定理 1 若 f (x) C([a,b]), 则 f (x) R([a,b]) .
若 f (x) 在[a,b] 上单调、有界, 则 f (x) R([a,b]) .
定理 2 f (x) 在[a,b] 上有界, 且仅有有限个(一类)
间断点, 则 f (x) R([a,b]) .
y
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念
一. 曲边梯形的面积 二. 定积分的定义 三. 定积分的性质
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念和性质
在我国古代南北朝（公元 429 — 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了π 近似值.
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t)dt .
a
a
a
(3) || x || 0时, 分点个数 n , 但是, 当分点 个数 n 时, 却不一定有|| x || 0.
(4) 若将非均匀变化的事物看成是均匀变化时, 可以表示为两个变量的乘积形式, 则该非均 匀变化问题可以用定积分方法处理： 分划— 代替 —求和— 取极限
O a c bx
定理 3
若 f (x) R([a,b]), 则 | f (x) | R([a,b]) .
定理 3的逆不真.
例如,
f
( x)
1, 1，
x 为有理数, x 为无理数.
定理 4 若 f (x) R([a,b]), 则 [c,d ] [a,b] ,
f (x) R([c,d]) . y
a f (x)d x 0
