湖北省荆州市高三上学期期中数学试卷(理科)
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第 1 页 共 14 页 湖北省荆州市高三上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
选择题 (共12题；共24分)
1.
（2分）
已知a是实数，是纯虚数，则a等于（ ）
A . 1
B . -1
C .
D . -
2. （2分） (2020·西安模拟) 已知集合 ， ，若 中有两个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 已知函数f(x)=x,g(x)为偶函数，且当时，g(x)=x2-2x．记 ． 给出下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x)的说法：①当时，F(x)=x2-2x；②函数为奇函数；③函数F(x)在[-1,1]上为增函数；④函数F(x)的最小值为-1，无最大值．其中正确的是（ ）
A . ①②④
B . ①③④
C . ①③
D . ②④ 第 2 页 共 14 页 4. （2分）
如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与x
轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为
，
则a的值为（
）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知点 为 外接圆的圆心，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，若 ，则当角 取到最大值时 的面积为（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 已知数列 ， 满足 ，则“数列 为等差数列”是“数列 为等差数列”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件 第 3 页 共 14 页 D .
既不充分也不必要条件
7.
（2分）
(2017·海淀模拟)
二项式
的展开式的第二项是（
）
A . 6x4
B . ﹣6x4
C . 12x4
D . ﹣12x4
8. （2分） 如图是一个算法程序框图，当输入的x值为3时，输出的结果恰好是 ， 则空白框处的关系式可以是（ ）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019·东北三省模拟) 等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ，
，则 （ ）
A . 50
B . 100 第 4 页 共 14 页 C . 146
D . 128
10.
（2分）
函数是（
）
A . 最小正周期为的奇函数
B . 最小正周期为的偶函数
C . 最小正周期为的奇函数
D . 最小正周期为的偶函数
11. （2分） (2017高二下·台州期末) 如图，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个顶点只能涂一种颜色的涂料，其中A和C1同色、B和D1同色，C和A1同色，D和B1同色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则涂色方法有（ ）
A . 720种
B . 360种
C . 120种
D . 60种
12. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A .
B . 第 5 页 共 14 页 C .
D .
二、
填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 某校高二年级共1000名学生，为了调查该年级学生视力情况，若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，999，若抽样时确定每组都是抽出第2个数，则第6组抽出的学生的编号________．
14. （1分） (2017高二下·河北开学考) （a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a________．
15. （1分） 从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 的概率是________.
16. （1分） 函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值是________．
三、 解答题 (共7题；共75分)
17. （10分） (2018·恩施模拟) 在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
（1） 求 ；
（2） 若 ，求 的面积.
18. （10分） (2017·南充模拟) 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术 生物 化学 物理 数学
周一
第 6 页 共 14 页 周三
周五
根据上表：
（1） 求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2） 设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19. （15分） (2017高三上·蓟县期末) 已知数列{an}的前n项和 ，数列{bn}的前n项和为Bn ．
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 设 ，求数列{cn}的前n项和Cn；
（3） 证明： ．
20. （15分） (2014·湖北理) π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1） 求函数f（x）= 的单调区间；
（2） 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；
（3） 将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
21. （10分） (2014·浙江理) 已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．
（1） 若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（2） 设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．
22. （5分） (2017·四川模拟) 设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤ ，|z|≤ ，求证：|x+2y﹣3z|≤ ． 第 7 页 共 14 页 23.
（10分） (2017·雨花模拟) 已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（1） 求实数a，b的值；
（2） 求证： ． 第 8 页 共 14 页 参考答案
一、
选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、 第 9 页 共 14 页 16-1、
三、 解答题 (共7题；共75分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、 第 10 页 共 14 页 19-1、
19-2、
19-3、
20-1、 第 11 页 共 14 页 20-2、
20-3、
21-1、 第 12 页 共 14 页
21-2、 第 13 页 共 14 页
22-1、
23-1、 第 14 页 共 14 页 23-2、
