循环码实验报告

课程名称： 信息论与编码

课程设计题目： 循环码的编码和译码程序设计

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成绩： 评阅人：

一、实验目的：

1、通过实验了解循环码的工作原理。

2、深刻理解RS 码构造、RS 编译码等相关概念和算法。

二、实验原理

1、RS循环码编译码原理与特点

设C使某线性分组码的码字集合，如果对任CcccCnn),,,(021，它的循环移位),,,(1032)1(nnnccccC也属于C，则称该码为循环码。

该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。

如果一个线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n元组},,,{110ncccc是子空间S的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(nncccc也同样是S中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(jnnjnjnjccccccc也是S中的一个码字。

RS码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二进制BCH码，这使得它处理突发错误的能力特别强。

码长：12mn

信息段：tnk2 （t为纠错符号数）

监督段：knt2

最小码段：12td

最小距离为d的本原RS码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2)

信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1

循环码特点有：

1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。

2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。

3）码字的循环特性，循环码中任一许用码经过牡环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

对所有的i=0,1,2,……k-1，用生成多项式g(x)除nkix，有：

)()()(xbxgxaxiiikn （2—7）

式中)(xbi是余式，表示为：

0,1,11,)(iiknkniibxbxbxb （2—8）

因此，)(xbxikn是g(x)的倍式，即)(1xbxikn是码多项式，由此得到系统形式的生成矩阵为：

(2—9)

它是一个kn阶的矩阵。

同样，由GTH=0可以得到系统形式的一致校验矩阵为：

（2—10）

已知（7，4）循环码的生成多项式和校验多项式分别为：1)(3xxxg，1)(24xxxxh。写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：

2、编码原理：

有信息码构成信息多项式011)(mxmxmkk，其中最高幂次为k-1；

用knx乘以信息多项式m(x)，得到的)(xmxkn，最高幂次为n-1，该过程相当于把信息码1101000011010000110100001101G101110001011100010111H0,01,01,00,1,21,20,11,11,10000010001bbbbbbbbbGknxkkknkkkknk1000100010,00,20,11,01,21,11,01,21,1bbbbbbbbbHkkkkknknkknk

（1km，2km，……，1m，0m）移位到了码字德前k个信息位，其后是r个全为零的监督位；

用g(x)除)(xmxkn得到余式r(x),其次数必小于g(x)的次数，即小于（n-k），将此r(x)加于信息位后做监督位，即将r(x)于)(xmxkn相加，得到的多项式必为一码多项式。

1）有信息码构成信息多项式m(x)=mk-1xk-1+``````m0

其中高幂次为k-1。

2）用xn-k乘上信息多项式m(x)，得最高幂次为n-1，做移位。

3）用g(x)除xn-km(x)和到余式r(x)。

编码过程流程图：

3、译码原理：

1） 有接收到的y(x)计算伴了随式s(x)。

2） 根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样。

3） 计算c^(x)=y(x)+e^(x)，得估计码字。若c^(x)= c(x)，则译码正确，否则错误。

否 由于g(x) 的次数为n - k 次，g(x) 除E(x) 后得余式（即伴随式）的最高次数为n-k-1次，故S(x) 共有2n-k 个可能的表达式，每一个表达式对应一个错误格式。可以知道(7,4）循环码的S(x) 共有2(7-4) =

8个可能的表达式，可根据错误图样表来纠正(7,4）循环码中的一位错误。

解码过程流程图：

4、纠错能力：

由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。而线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。 初始化

由R(x)确定S(x)：

S(x)=0，无误码误由S(x)确定错误图样E(x)

纠错)()()(XRXExc

存储c(x)

定理： 对于任一个),(kn线性分组码，若要在码字内

（1） 检测个错误，要求码的最小距离1ed；

（2）

纠正个错误，要求码的最小距离12td；

（3） 纠正个错误同时检测个错误，则要求1etd；

循环码的译码分检错译码与纠错译码两类。在无记忆信道上，对码字c，差错图案e和接收向量r的多项式描述为

)()()(xexcxr

定义)(xr的伴随多项式为)(xs

112210))((mod)()(rrxsxsxssxgxrxs

由于)),((mod0)()()(xgxgxaxc所以

))()(mod()(xgxexs

由此可见，0)(xs则一定有差错产生，或说满足0))()(mod(xgxe的差错图样)(xe产生，它满足0))()(mod(xgxe。

循环码的检错译码即是计算)(xs并判断是否为0

三、实验分析

1、实验测试结果，包括译码结果、误码率与信噪比之间的关系、生成多项式

理想状态下，对信号随机的提取，编码器输入为1000001110001000，

通过encode函数后，因为加入了监督码，信号变得复杂密集，

编码输出为1011000101001110110001011000

通过译码输出为1000001110001000，与编码输入一致。说明循环码的检错和纠错能力性能好。

输出多项式为：g(x)=(x+a) (x+a2) (x+a3)=a6+a5x+a4x+a3x2+ a3x +a2x+x3

以randint函数重新做一个输入信号并进行编码，结果与上例相似，输入与输出一致。

由上面所有的图可以发现，编码器输入信号并不完全相同，因为对信号的提取是随机的，所以码元也是随机的，信号经过编码器后，因为要加入监督码，所以波形变得更加密集了。信号经过译码后，波形和编码器输入信号大致相同，说明循环码的检错和纠错能力可以。

信噪比与误码率的关系比较，从图中可看出，当信噪比在20以内时，误码率相对比较大，最高达到0.45以上，而当SNR大于２０后，信噪比保持很稳定。下面是误码率的数字显示：

2、实验过程遇到的问题及解决方法

刚开始并没有注意到运用循环码时可用上简便的Matlab自带函数，一直苦恼怎么进行纠错编码及解码，然后查找资料，收集了与循环码相关的函数（部分如下：）

1）encode函数

功能：编码函数

语法：code=encode(msg,N,K,method,opt)

说明：用method指定的方法完成纠错编码。其中msg代表信息码元，是一个K列矩阵，N是编码后的码字长度；K是信息位的长度；opt是有些编码方式需要的参数。

2）decode函数

功能：译码函数

语法：msg=decode（code，N，K，method，opt1,opt2,opt3,opt4）;

说明：这个函数对接收到的码字进行译码，恢复出原始的信息，译码参数和方式必须和编码时采用的严格相同。它对接收到的码字，按method指定的方式进行译码；opt1，…，opt4是可选项的参数。

3）cyclpoly函数

功能：生成循环码的生成多项式。

语法：p=cyclpoly（N,K）;

p=cyclpoly（N,K,fd_flag）;

说明：从p=cyclpoly（N,K）中可找到一个给定码长N和信息位长度K生成多项式p，注意不是任意