高考数学专项复习专题一集合与常用逻辑用语

专题一 集合与常用逻辑用语

01 集合的概念

题型一 判断元素与集合的关系

题型二 根据元素与集合的关系求参数

题型三 利用集合互异性求参数

题型四 集合的描述方法

题型五 元素个数的求解及参数问题

02 集合间的基本关系

题型一 判断集合的子集（真子集）个数

题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题

题型三 两个集合相等求参数

题型四 空集性质及应用

题型五 根据集合相等关系进行计算

03 集合的基本运算

题型一 根据交集结果求集合或参数

题型一 根据交集结果求集合或参数

题型三 根据补集结果求集合或参数

题型四 交并补混合运算确定集合或参数

题型五 容斥原理的应用

题型六 集合新定义

04 充分条件与必要条件

题型一 根据充分不必要条件求参数

题型二 根据必要不充分条件求参数

题型三 根据充要条件求参数

题型四 充要条件的证明 05 全称量词与存在量词

题型一 根据全称命题的真假求参数

题型二 根据特称（存在性）命题的真假求参数

题型三 含有一个量词的命题的否定的应用

专题1 集合的概念

题型一

判断元素与集合的关系

1．下面有四个语句:

①集合N*中最小的数是0;

②-a∉N，则a∈N;

③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;

④x2+1=2x的解集中含有两个元素.

其中说法正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;

取a=2，则-2∉N， 2 ∉N，所以②错误;

对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;

对于④，解集中只含有元素1，故④错误.

故选：A

2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合6|xQNx是有限集．其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2

C．3 D．0

【答案】D

【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；

②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；

③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；

④当x为正整数的倒数时，6x∈N，所以6|xQNx是无限集，所以④不正确．

故选：D

3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即5knknZ，0,1,2,3,4k，给出如下四个结论：①20111；②33；③若整数,ab属于同一“类”，则0ab；④若0ab，则整数,ab属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C 【解析】对于①，201154021，20111，①正确；

对于②，352，即3被5除余2，33，②错误；

对于③，设15ank，25bnk，125abnn，能被5整除，

0ab，③正确；

对于④，设5abn，nZ，即5anb，nZ，

不妨令5bmk，mZ，0,1,2,3,4k，

则555anmkmnk，mZ，nZ，0,1,2,3,4k，

,ab属于同一“类”， ④正确；

综上所述：正确结论的个数为3个.

故选：C.

4．已知集合{10}Axx，23a，则a与集合A的关系是（

）

A．aA B．aA C．aA D．{}aA

【答案】A

【解析】解：{|10}Axx，23224a，

10a，

aA，

故选：A．

5．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②aN，则aN；③aN，Nb，则ab的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】①N表示自然数集，最小的数为0，①错误；

②若32aN，则32aN，②错误；

③若0a，1b，则1ab，③错误.

正确命题的个数为0个

故选：A

6．用符号“”或“”填空：

（1）0________N*，5________Z；

（2）23________{x|x＜11}，32________{x|x＞4}；

（3）(－1，1)________{y|y＝x2}，(－1，1)________{(x，y)|y＝x2}． 【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈

【解析】（1）*0N 5∉Z；

（2）22(23)(11)，2311，∴23{|11}xx；

22(32)4，即324，∴32{|4}xx；

（3）(－1，1)为点，{y|y＝x2}中元素为数，故(－1，1) {y|y＝x2}．

又∵(－1)2＝1，∴(－1，1){(x，y)|y＝x2}．

故答案为：；；；；；

题型二 根据元素与集合的关系求参数

1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（ ）

A．0 B．2019

C．1 D．0或2019

【答案】C

【解析】若集合M中有两个元素，则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.

故选：C.

2．若集合2{|320}AxRaxx中只有一个元素，则(a )

A．92 B．98 C．0 D．0或98

【答案】D

【解析】解：集合2{|320}AxRaxx中只有一个元素，

当0a时，可得23x，集合A只有一个元素为：23．

当0a时：方程2320axx只有一个解：即980a，

可得：98a．

故选：D．

3．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.

【答案】32

【解析】解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，

由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去.

由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或32，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去.

∴a=32.

故答案为：﹣32.

4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________.

【答案】3

【解析】

∵2{0,,32}Ammm，且2A，∴2m或2322mm，即2m或0m或3m，当2m时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m时，032A，，满足题意，∴3m，故答案是3.

5．已知集合2{|320}Axaxx，其中a为常数，且aR．

（1）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；

（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

【答案】（1）89a；（2）89a或0a

【解析】解：（1）0a，由320x，解得23x，满足题意，因此0a．

0a时，A中至少有一个元素，980a，解得89a，0a．

综上可得：a的取值范围是89a．

（2）0a，由320x，解得23x，满足题意，因此0a．

0a时，A中至多有一个元素，980a，解得89a．

综上可得：a的取值范围是89a或0a．

题型三 利用集合互异性求参数

1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}bba，也可表示为{,,1}aab，则ab的值为____．

【答案】0

【解析】由题意{,,0}{,,1}bbaaba，可得0a，

根据集合相等和元素的互异性，可得0ab且1b，解得1,1ab，

此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}bbaaba

所以0ab.

故答案为0. 2．已知集合22{2,(1),33}Aaaa，且1A，则实数a的值为________．

【答案】1或0

【解析】若211,a则0a或2,a

当0a时，2,1,3A，符合元素的互异性；

当2a时，2,1,1A，不符合元素的互异性，舍去

若2a3a31,则1a或2,a

当1a时，2,0,1A，符合元素的互异性；

当2a时，2,1,1A，不符合元素的互异性，舍去；

故答案为：1或0.

3．已知集合2411Aaaa，，2|0Bxxpxq，若1A.

（1）求实数a的值；

（2）如果集合A是集合B的列举表示法，求实数pq，的值.

【答案】（1）4a；（2）23pq，.

【解析】解：（1）∵1A，∴2411aa或者11a

得4a或0a，

验证当0a 时，集合11A，，集合内两个元素相同，故舍去0a

∴4a

（2）由上4a得13A，，故集合B中，方程20xpxq的两根为1、-3.

由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3pq，.

4．已知20,1,1aaa，求a的值．

【答案】1a

【解析】由已知条件得：

若a＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a≠0；

若a﹣1＝0，a＝1，则集合为{1，0，0}，显然a≠1；

若a2﹣1＝0则a＝±1，由上面知a＝1不符合条件；a＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；

∴a＝﹣1．

5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1baa，又可表示成2{,,0}aab，求20172018ab的值．

【答案】-1