高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》分类汇编附答案解析
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新高考数学《复数》专题解析
一、选择题
1．设i是虚数单位，则2320192342020iiii的值为（ ）
A．10101010i B．10111010i C．10111012i D．10111010i
【答案】B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设2320192342020Siiii,
可得：24201920320023420192020iSiiiii，
则24201923020(1)22020iSiiiiii，
2019242019202023020(1)(1)202020201iiiSiiiiiiiiii，
可得：2(1)(1)(1)20202020202112iiiiiSiiii，
可得：2021(2021)(1)1011101012iiiSii，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
2．若zC且342zi，则1zi的最大和最小值分别为,Mm，则Mm的值等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数z在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,Mm，从而可得Mm的值.
【详解】
因为342zi，
故复数z在复平面上对应的点P到134zi对应的点A的距离小于或等于2，
所以P在以3,4C为圆心，半径为2的圆面内或圆上，
又1zi表示P到复数21zi对应的点B的距离， 故该距离的最大值为22231412412AB，
最小值为2412AB，故4Mm.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数中12zz的几何意义，该几何意义为复平面上12,zz对应的两点之间的距离，注意12zz也有明确的几何意义（可把12zz化成12zz），本题属于中档题.
3．设i是虚数单位，若复数103aaRi是纯虚数，则a的值为（
）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因,
故由题设,
故,故选D．
考点：复数的概念与运算.
4．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．1 D．i
【答案】A
【解析】
12izi22(1)112iiizii，所以z的虚部是1，选A.
5．已知复数izxy（x，yR），且23z，则1yx的最大值为（ ）
A．3 B．6
C．26 D．26
【答案】C
【解析】
【分析】 根据模长公式，求出复数z对应点的轨迹为圆，1yx表示(,)xy与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.
【详解】
∵复数izxy（x，yR），且23z，
∴2223xy，∴2223xy.
设圆的切线l：1ykx，则22131kk，
化为2420kk，解得26k，
∴1yx的最大值为26.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
6．已知(,)abiabR是11ii的共轭复数,则ab（ ）
A．1 B．12 C．12 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算法则求出11ii的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
21(1)21112iiiiiii，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．已知i是虚数单位，则复数242izi的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】
解：∵242232424242105iiiziiii，
∴32105zi，
∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限．
故选：A．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为.abi
8．若复数21zii（i为虚数单位），则||z（ ）
A．2 B．3 C．5 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.
【详解】
22(1)121(1)(1)iziiiiii，22||125z.故选C.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.
9．复数z满足1|1|zii，则复数z在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简2222zi，再结合复数的几何表示方法，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足1|1|zii，可得21|1|2211122iiziiii，
则复数z在复平面内对应的点为22(,)22位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．已知m为实数，i为虚数单位，若24mm 0i，则222mii（ ）
A．i B．1 C．- i D．1
【答案】A
【解析】
因为2(4)0mmi，所以2(4)mmi是实数，且20{240mmm，故22(1)222(1)miiiii，应选答案A．
11．设复数21ixi（i是虚数单位），则112233202020202020202020202020CxCxCxCx（ ）
A．1i B．i C．i D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x，再根据所求式子为2020(1)1x，从而求得结果．
【详解】
解：复数2(1ixii是虚数单位），
而1122332020202020202020202020202020(1)1CxCxCxCxx，
而2121(1)111(1)(1)iiiixiiiii，
故11223320202020202020202020202020202020(1)11110CxCxCxCxxi， 故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
12．若复数z满足2(12)1izz，则其共轭复数z为（ ）
A．1188i B．1188i C．1188i D．1188i
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到18iz，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
21111(12)1,,44888iizzzziiQ.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
13．设(1)1ixyi，其中,xy是实数，则xyi在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
由11ixyi，其中,xy是实数，得：11,1xxxyy，所以xyi在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
14．复数11i的共轭复数是 （ ）
A．1122i B．1122i C．1i D．1i
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i，进而可得结果.
【详解】 因为111121211iiiii，
所以11i的共轭复数是1122i，
故选：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
15．设3izi，i是虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】
因为z=3ii13iz的虚部为-3，选D.
16．若复数z满足1(120)zi,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24zi，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足1(120)zi，可得10121024121212iziiii，
所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．已知复数122izi （i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．i
【答案】C
