托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录

微积分课后习题六答案微积分课后习题六答案微积分是一门重要的数学学科，它研究的是函数的变化和极限。

在学习微积分的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

本文将为大家提供微积分课后习题六的答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握微积分知识。

1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。

解：根据定积分的定义，我们可以将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (1-0)/n = 1/n。

然后，我们在每个小区间中选择一个代表点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，并将其乘以小区间的长度Δx。

最后，将所有小区间的函数值乘以对应的长度Δx后相加，即可得到定积分的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋向于定积分的真实值。

即：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx= lim(n→∞) ∑[i=1,n] (xi)^2 * (1/n)= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (xi)^2由于区间[0,1]上的任意小区间长度都是相等的，所以我们可以将其简化为：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (i/n)^2= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] i^2/n^2= lim(n→∞) (1/n^3) * ∑[i=1,n] i^2根据数学公式∑[i=1,n] i^2 = n(n+1)(2n+1)/6，代入上式，得到：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n^3) * [n(n+1)(2n+1)/6]= lim(n→∞) (2n^3 + 3n^2 + n)/(6n^3)= 1/3所以，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。

2. 求函数f(x) = e^x在区间[0,2]上的定积分。

解：与上题类似，我们可以将区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分第八章课后习题答案习题8-11.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。

2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。

3.122yx.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：21()(1)2u x x dxxx C .习题8-21.（1）原式化为：ln dy x y ydx分离变量得：11ln dy dxy yx 两边积分得：11ln dydxy y x 计算得：11ln ln d ydxyx即：1ln ln ln y x C 整理：1ln yC x所以：原微分方程的通解为：Cxye ；（2）原式化为：2211y x dyx ydx分离变量得：2211y x dydx yx两边积分得：2211yxdydx y x 计算得：22221111112211d yd xy x即：221ln 1ln 1yx C 整理：22(1)(1)y x C所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)yxC ；（3）原式化为：21x dyxydx分离变量得：211x dydxyx两边积分得：211x dydxy x 计算得：2211ln 121yd xx即：21ln 1y x C 整理：21xyCe所以：原微分方程的通解为：21x y Ce；（4）1yeCx ；（5）sin 1yC x ；（6）1010xyC ；（7）22ln 22arctan y y xx C ；（8）当sin02y 时，通解为ln |tan |2sin42y y C；当sin02y 时，特解为2(0,1,2,)y k k ；（9）222ln x yx C ；（10）22ln ln xyC 。

2.（1）tan2x y e；（2）(1)sec 22xe y ；（3）2(1)22yxe y ；（4）1ln |1|1a x a y；（5）24x y；（6）323223235y yxx；（7）sin yx ；（8）cos 2cos 0xy。

Assignment-11.Find the domain and range of the function y =tan(2x −π).2.If f (x )=2−x and g (x )=3√x +1,find(1)(f ◦g )(−1)(2)(g ◦f )(2)(3)(f ◦f )(x )(4)(g ◦g )(x )3.Write formulas for (f ◦g )and (g ◦f )and find the domain and range of each.f (x )=√x ,g (x )=√1−x .4.Sketch the graphs of f and (f ◦f ),wheref (x )=x +1,−2≤x <0x −1,0≤x ≤212Assignment-1 .5.Describe how each graph is obtained from the graph of y=f(x)(a).y=f(x−5)(b).y=f(4x)(c).y=f(−3x)(d).y=f(2x+1))−4(e).y=f(x3(f).y=−3f(x)+146.ABC is a right triangle with the right angle at C.The sides opposite angle A,B and C are a,b andc respectively.a.Find a and b if c=2,B=π/3b.Find a and c if b=2,B=π/3c.Express sin A in terms of a and cd.Express sin A in terms of b and c7.Find the average rate of change of the function over the given intervals.h(t)=cot t, a.[π/4,3π/4] b.[π/6,π/2]3.8.Find (a)the slope of the curve at the given point P,and (b)an equation of the tangent line at P .(1).y =x 2−4x ,P :(1,−3)(2).y =2−x 3,P :(1,1)9.Explain why the limit does not exist limx →0x|x |10.If f (1)=5,must lim x →1f (x )exist?If it does,then must lim x →1f (x )=5?Can we conclude anything about lim x →1f (x )?Explain.11.Find the limits.1).lim h →0√5h +4−2h4Assignment-12).lim y →05y 3+8y 23y 4−16y 212.Suppose that lim x →−2p (x )=4,lim x →−2r (x )=0,and lim x →−2s (x )=−3.Finda.lim x →−2(r (x )+p (x )+s (x ))b.lim x →−2p (x )·r (x )·s (x )c.lim x →−2(−4p (x)+5r (x ))s (x )13.Let G (x )=(x +6)/(x 2+4x −12).a.Make a table of the values of G at x =−5.9,−5.99,−5.999and so on.Then estimate lim x →−6G (x ).What estimate do you arrive at if you evaluate G at x =−6.1,−6.01,−6.001,···instead?b.Support your conclusion in part(a)by graphing G and using Zoom and Trace to estimate y −valueson the graph as x →−6.c.Find lim x →−6G (x )algebraically.14.If lim x →0f(x )x 2=1,finda.lim x →0f (x )b.lim x →0f (x )x。

微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。

在学习微积分的过程中，课后习题是非常重要的一环。

通过做习题，我们可以巩固课堂上所学的知识，提高自己的解题能力。

然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法找到正确的解答。

因此，本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。

一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。

解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。

因此，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为13/9。

2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。

解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。

此时，函数f(x)的极限不存在。

二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。

解答：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。

将函数f(x)代入该定义中，得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。

化简后可得f'(x) = 6x - 4。

2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。

解答：微分df(x) = f'(x)dx。

将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中，得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。

三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。

解答：根据定积分的定义，定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx，其中Δx = (b - a)/n，xi为区间[a, b]上的任意一点。

微积分第六版课后习题答案微积分是数学的一门重要分支，是研究函数的变化和求解问题的一种方法。

而对于学习微积分的学生来说，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

然而，对于微积分第六版的课后习题答案，很多学生可能会感到困惑和苦恼。

本文将就微积分第六版课后习题答案这一话题进行探讨，希望能够给学生们一些启示和帮助。

在学习微积分的过程中，课后习题是一个不可或缺的环节。

通过解答习题，学生可以巩固所学的知识，加深对概念和定理的理解，并提高解题能力。

然而，有时候学生在自己独立思考之后，仍然无法得到正确的答案，这时候就需要参考课后习题的答案了。

对于微积分第六版的课后习题答案，学生们可能会遇到以下几个问题。

首先，有些学生可能会觉得微积分第六版的课后习题答案过于简单或者过于复杂。

这是因为每个人的学习能力和水平都不同，对于同一道题目的难度感受也会有所不同。

对于那些觉得答案过于简单的学生来说，可以尝试更深入地思考问题，寻找更多的解题方法。

而对于那些觉得答案过于复杂的学生来说，可以先尝试理解答案中的思路和方法，再逐步推导出自己的答案。

其次，有些学生可能会遇到一些习题答案错误或者解题过程不清晰的情况。

这是因为编写习题答案是一项相对复杂的任务，很难避免出现一些错误或者不准确的地方。

对于这种情况，学生们可以通过参考其他参考书籍或者向老师请教来解决问题。

同时，也可以通过自己的思考和推导，找出错误的地方并进行修正。

最后，有些学生可能会觉得课后习题答案的解题过程过于简洁或者缺乏详细的解释。

这是因为在编写答案时，为了节约篇幅和保持简洁性，可能会省略一些步骤和解释。

对于这种情况，学生们可以通过自己的思考和推导，补充缺失的步骤和解释，从而更好地理解和掌握知识。

总之，微积分第六版的课后习题答案对于学生们来说是一个重要的参考资料。

通过解答习题和参考答案，学生们可以巩固知识，提高解题能力，并加深对微积分的理解。

然而，在使用课后习题答案时，学生们也要注意一些问题，如答案过于简单或者复杂、答案错误或者解题过程不清晰、解题过程简洁或者缺乏详细解释等。

托马斯微积分勘误引言托马斯微积分是一本经典的微积分教材，被广泛应用于高等数学教育领域。

然而，就像任何一本书籍一样，它可能存在一些错误或不准确的地方。

本文将对托马斯微积分中的一些常见勘误进行总结和讨论。

勘误内容第1章微积分的基本概念1.1 实数与数轴•P2，第4行：将“μ”更正为“n”。

1.2 函数与极限•P10，倒数第4行：将“lim(x→a) f(x)”更正为“lim(x→a) f(x) = L”。

第2章导数与应用2.1 导数的定义与求法•P29，最后一行：将“h→0”更正为“h→∞”。

2.3 高阶导数、隐函数及参数方程求导法•P83，倒数第7行：将“dy/dx = dy/dt / dx/dt”更正为“dy/dx = dy/dt / dx/dt |(dx/dt ≠ 0)”。

第3章微分学的应用3.5 泰勒公式与泰勒展开式•P157，第2行：“f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)^2 + …”中的“…”更正为“+ an(x - x0)^n”。

第4章不定积分4.3 分部积分法•P235，倒数第8行：将“∫u dv = uv - ∫v du”更正为“∫u dv = uv - ∫v du |(u ≠ 1, v ≠ 1)”。

第5章定积分及其应用5.3 定积分的应用•P312，第3行：“F(b) - F(a)”更正为“F(b) - F(a) = ∫[a, b] f(x) dx”。

第6章微分方程初步6.1 微分方程及其解•P366，倒数第4行：“y’ = f(t, y)”更正为“y’ = f(t, y(t))”。

结论本文总结了托马斯微积分中的一些常见勘误，并对每个错误进行了详细的讨论和修正。

这些勘误内容涉及到微积分的基本概念、导数与应用、微分学的应用、不定积分、定积分及其应用以及微分方程初步等方面。

阅读者在学习托马斯微积分时，可以参考本文中的勘误内容，以便更好地理解和应用微积分知识。