/33、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x24、下列说法中，正确的是[单选题] *A.一个有理数不是正数就是负数(正确答案)B.正分数和负分数统称分数C.正整数和负整数统称整数D.零既可以是正整数也可以是负整数5、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. 9a3·2a2=18a?(正确答案)B. 2x?·3x?=5x?C. 3 x3·4x3=12x3D. 3y3·5y3=15y?6、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] * A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)7、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。

[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程8、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（2）的值为（）。

[单选题] *1228(正确答案)39、21、在中,为上一点,,且,则（）. [单选题] *A. 24B. 36C. 72(正确答案)D. 9610、10．下列各数：5，﹣，03003，，0，﹣，12，1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个），其中分数的个数是（）[单选题] *A．3B．4(正确答案)C．5D．611、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}12、下列说法正确的是[单选题] *A.两个数的和必定大于每一个加数B.两个数的和必定不大于每一个加数C.两个有理数和的绝对值等于这两个有理数绝对值的和D.如果两个数的和是负数，那么这两个数中至少有一个是负数(正确答案)13、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．414、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] *A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．515、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] *A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c216、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)17、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)18、8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，则∠BFD的度数是( ) [单选题] *A．15°(正确答案)B．25°C．30°D．10°19、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)20、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n221、用角度制表示为（）[单选题] *30°(正确答案)60°120°-30°22、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)23、点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，8），则它们的中点坐标是（D）[单选题] *A、（3，4）B、（3，5）C、（8，12）D、（4，6）(正确答案)24、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A25、29、将点A(3,-4)平移到点B(-3,4)的平移方法有（）[单选题] *A.仅1种B.2种C.3种D.无数多种(正确答案)26、若m·23＝2?，则m等于[单选题] *A. 2B. 4C. 6D. 8(正确答案)27、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}28、已知10?＝5，则100?的值为( ) [单选题] *A. 25(正确答案)B. 50C. 250D. 50029、25．下列式子中，正确的是（）[单选题] *A．﹣|﹣8|＞7B．﹣6＜|﹣6|(正确答案)C．﹣|﹣7|＝7D．|﹣5|＜30、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。

高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题 (每题4分,共32分)1. 213______4x y kx y z k π+-=-==若平面与平面成角,则 1/42. 曲线20cos ,sin cos ,1tu tx e udu y t t z e ==+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x∂∂为____________4.(),dy f x y dx ⎰1交换的积分次序为_________________________5．()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-6. 收敛7. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是2,则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分)1．讨论函数 f ( x, y ) = 221,x y+ 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。

P 。

3302．求函数2222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。

3．212.1n n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑判别级数的敛散性 P ．544 012112x y z ---==zz yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1n n n ∞=++∑级数的敛散性为4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dzf dy f x f dx y f '+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.5．,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M ，高为3M 。

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

高数第二学期复习试卷（1）《高等数学B 》一． 填空题（20分） 1.()()().__________________|,ln ,1,1222=∂∂∂+=yx fyxy x f 则设 .______________________,,,,,,1,,,2.2321321222232221的大小关系为则与它们的面积依次为面上的投影均为它们在的方程为为的方程的方程设曲面S S S S S S y x xOy y x z xy z y x z ≤++=∑=∑+=∑ ()⎰⎰∑=++>===+∑.______________________001.322zdxdy ydzdx xdydz a a z z y x 部分的外侧，则与夹在平面为柱面设()()∑∞=-+1.______________________11ln .4n n x n n 的收敛区间是幂级数()().____________________232,sin 20,cos .5处收敛于则付立叶级数在为在一个周期上的表达式设周期函数ππππ=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=x x x x x x f x f二.(每小题5分，共10分)()()()()()()()()()().00|1,,,10,10,1,2|0cos 1===-=='='=++=x v u x dxdzx y y xy y x f z f f v u f dx dyx y xy x y y 求定义，由其中而有连续的偏导数且若函数；求确定，由方程设函数三（10分）()().11,22222≤-++Ω+=⎰⎰⎰Ωz y x dV y xI 为球体计算三重积分()()()()单位从略的质量求其面密度的方程为设曲面分四.,,,,1210.2222∑=≤++=∑z z y x y x y x z μ().210110.22dxdy e dzdx ye dydz xe I z z y x z z z z -+=∑==-+=∑⎰⎰∑的下侧，求积分并取之间的部分，和介于平面为锥面设曲面分五()()()()()()()().,,00,02;,1,sin cos ,10461.y x v v dy xu dx yu dv y x v y y y x e y x u x 求如果使得全微分证明存在二元函数设分分，共分，第二小题小题第六=∂∂+∂∂-=-=()()()()().11ln2.1sin1,0118108.11间的幂级数并指出收敛区展开成将函数的收敛性，并说明理由讨论级数设常数分分，共分，第二小题第一小题七-+=->∑∞=-x xxx f nn n αα()()()()()()().0222,22,144222.,3,0,1,112.22222223的平面方程且垂直于平面处的切线，求过在点是曲线设求动点的运动曲线方程平行，在该点的梯度数上任一点的法线恒与函该曲线面上一曲线运动，已知沿出发，从点设动点分八=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧=++=++-=z y x T M z y x z y x T y x gradf xy x y x f xOy y x M高数第二学期复习试卷（2）《高等数学B 》一. 填空题（满分40分）()().211lim.10,0,=-+++→y x yx y x()().1|0,,.21,1,02=∂∂=+++==-xuxyz z y x y x z z e yz u x 则，确定由方程其中设函数().1331311031033,1,110310.322⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+z y x z y z x M z y z x 或为处的切线的一般式方程在点空间曲线.15141,01.402220πρρ轴的转动惯量为围成，则它对及平面面闭区域由旋转单叶双曲的均匀物体占有的空间密度为常数z z z z y x ===-+()()()⎰-=-+-=+Cdy x xdx y xy y x C .184229.5222π，则曲线积分按逆时针方向绕行为圆周设.108,9.62222π==++∑⎰⎰∑dS x z y x 则曲面积分：设球面()()()()().0,,,,,,,,,,,.7==rotA div R Q P A z y x R z y x Q z y x P 则具有二阶连续偏导数，设函数()().145252,12,20,.8--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=ππππππ处收敛于则该级数在，沿拓后展开成余玄级数若将函数x x x x x f二．解答题()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==+1211211212141212183.10.92ee dx e e x dy e dx I dx e dy dx e dy x xxxyyyxy yxy 解：二次积分交换积分次序，并计算分()()().001101,sin ,cos 10.1000的点的一段弧的质量的点到对应于从对应于，求该曲线处的密度为，，平方成反比，且在点密度与该点的向径的模弧上每点的如果分布着质量的曲线分>=====t t t t e z t e y t e x t t t ()()()()()()⎰⎰⎰---==+++-=++=++==++=02222222222222133cos sin sin cos 222,2,,;21101,,,t tt t t t t t ttL e dt e dte t e t e t e t eeds z y x M z y x z y x k zy x kz y x 所以故得处的密度为，，由在点解：ρρ()()()()()()()().1100,2,0010.11试求曲线积分，为，，为其中若取与路径无关，已知曲线积分且具有一阶连续导数，设函数分B A AB L dy x f ydx x f ef x f Lx⎰⋂=-+=()()()()()()()()()()()()()()()()()()().31|3131231231,3100,31,2,2,21,10,021,10,02223222--------=-=-++=-+-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+'+='-∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰e e y e e dy e e ydx e e dy xf ydx x f e e e x f C f e C e e e C e x f e x f x f x f e x f yPx Q x x x x xx L x x xx x dx x dxx x 故知由得即即由题意得解：()()()().321110.1222222⎰⎰∑+++++--=∑dxdy z z dzdx y y dydz x x y x z 的上侧，计算曲面积分为曲面：设分()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=⨯⨯+=-+++=+++++-+++++=≤+=∑Ω∑∑+∑ππππππρρϕϕθ2020134222222222221.5264561326sin 306333321321,101d d d dv z y x dxdyz z dzdx y y dydz x x dxdy z z dzdx y y dydz x x y x z 原式；取下侧：引人解：()()()()().2121,321121312111131.2110130002⎪⎭⎫ ⎝⎛<<---=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=∑∑∑∞=∞=∞=x x x x x x x f x xx xx f nn n nn n n n n n 解：敛域的幂级数，并指出其收展开成将函数分 ()∑∞=+1.!110.14n nx n n 数的收敛域，并求其和函讨论幂级数分()()()()()()()()()().1!!1!1,.111!!!1,,,0!1!12lim lim11111011-+=+-=+=+∞∞-∈-+='-='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+=+∞∞-∈∞+∞-+∞==+++==∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=+∞→+∞→x x n n n nn n x xx n n n nn n n nn n e xe n x n x x x n n x S x e xee x n x x n xx n n x S x R n n n n a a ，记时当或：记，时当；，级数的收敛域为解：ρ高数第二学期复习试卷（3）《高等数学B 》一．选择填空题（满分30分）()()()()双叶双曲面单叶双曲面椭球面圆锥面表示元二次方程在空间解析几何中，三D .__________1543.1222C B A z y x =-+()()()()交于一点但不垂直不相交垂直相交直线包含在平面内的位置关系为与平面直线D C B A .______1123121.2=+--=-=-z y x z y x ()()._____________________,32ln .33,2,1=++=du z y x u 则设().__________________________10122.422处的一个单位切向量为，，在点曲线⎩⎨⎧=+++=z y x y x z()()()()()()()()..___________,,,,,.5000000既非充分也非必要充分必要充分非必要必要非充分条件的偏导数处可微是它在该点存在在点函数D C B A y x f y x f y x y x f y x()()⎰=++-Lx x dy x y e dx y y e .____________________23cos 333sin .7曲线积分()()()()()ππππ8642221.82222D C B A dSy yz xz z y x ⎰⎰∑++=-==+∑分之间的部分，则曲面积和介于为柱面设曲面()()()()()有关敛散性与绝对收敛条件收敛发散则级数设常数αααD C B A .________________11,0.91321∑∞=-++->n n n n n ()()⎩⎨⎧-=≤<≤<-=-.____________2,0,0,2],2.103处收敛于则其付里叶级数在上表达式为（在为周期的周期函数，且是以设ππππππx x x x x f x f ()()()()()()()().4,311,2;,z 1,01,12,12.方向的方向导数处沿，在求所确定的隐函数，并且是方程设分二=∂∂∂∂==--=l y x z yzx z e z y x y x z z z ()()..4,1,1ln 1222222222所围成的空间闭区域和抛物线为圆柱面其中求分三y x z y x z y x dv y x I ++=+==+Ω++=⎰⎰⎰Ω()()()()().10,3412223222的下侧为曲面其中求分四≤≤+=∑++-++=⎰⎰∑z y x z dxy y x z dzdx yz y dydz xy x I()()()().21,311211和函数收敛半径及收敛域；求设幂级数分五∑∞=--n n nn x n()()().._____________________________,,,,.624240=+⎰⎰⎰⎰-dy y x f dx dy y x f dx y x f x x交换积分次序连续，设函数()()()()()()()()()()？绝对收敛还是条件收敛是否收敛，若收敛，是判定级数求其中令为等价无穷小，与时连续，且当设函数分六∑⎰⎰∞=-⎪⎭⎫⎝⎛'-'>≤++=→11222222112;1.0:,010n n Dtt n F t F t t y x D d y x ft F x x f x x f σ()()()()()().,,321..,,0,0,0112222222该最大值可取到最大值，并求出取何值时，问当的表达式；对质点所作的功述运动过程中利用曲线积分，写出上的参数方程；写出直线处内的点上位于第一卦限运动到曲面沿直线，的作用下，由原点出发设一质点在变力分七W w v u W F L w v u M c b a cz b y a x L k xy j zx i yz F>>>=++++=高数第二学期复习试卷（4）《高等数学B 》一．选择填空题（满分30分）().__________,3,2,.122=⋅+⨯==b a b a b a b a 则已知和设有向量.______0162322121.2的夹角余弦为与平面直线=+-++=-=-z y x z y x()()()()()()()()()()().0,0,0,0,0,0,.____________001,.32上述三个结论都不正确处可微；在点处可偏导；在点处连续；在点，则其他函数设D y x f C y x f B y x f A x y y x f ⎩⎨⎧<<=()()()()()()..___________005232,.422不能判断是否取极值；不取极值；取得极小值；取得极大值处，在点函数D C B A y x xy y x f +--=()()()()()⎰⎰⎰⎰+=+-=1.sin 2;0;2;)sin (2.___________sin 1.623232312L L L Lyds D C ds x B ds y x A ds y xL L x y L 线积分在第一象限的部分，曲为，为半圆周设()⎰⎰∑=+-=+=+∑.________________3293.722dS z y x y x z y 截下的部分，则被柱面为平面设()()()().._________________1sin .812有关收敛性与绝对收敛；条件收敛；发散；的收敛性为为常级数设αααD C B A n n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-＿．的收敛区间为＿＿＿＿幂级数nn x n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+0212.9 ()()()()()()()．Ｄ；Ｃ；Ｂ；则其中设881616.______________2,1sin 1,sin .10041--=-≥==⎰∑∞=A s n nxdx x b nx b x s n n n ππ()()()._____________________________________,,,,.5210110=+⎰⎰⎰⎰--+dy y x f dx dy y x f dx y x f 10x x 交换积分次序连续，设函数()()()()dzxy z z y x z z 求所确定的隐函数，是方程设分二sin 2ln ,12.++==()()().2,1,00,2,1012.两点距离的平方和最小和，使得它到上求一点在平面分三B A M z y x =+-()(){}.0,10,10:,,,12.22xy z y x z y x dxdydz eI y x ≤≤≤≤≤≤=Ω=⎰⎰∑+其中求分四()()()().11110012.332构成三角的逆时针边界，和，，，，为由点其中，求分本题五-+=⎰L dy y x dx ye I Lx()()()().1:32112.22333的上侧为半球其中求分六y x z dxdyz z dzdx y y dydz x x I --=∑+++++=⎰⎰∑()()()().1ln 110.的幂级数展开为将函数分七x x x x f ++=高数第二学期复习试卷（5）《高等数学B 》一． 简答题（每小题6分，共30分）()()()().,lim 11,.10,0,y x f xy xyy x f y x →-+=并求的定义域，写出函数 ()()().2,lim },1{0,0,=-≥=→y x f x y D y x 解：()()().11,11),1(,1.,.23222z z zy zz x z z x ze ee z e y x ze z e F F yx ze z y x y x z z +-=+-=∂∂∂+=+-==∂∂∂=-+=解：求所确定，由方程设函数()()()()()().2311,3,3|2,2|11.31,11,122等于方向的方向导数最大，，沿为多少？最大方向的方向导数值数最大？处沿什么方向的方向导，点在函数--=--=--+=--x y y x z grad xy y x z⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===60660060606.21cos cos cos .cos .4ππππππyx yxdx dy x x dx dx x x dy dx x xdy 解：求()()().21622.402,.522222222π===+=++===+∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑S dS dS y x dS xz y x z z y x dS xz y x 解：所割下的部分和被平面圆柱体为其中求()()()()()()()()()()()[]()⎰⎰⎰⎰⎰==--=++++-=⎩⎨⎧≤+⇒++-=+-==++--=-=-=Ω∏++-=Ω∏-+=--204222222220,10,12222.2cos 3821212:121.012,1,0,2|1,2,2|1,,.110110.ππθθd dxdyy x x dxdy x y x V x y x D y x z x z z x y x z z n y x z y x z DD y x 为切平面方程解：的体积求所围成，及平面由曲面立体，处的切平面为，，在点记曲面分二三.(10分)计算曲面积分()()().417cos d 66.1,3220103222222111πρρθθπ=+=-=-+=--=∑+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω∑∑∑∑d d v dv I y x z dxdy x z dzdx z y dydz yx 下上下解：的上侧为上半球面其中()()()()()()()()().2,223.0422,0922149,,.2121..2,,21.,14912.002222222020,0,022,0,02222000022220000==⇒=+==+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+===+=⋅==++=⎰⎰⎰y x y y x F x xy F y x y x y x F y x y x ydy x dx xy w w xy Q P ydy x dx xy r d F w F y x W W F y x M y x L Oj y x i xy F y x y x y x y x LLλλλλ与路径无关解：所作的功最大？分别取何值时，当与路径无关；明表达为曲线积分，并证所作的功试求处上位于第一象限内的点移动到椭圆沿光滑曲线的作用下从原点设质点在平面立场分四()()().0210展开成余弦级数将函数分五ππ≤≤-=x xx f()()().0,12cos 1224202|cos 1cos 22,21202020∑⎰∞=≤≤--+=-=⎪⎩⎪⎨⎧===-=-==n n x x n n x x f n n n nx n nxdx xa a πππππππππππ偶数奇数，解：()()()()(){}()()()∑⎰⎰∞=-=≤≤≤≤==++==02210.2;,3,2,1,1.10,0|,,,3,2,111arctan ,412.n n nnD n n x an a x x y y x D n dxdy y x yn a a 的收敛域及和函数求出幂级数求出其中设分六 π()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=⎪⎭⎫⎝⎛='<≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+===⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=∑∑∑⎰⎰⎰∞=∞=+∞=∞→+-01)4,0()0,4[41ln 4.41ln 4,411444,411,4144,4lim 2.4111arctan11arctan 10011001102221x x x x s x x xs x x x xs x x n x xs x n x s R a n x xdx dy y x y n dx a n nn n n n nn n xn n n n ππππππππππππππππ解：()()()()()()()∑∑∞=++∞=++∞→+-+-=--=-=-∏=++111111222.1211.1lim .2.211326:,2132.1168.n n nn n n nn n n n u uu u nu u z y x L M z y x 敛是条件收敛还是绝对收判定级数收敛并求和；级数证明：满足设数列过已知直线使该点处的切平面上的点求出椭球面分分，共每小题七()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()().,)(,1.1,2lim 2.lim ,)(,,0lim ,0,1112.1,1,41303213213661,3,6)2(.012442,1,26,4,212132,6,4,2,,,11111111111112212112112232212000000000000000000∑∑∑=+∞=++∞=++∞→∞→++++∞→∞→∞→+∴∞→++=∴+-+∴=+=∴→+=∞→→-=+-++-+==>⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=-=++∏∈=-+=-⋅=++=nk k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u S n u u u u u u u n u S u u S S n u u u u u u u u u S u u n o n u z y x z y x z y x z z y y x x z y x n z y x M等价于或：条件收敛所以发散，或，，，解得，，联立切平面方程为设解：高数第二学期复习试卷（6）《高等数学B 》一． 填空题 （每小题4分，共24分）()()()()()()()()()()()...__000,00,0,00,0,,,.122连续且可偏导，连续但不可偏导不连续但可偏导，有二重极限但不连续处，在点函数D C B A B y x y x xyy x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=()()().82141cos sin .2dz dx du yz xy u +-=⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ处的全微分，，在点三元函数().0,51,52311,622.322⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧=+++=处的一个单位切向量为，，在点曲线z y x y x z()()⎰⎰=+>>≤+Dd y x b a b y a x D .00,01:.452222σ则设平面区域()()()()⎰=-+-Ldy x x x xdx y C B A ABC L .2cos sin cos 2100101,,.52则，，，，，，的坐标分别为区域的正向边界，其中是三角形设曲线()()()()()()()().)(,,.1.,,2,11.6111111211∑∑∑∑∞=∞=∞=++∞=--+-=-=n n n n n n n n n n n n n a a D a a C a B a A D n na 则以下级数中收敛的是设二.微分及其应用（16分）()()()()()()()()()()().1,20,11|,2|.0,1,01,11,1,,10,10,,8.70,10,1--=-=-=-=+-=≠=====+=gradz xf fz xf zf f z gradz f f v u f z y x xz y x f y x z z vu y v v u x v u 解：求且具有连续偏导数，其中对应于且确定，由方程设函数分()()()().,0,0,1018.822222方体的最大体积乘数法求所能获得的长试用，行于坐标轴长方体的长，宽，高平成长方体若将该直椭圆锥体切削面方程为设一个直椭圆椎体的锥分Lagrange b a z by a x z >>≤≤+=-()().278max .31,32,320,0,014,,,22222abV z b y a x L L L b y a x z xyz z y x L z y x =======⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=λλ解：二． (9)重积分及其应用（18分）()⎰⎰⎰⎰+=-+=--+=ππρρρθπσπ2021222234122422d d d y x A D解：xyz1∑1∑2xyz三(10)(10分)()()()()()()()()[]()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-+-=++--+=≤-+-+-+=Ω=-+-+∑+=∑ΩDrDr d d d b y a x d b a by ax y x V r b y a x D b a by ax z r b a V r b y a x b a b a y x z ππρρθσσ20042222222222222222222.222,:,22.,,,切平面解：相关与圆柱面的半径的位置无关，而仅与点的体积所围成的立体，证明处的切平面以及圆柱面在点与：是由旋转抛物面设四.曲线与曲面积分（18分）()()()[]()()⎰⎰⎰⎰===+==⎩⎨⎧∈>+=+=Lx a udu udu a dt t a t a ds y I x t a t a y t t a x L πππμπμ200320553222.15256sin 32sin 162sin 2cos 1.2,0,0cos 1sin :811轴的转动惯量关于的摆线求线密度为常数分()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∑∑+∑∑=-=--=-=-+-+-=≤≤+=∑111.08823)(20101222ππdxdy x dv I dxdyx z dzdx z y dydz y x I z y x z 解：的下侧，求积分为设有向曲面分五．无穷级数（16分）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()F x x n x f x f D x D x D x f T R R l x a R R xa T R x a n n R x a F a a a a T n f x x f F a a F s s a T s a n n n n l n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=+∞=∞=∞=-+∞=∞→∞=-∞=∞→∞=∞→∞=-=∈∈---<=>⎪⎭⎫⎝⎛--==∞=1000331311221111111.!,8.,,7.1,6.1lim ,05.11,cos 14.,0lim 3.lim 2.18.13时有那么内有各阶导数且在其定义域如果是的收敛区间自然数，那么区间是的收敛如果的收敛半径也是那么的收敛半径是如果，那么收敛如果设绝对收敛那么设收敛则如果有发散，那么部分和如果有界收敛，那么部分和如果判别以下命题真伪分ρ()[]()()()()()].,2()2,0[12cos 12122.)(22008141121212121ππππππππ⋃∈----++=≠⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=∑∞=-x x n n k k k k x f k k x k x k x f n n 解：出收敛区间展开成余弦级数，并指上的函数，把分()()()()()()()()()()()()().45412134-232,t ,2,,10,,00,,,s 45.1211118.21,,1,1111,1.,21)1(ln 08122⎩⎨⎧-==+⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=--+-=⇒⎩⎨⎧=-+=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧-==+-+==-=+++-=+-==+'⇒==+--=-'⇒=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⎰z y x z y x t t t m m s p n m p n m p n m z y x z y x z y x e x x x f xc e xe z e z x z f z e fx dx df f f e f x f x f f dy x f dx x y x f ye x x f x f x x x z x x L x 或直线方程为），，交点为（代入平面，为设平面与直线交点由条件，得方程解：设垂直相交线上求一直线，使它与直在平面分六令因为与路径无关解：求与路径无关，且满足内积分有连续导数，且在区域有连续导数，且在设正函数分六。