高考数学压轴专题新备战高考《复数》分类汇编含答案解析
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【最新】数学《复数》期末复习知识要点(1)
一、选择题
1．设复数21ixi（i是虚数单位），则112233202020202020202020202020CxCxCxCx（ ）
A．1i B．i C．i D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x，再根据所求式子为2020(1)1x，从而求得结果．
【详解】
解：复数2(1ixii是虚数单位），
而1122332020202020202020202020202020(1)1CxCxCxCxx，
而2121(1)111(1)(1)iiiixiiiii，
故11223320202020202020202020202020202020(1)11110CxCxCxCxxi，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
2．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】
设()zxyixyR、，代入11ziz，求模后整理得z在复平面内对应点的轨迹是直线．
【详解】
设()zxyixyR、，
2211xyixy，22111izixyiyx，
则222211xyyx＝，得yx，
所以复数zxyi对应点的轨迹为直线，故选A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
3．a为正实数，i为虚数单位，2aii，则a=（ ）
A．2
B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
2||21230,3aiaaaaiQQ，选B.
4．设i是虚数单位，若复数103aaRi是纯虚数，则a的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因,
故由题设,
故,故选D．
考点：复数的概念与运算.
5．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．1 D．i
【答案】A
【解析】
12izi22(1)112iiizii，所以z的虚部是1，选A.
6．已知复数z满足121izii（其中z为z的共轭复数），则z的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D 【解析】
【分析】
按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z.
【详解】
21(1)21(1)(1)2iiiiiiiQ，
1222(2)121iiziiziziiiii，
2212||(1)25ziz.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
7．已知复数z满足(1)43zii，其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A．52 B．522 C．52 D．54
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简z, 复数z在复平面中对应的点到原点的距离为||,z利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数z在复平面中对应的点到原点的距离为||,z
43(43)(1)1717,1222214952||442iiiiziiz
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
8．已知复数z满足21zizi，则z
A．12i B．12i
C．1i D．1i
【答案】C 【解析】
【分析】
设出复数z，根据复数相等求得结果.
【详解】
设,zabiabR，则zabi，
故22221zizabiiabibaabii，
故2121baab，解得11ab.
所以1zi.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
9．设i是虚数单位，则复数734ii在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
因为734ii(7)(34)2525=1(34)(34)25iiiiii，
所以所对应的点为(1,1)，位于第四象限，选D.
10．已知zC，2zizi，则z对应的点Z的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z的轨迹.
【详解】
2zizi的几何意义为复数z对应的点Z到点0,1A和点0,1B的距离之和为2，即ZAZBAB，另一方面，由三角不等式得ZAZBAB.
当且仅当点Z在线段AB上时，等号成立.
因此，点Z的轨迹为线段.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．若复数234sin12coszi为纯虚数，0,，则（ ）
A．6 B．3 C．23 D．3或23
【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数23412zsincosi为纯虚数，则：
234sin012cos0，即：23sin41cos2，
结合0,，可知：3sin21cos2，故3.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．若121zz，则称1z与2z互为“邻位复数”.已知复数13zai与22zbi互为“邻位复数”，,abR，则22ab的最大值为（ ）
A．827 B．827 C．17 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)ab在圆22(2)(3)1xy，22ab表示点(,)ab到原点的距离，计算得到答案.
【详解】
|32|1aibi，故22(2)(3)1ab，点(,)ab在圆22(2)(3)1xy上，
而22ab表示点(,)ab到原点的距离，
故22ab的最大值为22222(3)1(17)827.
故选：B.
【点睛】 本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若231zii，则4zi（ ）
A．6 B．50 C．52 D．34
【答案】C
【解析】
【分析】
计算5zi，再代入计算得到答案.
【详解】
由231zii，得2315ziii，则4545552ziiii.
故选：C．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
14．复数12i2i（ ）．
A．i B．1i C．i D．1i
【答案】A
【解析】
试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5iiiiiiiii，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
15．若复数z满足1(120)zi,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24zi，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足1(120)zi，可得10121024121212iziiii， 所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
16．已知复数z＝23(13)ii，则|z|＝( )
A．14 B．12 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为z=23(3)334(13)2232(3)iiiiiiii，因此|z|＝12
17．已知复数z在复平面内对应点是1,2，i为虚数单位，则21zz（ ）
A．1i B．1i C．312i D．312i
【答案】D
【解析】
21zz323122iii ，选D.
18．已知复数z满足11zii，则z （ ）
A．i B．1 C．i D．1
【答案】B
【解析】
1i1iz，则21i1i2i1i1i1i2zi，1z，故选B.
19．复数z满足|||3|zizi，则||z( )
A．恒等于1 B．最大值为1，无最小值
C．最小值为1，无最大值 D．无最大值，也无最小值
