人大附中2020届高三数学3月考试题及答案
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人大附中 2019~2020 学年度高三 3 月质量检测试题
数 学
命题人：李岩 审卷人：梁丽平 于金华
2020年3月9日
说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生
务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，
只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。）
（1）若集合{|320}Axx=+R，2
{|230}Bxxx=−−R，则AB=
（A）{|1}xx−R （B）2
{|1}
3xx−−R
（C）2
{|3}
3xx−R （D）{|3}xxR
（2）向量
,,abc在正方形网格中的位置如图所示．若向量
+ab与
c
共线，则实数
=
（A）2− （B）1− （C）1 （D）2
（3）设曲线C
是双曲线，则“C
的方程为𝑥2
−𝑦2
4=1”是“C
的渐近线方程为𝑦=±2𝑥”的
（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其
他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分．若冠军获得者得分
比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为
（A）4 （B） 5 （C）6 （D）7
（5）若抛物线2
2(0)ypxp=
上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p
的取值范围是
（A） 1p
（B） 1p
（C） 2p
（D） 2p
（6）已知函数()cos(2)fxx
=+
（
为常数）为奇函数，那么cos
=
（A） 2
2−
（B） 0 （C）2
2 （D） 1
（7）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为
（A）4
（B
）
22 （C
）7
（D）2
（8）已知函数21,0,
()
(1),0.x
x
fx
fxx−
−
=
−
若方程()fxxa=+
有且只有两个不相等的实数根，则实
数a
的取值范围是
（A）()
,1−
（B）(
,1−
（C）()
0,1
（D）
)
0,+
（9）定义:若存在常数k
,使得对定义域D内的任意两个
1212,()xxxx
,均有
1212()()fxfxkxx−−
成立,则称函数()fx在定义域D上满足利普希茨条件.若函数()(1)fxxx=满足利普希茨条
件,则常数k
的最小值为
（A）4 （B）3
（C）1 （D）1
2
（10）在边长为1的正方体中，,,,EFGH
分别为
1111,,,ABCDABCD
的中点，点P
从G
出发，沿
折线GBCH
匀速运动，点Q
从H
出发，沿折线HDAG
匀速运动，且点P
与点Q
运动的速
度相等，记,,,EFPQ
四点为顶点的三棱锥的体积为V
，点P
运动的路程为x
，在0≤𝑥≤2
时，V
与x
的图像应为
（A） （B）
（C） （D）
(Q)(P)HG
FED
CBA
D
1
C
1B
1A
1第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
（11）代数式5
)1)(1(xx+−
的展开式中3
x
的系数为
（12）在复平面内，复数12iz=−对应的点到原点的距离是 ．
（13
）已知函数4
2log,04,
()
1025,4.xx
fx
xxx
=
−+
若a
,b
,c
,d
是互不相同的正数，且
()()()()fafbfcfd===
，则abcd
的取值范围是
（14）已知双曲线22
22:1xy
C
ab−=的一条渐近线的倾斜角为60，且与椭圆2
2
1
5x
y+=有相等焦距,则
C的方程为
（15）设
nS
为等差数列
na
的前n
项和，若
11a=
，公差2d=
，
236
nnSS
+−=
，则n=
（16）如果对于函数()fx
定义域内任意的两个自变量的值
12,xx
，当
12xx
时,都有
12()()fxfx
，
且存在两个不相等的自变量值
12,yy
,使得
12()()fyfy=
,就称()fx
为定义域上的不严格的增函
数。
则 ①,1
()0,11,
,1xx
fxx
xx
=−
−
②1,
2
(),
sin,
22x
fx
xx
=−
=
−
③1,1
()0,11,
1,1x
fxx
x
=−
−−
④,1
(),
1,1xx
fx
xx
=
+
四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数()gx
的定义域、值域分别为A
、B，
{1,2,3}A=
,BA
, 且()gx
为定义域A
上的不严格的增函数，那么这样的()gx
有 个．
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
（17） 已知{}
na是各项为正数的等差数列，
nS为其前n项和，且2
4(1)
nnSa=+.
（Ⅰ）求
12,aa的值及的通项公式；
（Ⅱ）求数列7
{}
2nnSa−的最小值.
{}
na（18）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCDE−
中，底面ABCD
为矩形，平面⊥ABCD
平面ABE
，=90AEB
，
BCBE=
，F
为CE
的中点，
（Ⅰ）求证：//AE
平面BDF
；
（Ⅱ）求证：平面⊥BDF
平面ACE
；
（Ⅲ）EBAE=2
，在线段AE
上找一点P
，使得二面角FDBP−−的余弦值为1010，求
AP
的长．
（19）（本小题满分13分）
某市旅游管理部门为提升该市
26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、
安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分 0 分，最高分 100 分．每个景点总
分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分
散点图如图．请根据图中所提供的信息，完成下列问题．
（Ⅰ）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率；
（Ⅱ）若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为
𝜉，求随机变量 𝜉 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记该市 26 个景点的交通平均得分为 𝑥
1，安全平均得分为 𝑥
2，写出 𝑥
1 与 𝑥
2 的大小
关系．（只写出结果）
B
A D
C
F
E
