高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 2 集合中的创新性

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 2 集合中的创新性问题 理

训练目标 (1)有关集合知识的深化提高；(2)转化和化归思想的应用. 训练题型 与集合有关的新定义问题.

解题策略 (1)紧扣新定义，将题中信息转化为集合语言；(2)借助于验证法、特例法求解.

1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

2．定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}．则(A⊙B)⊙B为________．

3．(2015·山东文登上学期第一次考试)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数为________．

4．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：当且仅当a＝c，b＝d时(a，b)＝(c，d)，运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“D○＋”为：(a，b)D○＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1,2)D○＋(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊗(p，q)＝________.

5．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是________．

6．(2015·广东珠海上学期期末)已知集合S＝{P|P＝(x1，x2)，xi∈{0,1}，i＝1,2}，对于A＝(a1，a2)，B＝(b1，b2)∈S，定义A与B的差为A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|)，定义A与B之间的距离为d(A，B)＝|a1－b1|＋|a2－b2|.∀A，B，C∈S，则①d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)；②d(A，C)＋d(B，C)>d(A，B)；③d(A－C，B－C)＝d(A，B)；④d(A－C，B－C)>d(A，B)．

上述结论中一定成立的是________．

7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝ CA－CB，CA≥CB，CB－CA，CA

8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________.

9．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

10．定义A*B＝{x|x＝x1＋2x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．则A∩(A*B)∪B＝________.

11．A，B是非空集合，若a∈A，b∈B，且满足|a－b|∈A∪B，则称a，b是集合A，B的一对

“基因元”．若A＝{2,3,5,9}，B＝{1,3,6,8}，则集合A，B的“基因元”的对数是________．

12．(2015·广东)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p

13．(2015·江西省师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)设集合M＝{(x，y)|F(x，y)＝0}为平面坐标系xOy内的点集，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，则称点集M满足性质P.给出下列四个点集：

①R＝{(x，y)|sin x－y＋1＝0}；②S＝{(x，y)|ln x－y＝0}；③T＝{(x，y)|x2＋y2－1＝0}；④W＝{(x，y)|xy－1＝0}．

其中所有满足性质P的点集的序号是________．

14．(2015·安徽江淮名校第二次联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，对于任意实数对(x1，y1)∈M，存在实数对(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“孪生对点集”．给出下列五个集合：

①M＝{(x，y)|y＝1x}；

②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；

③M＝{(x，y)|y＝sin x}；

④M＝{(x，y)|y＝x2－1}；

⑤M＝{(x，y)|y＝ln x}．

其中不是“孪生对点集”的序号是________．

答案解析

1．10

解析 (直接法)因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y>0，x>y.

当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；

当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；

当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；

当y＝4时，x只能取5，共有1个数；

当y＝5时，x不能取任何值．

综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10.

2．{1,2,3,4}

解析 由新定义得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．

3．17

解析 若a，b同为正奇数或同为正偶数，则有16＝1＋15＝2＋14＝3＋13＝4＋12＝5＋11＝6＋10＝7＋9＝8＋8，除了最后一对，前面的每一对都可以交换，共有15种情况；若a，b中一个为正奇数，另一个为正偶数时，则16＝1×16＝16×1，共2种情况．综上，一共有17种情况，即M中的元素个数为17.

4．(2,0)

解析 由(1,2)D○＋(p，q)＝(5,0)，得 p－2q＝5，2p＋q＝0⇒ p＝1，q＝－2.

所以(1,2)⊗(p，q)＝(1,2)⊗(1，－2)＝(2,0)．

5．6

解 当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.

所以A*B＝{0,2,4}，所有元素之和为0＋2＋4＝6.

6．③

解析 设A＝(a1，a2)，B＝(b1，b2)，C＝(c1，c2)，则d(A，B)＝|a1－b1|＋|a2－b2|，d(A，C)＝|a1－c1|＋|a2－c2|，d(B，C)＝|b1－c1|＋|b2－c2|，d(A－C，B－C)＝||a1－c1|－|b1－c1||＋||a2－c2|－|b2－c2||.对于①②，当A＝B＝C时，显然d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)＝0，当A＝B＝(1,1)，C＝(0,0)时，d(A，C)＋d(B，C)＝4，而d(A，B)＝0，因此d(A，C)＋d(B，C)>d(A，B)，故①②均不一定成立．对于③④，若a1＝b1，则|a1－b1|＝0且||a1－c1|－|b1－c1||＝0；若a1≠b1，由a1，b1，c1∈{0,1}，得|a1－b1|＝1，且|a1－c1|和|b1－c1|必有一个

为1，另一个为0，即||a1－c1|－|b1－c1||＝1.综上|a1－b1|＝||a1－c1|－|b1－c1||，同理|a2－b2|＝||a2－c2|－|b2－c2||，所以d(A－C，B－C)＝d(A，B)．故③一定成立．

7．3

解析 因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±22时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－22或a>22时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22

8．{x|0

解析 由log2x<1得0

由|x－2|<1得1

依题意得P－Q＝{x|0

9．{0,6}

解析 由题意可知，－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3，

而当x＝0时，不符合元素的互异性，舍去；

当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．

10．{1,2,3}

解析 A∩(A*B)∪B＝{1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．

11．13

解析 由题意知，2,1；2,3；2,8；3,1；3,6；3,8；5,3；5,6；5,8；9,1；9,3；9,6；9,8都是A，B的“基因元”，共13对．

12．200

解析 对于集合E，当s＝4时，p，q，r都可取0,1,2,3中的一个，有43＝64种；当s＝3时，p，q，r都可取0,1,2中的一个，有33＝27种；当s＝2时，p，q，r都可取0,1中的一个，有23＝8种；当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.

对于集合F，当t＝0时，u可取1,2,3,4中的一个，有4种；当t＝1时，u取2,3,4中的一个，有3种；当t＝2时，u可取3,4中的一个，有2种；当t＝3时，u可取4，有1种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200.

13．③④

解析 对于①，R＝{(x，y)|sin x－y＋1＝0}，y＝sin x＋1，定义域是R.对于任意(x1，y1)∈M，不妨取(0,1)，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2<0，①中点集R不满足性质P.

对于②，S＝{(x，y)|ln x－y＝0}，y＝ln x的定义域是{x|x>0}．对于任意(x1，y1)∈M，不