高考数学第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2．集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x∈B，x∉A AB或
BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，且B⊆A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ∀x，x∉∅，∅⊆A ∅
3．集合的基本运算
表示
运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 第 2 页 共 41 页
并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
续补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A}
∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)运算性质
①A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B.
②A∪B＝B∪A，A∪B＝B⇔A⊆B.
③∁S(∁SA)＝A，(∁SA)∪(∁SB)＝∁S(A∩B)，(∁SA)∩(∁SB)＝∁S(A∪B)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________．
①{0}＝∅；②0∈{0}；③∅{0}；④{0,1}⊆{(0,1)}；⑤{(a，b)}＝{(b，a)}．
解析：由集合的有关概念易知②③正确．
答案：②③
2．(教材习题改编)集合x63－x∈N，x∈N ，用列举法表示为________．
解析：用列举法可知x可取0,1,2.
答案：{0,1,2}
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________.
答案：{2,4}
4．集合{a，b}的所有子集为________．
答案：{a}，{b}，{a，b}，∅
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为第 3 页 共 41 页
不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．若集合A＝{a＋1，a－1，a2－3}满足1∈A，则实数a的值为________．
解析：若a＋1＝1，则a＝0，A＝{1，－1，－3}，满足；若a－1＝1，则a＝2，此时a2－3＝1，与集合的互异性矛盾，舍去；
若a2－3＝1，则a＝±2，a＝2舍去，当a＝－2时，A＝{－1，－3，1}，满足．
答案：0或－2
2．已知集合M＝{x|y＝x2＋2x＋4}，N＝{y|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝________.
解析：因为M＝R，N＝52，＋∞，所以M∩N＝52，＋∞.
答案：52，＋∞
3．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为________．
解析：当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
答案：7
考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
答案：9
2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．
解析：∵A＝∅，∴方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，
x＝23不合题意，当a≠0时，Δ＝9－8a<0，∴a>98.
答案：98，＋∞
3．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 第 4 页 共 41 页
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.
答案：－32
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第3题易忽视．
考点二 集合间的基本关系（重点保分型考点——师生共研）
[典例引领]
1．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
解析：当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则 m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2
综上，实数m的取值范围为(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
2．(2016·苏州四市调研)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
答案：4 第 5 页 共 41 页
3．集合A＝{0,1，x}，B＝{x2，y，－1}，若A＝B，则y＝________.
解析：因为A＝{0,1，x}，B＝{x2，y，－1}，且A＝B，所以x＝－1，此时集合A＝{0,1，－1}，B＝{1，y，－1}，所以y＝0.
答案：0
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．已知集合A＝{x|2a－2
解析：∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．
(1)当A＝∅时，2a－2≥a，解得a≥2；
(2)当A≠∅时，由A∁RB，得 2a－2
综上可知， 实数a的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
2．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1,2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
解：若A＝∅，则Δ＝4－4a<0，解得a>1；
若A≠∅，则A＝{1}或{2}或{1,2}；
若A中只有一个元素，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.当a＝1时，A＝{1}，满足；
若A中有两个元素，则A＝{1,2}，则 1－2＋a＝0，4－4＋a＝0，无解．
综上可知，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
考点三 集合的基本运算（常考常新型考点——多角探明）
[命题分析]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能第 6 页 共 41 页
力．
常见的命题角度有：
(1)求交集或并集；
(2)交、并、补的混合运算；
(3)新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：求交集或并集
1．(2014·江苏高考)已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________.
解析：A∩B＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．
答案：{－1,3}
2．(2016·兰州诊断)已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x>1}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
解析：由|x|<1，得－1
又由2x>1，解得x>0，所以B＝{x|x>0}．
所以A∩B＝{x|0－1}．
答案：{x|0－1}
角度二：交、并、补的混合运算
3．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求实数a的值以及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)．
解：(1)由题意可知，2∈A,2∈B，将x＝2代入集合A中得，8＋2a＋2＝0，解得a＝－5.则A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝2，12 ，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)U＝A∪B＝2，12，－5 ，∁UA＝{－5}，∁UB＝12 ，所以(∁UA)∪(∁UB)＝12，－5 .
角度三：新定义集合问题
4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
解析：要使x－y∈A，当x＝5时，y可取1,2,3,4；
当x＝4时，y可取1,2,3；
当x＝3时，y可取1,2；
当x＝2时，y可取1.综上共有10个．
