六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

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几何五大模型——鸟头模型

一两点都在边上：鸟头定理：

（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何

模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）

△ADE

△ABCSAD×AE=SAB×AC

CBA

二一点在边上，一点在边的延长线上：

△CDE

△ABCSCD×CE=SBC×AC

CBA本讲要点

如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．

例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC

的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。

（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE

的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例2例1

已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。

三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少？

DCBA例4例3

长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大？

如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？A

BCD

EFG

HP例6例5

1.如下左图，在ABC△中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且ABC△的面积是54，求CDE△的面积。

2.如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且12ANBN．那

么，阴影部分的面积等于．

BCDM

图1家庭作业

CDE

3.如图以ABC△的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

EDCBA

4.如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积。

CEF

5.把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少？

GFED

小升初奥赛几何五大模型

几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换

①、等底等高的两个三角形面积相等

②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1

③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2

④、在一组平行线之间的等积变形，如图3

图1 图2 图3

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12

S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3

（2）鸟头（共角）定理模型

①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；

②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点

𝑆△ABC𝑆△ADE=𝐴𝐵×AC𝐴𝐷×AE

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

解：由题意知：S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE=52×53=256

∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50(平方厘米)

（3）蝴蝶模型

1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

① S2=S4(梯形两翼相等)

② S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab

③ 梯形S对应的分数为（a+b)2

例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解：𝑆△AOB:𝑆△BOC=25:35=5:7

𝑆△AOB:𝑆△DOC=𝐴𝐵2:𝐷𝐶2=52:72=25：49

∴𝑆△DOC=49

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

小学奥数-几何五大模型（等高模型）

三角形等高模型与鸟头模型

模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图S1:S2a:b ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；

反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？A

六年级奥数专题训练-几何.风筝模型和梯形蝴蝶定理(A级).学生版

知识

框架

板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）

CBA

①1243::SSSS

或者1324SSSS

②

1243::AOOCSSSS

风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关

系．

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

BCD

①22

13::SSab

②22

1324::::::SSSSababab

；

③S

的对应份数为2

ab

．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应

用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进

行说明

)风筝模型和梯形蝴蝶定理例题精

讲

图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形【例 1】

的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

BA76

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，【巩固】

△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC

【例 2】

的面积；⑵:AGGC？

321

CBA

在△ABC

中DCBD

=2:1, ECAE

=1:3

，求OEOB

=?【巩固】

如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．【例 3

】

CBA

如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC

的面积．【巩固】

CDE

如图，平行四边形ABCD

的对角线交于O

点，CEF△

、OEF△

、ODF△

、BOE△

的面积依【例 4】