2018版高中数学第三章概率3.4概率的应用学案新人教B版

3.4 概率的应用

1.通过实例进一步理解概率的意义及应用.(重点)

2.能用概率的知识解决实际生活中的问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 概率的应用

阅读教材P116～P117，完成下列问题.

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件.( )

(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈.( )

(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)√

2.已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是( )

A.若他投100次，一定有50次投中

B.若他投一次，一定投中

C.他投一次投中的可能性大小为50%

D.以上说法均错

【解析】 概率是指一件事情发生的可能性大小.

【答案】 C

3.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )

A.f(n)与某个常数相等

B.f(n)与某个常数的差逐渐减小

C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定

【解析】 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.

【答案】 D

4.事件A发生的概率是35，则35表示的________.

【导学号：00732099】

【解析】 根据概率的含义知35表示的是事件A发生的可能性大小.

【答案】 事件A发生的可能性的大小

概率在密码中的应用

为了保证信息安全传输，有一种称为密钥的密码系统(Private­Key

Cryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文――――→加密密钥密文――――→解密密钥明文.

设加密密钥为y＝ax＋1，明文“3”通过加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通过解密密钥解密得到明文“3”.

(1)若接收方接到密文为“64”，则解密后的明文是多少？

(2)若用数字1,2,3，…分别表示A，B，C，…(字母表中的顺序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出现的概率为10.5%，则上述密码系统中，其对应的密文出现的概率是多少？

【精彩点拨】 (1)由条件给出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解决.

(2)利用明文与密文之间的对应关系结合条件给出判断.

【尝试解答】 由题意知，16＝a3＋1，解得a＝2.

(1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”.

(2)因为明文与密文之间是一一对应关系，所以其对应密文出现的概率也是10.5%.

密码技术在军事、政治、经济方面有着广泛的用途.为了使密码设计更难破译，人们发明了许多反破译的方法，利用随机序列就是一种极为重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之间的整数值随机数序列，使每个字母出现在密码中的概率都相等.

[再练一题]

1.现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26，这26个自然数，见表格：

a b c d e f g h i j k l m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

n o p q r s t u v w x y z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26

给出下列一个变换公式：

x′＝ x＋12，x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除.x2＋13，x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.

将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h变成q；5→5＋12＝3，即e变成c.

(1)按上述规定，将明文good译成密文是( )

A.love B.eovl C.dhho D.ohhd

(2)按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是( )

A.lhho B.ohhl C.love D.eovl

【解析】 (1)g→7→7＋12＝4→d，o→15→15＋12＝8→h，d→4→42＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.

(2)逆变换公式为x＝ 2x′－1，x′∈N，1≤x′≤13，2x′－26，x′∈N，14≤x′≤26，

则s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.

【答案】 (1)C (2)C

社会调查问题

深夜，某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司，红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对现场目击证人的辨别能力做了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样的认定公平吗？

【导学号：00732100】

【精彩点拨】 利用条件给出的信息可将真实颜色与证人眼中的颜色列表分析.

【尝试解答】 设该市的出租车有1 000辆，那么依题意可得如下信息：

证人眼中的颜色(正确率80%)

真实颜色 实际数据 蓝色 红色

蓝色(85%) 850 680 170

红色(15%) 150 30 120

合计 1 000 710 290

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，确定它是红色的概率为120290≈0.41，而它是蓝色的概率为170290≈0.59.在实际数据面前，警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.

社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答.但是被采访者常常不愿意如实地作出应答.1965年Stanley L. Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法.Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题.两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的.这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题.

[再练一题]

2.某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：

男 女 合计

赞成调整 18 9

27

反对调整 12 25

37

对这次调查不发表看法 20 16 36

合计 50 50 100

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

【解】 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”.由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝0.73.

总体估计

为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.

【精彩点拨】 利用古典概型的特征，等可能性可估计.

【尝试解答】 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝200n. ①

第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，

由概率的统计定义可知P(A)＝20150. ②

由①②两式，得200n＝20150，解得n＝1 500，

所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.

用古典概型概率的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的，其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率.

[再练一题]

3.山东三吉钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品？

【解】 设有n套次品，由概率的统计定义可知n2 500≈5100，解得n≈125.

所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品.

1.从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )

A.k·nm人 B.k·mn人 C.(k＋m－n)人 D.12(k＋m－n)人

【解析】 设一共有x个小孩，根据概率的意义，有nm＝kx，所以x＝kmn人.

【答案】 B

2.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )

A.12 B.13 C.14 D.15

【解析】 所含的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为14.

【答案】 C

3.在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为( )

A.56 B.45 C.23 D.12

【解析】 10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，∴所求的概率为45＋1590＝23.

【答案】 C

4.电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________.

【解析】 由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为99480＝33160.

【答案】 33160

5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).

(1)第一次翻牌获奖的概率是多少？

(2)某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？

【导学号：00732101】

【解】 (1)第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝520＝14.

(2)前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝318＝16.