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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. )(0),sin(cos)(　处有则在设xxxxxf.

（A）(0)2f （B）(0)1f（C）(0)0f （D）()fx不可导.

2. 　）时（　，则当，设133)(11)(3xxxxxx.

（A）()()xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()()xx与是等价无穷小；

（C）()x是比()x高阶的无穷小； （D）()x是比()x高阶的无穷小.

3. 若()()()02xFxtxftdt，其中()fx在区间上(1,1)二阶可导且()0fx，则（ ）.

（A）函数()Fx必在0x处取得极大值；

（B）函数()Fx必在0x处取得极小值；

（C）函数()Fx在0x处没有极值，但点(0,(0))F为曲线()yFx的拐点；

（D）函数()Fx在0x处没有极值，点(0,(0))F也不是曲线()yFx的拐点。

4. )()( , )(2)( )(10xfdttfxxfxf则是连续函数，且设

（A）22x （B）222x（C）1x （D）2x.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. xxxsin20)31(lim .

6. ,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则 .

7. lim(coscoscos)22221nnnnnn .

8. 21212211arcsin－dxxxx .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数()yyx由方程sin()1xyexy确定，求()yx以及(0)y.

10. .d)1(177xxxx求

11. ．　求，，　　设1

32)(1020)(dxxfxxxxxexfx

12. 设函数)(xf连续，10()()gxfxtdt，且0()limxfxAx，A为常数. 求()gx并讨论()gx在0x处的连续性.

13. 求微分方程2lnxyyxx满足1(1)9y的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线)0()(xxyy，过点(,)01，且曲线上任一点Mxy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x 轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数)(xf在0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]01q，100()()qfxdxqfxdx.

17. 设函数)(xf在,0上连续，且0)(0xdxf，0cos)(0dxxxf.证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21ff（提示：设xdxxfxF0)()(）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6e . 6.cxx2)cos(21　.7. 2. 8.3.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 解：方程两边求导

(1)cos()()0xyeyxyxyy

cos()()cos()xyxyeyxyyxexxy 0,0xy，(0)1y

10. 解：767uxxdxdu　　

1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式

1(ln||2ln|1|)7uuc

7712ln||ln|1|77xxC

11. 解：1012330()2xfxdxxedxxxdx

01230()1(1)xxdexdx 00232cos(1sin)xxxeedx　令

3214e

12. 解：由(0)0f，知(0)0g。

100()()()xxtufudugxfxtdtx

(0)x

02()()()(0)xxfxfudugxxx

0200()()A(0)limlim22xxxfudufxgxx

0200()()lim()lim22xxxxfxfuduAAgxAx，()gx在0x处连续。

13. 解：2lndyyxdxx

22(ln)dxdxxxyeexdxC

211ln39xxxCx

1(1),09yC，11ln39yxxx

四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且02dxyyxy，

将此方程关于x求导得yyy2

特征方程：022rr 解出特征根：.2,121rr

其通解为 xxeCeCy221

代入初始条件yy()()001，得 31,3221CC

故所求曲线方程为：xxeey23132

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln,(00xx，切线方程：)(1ln000xxxxy

由于切线过原点，解出ex0，从而切线方程为：xey1

则平面图形面积10121)(edyeyeAy

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131eV

曲线xyln与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1022)(dyeeVy

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVV

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：100()()qfxdxqfxdx100()(()())qqqfxdxqfxdxfxdx

10(1)()()qqqfxdxqfxdx

1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0qqffqqfqqf 故有：

100()()qfxdxqfxdx 证毕。

17.

证：构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。其满足在],0[上连续，在),0(上可导。)()(xfxF，且0)()0(FF

由题设，有0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，

有00sin)(xdxxF，由积分中值定理，存在),0(，使0sin)(F即0)(F

综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间],[,],0[上分别应用罗尔定理，知存在

),0(1和),(2，使0)(1F及0)(2F，即0)()(21ff.

庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。

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大一上学期(第一学期)高数期末考试题xcsf

大一上学期(第一学期)高数期末考试题xcsf

高等数学I

1.当

0xx

时，

,xx

都是无穷小，则当

0xx

时（ D ）不一定

是无穷小.

(A)

xx

(B) 

xx22



(C)

)()(1lnx

x



(D) )()(2xx



2.极限ax

axax





1

sinsin

lim

的值是（ C ）.

（A） 1（B） e （C） a

ecot

（D） a

etan

3.







001sin

)(2

xax

xex

xfax

在0x

处连续，则a =（ D ）.

（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 1

4.设)(x

f

在点xa

处可导，那么

hhafhaf

h)2()(

lim

0（ A ）.

（A） )(3af

（B） )(2af

(C) )(a

f

（D） )(

31

af

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5.极限)0(ln)ln(

lim

0

a

xaax

x的值是 a1

.

6.由xxyeyx

2cosln

确定函数y(x)，则导函数

y

xxeye

xy

x

xyxy

ln2sin2



 .

7.直线l过点M(,,)123

且与两平面xyzxyz202356,都平行，则

直线l的方程为 13

12

11





zyx

.

8.求函数2

)4ln(2xxy

的单调递增区间为

（－，0）和（1，+ ） .

三、解答题（

本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9.计算极限1

0(1)

limx

xxe

x



.

解：11

ln(1)1

2

000(1)1ln(1)

limlimlim

2x

xx

xxxxeexxe

ee

xxx





10.设)(xf

在[a，b]上连续，且],[)()()(baxdttftxxFx

a

，试求出)(xF

。

解：

x

ax

adtttfdttfxxF)()()(



x

ax

adttfxxfxxfdttfxF)()()()()(

)()(xfxF

11.求

大一上学期工科高数期末考试题多年

大一上学期工科高数期末考试题多年

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. )(0),sin(cos)(　处有则在设xxxxxf.

（A）(0)2f （B）(0)1f（C）(0)0f （D）()fx不可导.

2. 　）时（　，则当，设133)(11)(3xxxxxx.

（A）()()xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()()xx与是等价无穷小；

（C）()x是比()x高阶的无穷小； （D）()x是比()x高阶的无穷小.

3. 若()()()02xFxtxftdt，其中()fx在区间上(1,1)二阶可导且()0fx，则（ ）.

（A）函数()Fx必在0x处取得极大值；

（B）函数()Fx必在0x处取得极小值；

（C）函数()Fx在0x处没有极值，但点(0,(0))F为曲线()yFx的拐点；

（D）函数()Fx在0x处没有极值，点(0,(0))F也不是曲线()yFx的拐点。

4. )()( , )(2)( )(10xfdttfxxfxf则是连续函数，且设

（A）22x （B）222x（C）1x （D）2x.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. xxxsin20)31(lim .

6. ,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则 .

7. lim(coscoscos)22221nnnnnn .

8. 21212211arcsin－dxxxx .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

高等数学I

1. 当0xx时，,xx都是无穷小，则当0xx时（ D ）不一定是无穷小.

(A) xx (B) xx22

(C) )()(1lnxx (D) )()(2xx

2. 极限axaxax1sinsinlim的值是（ C ）.

（A） 1 （B） e （C） aecot （D） aetan

3. 001sin)(2xaxxexxfax在0x处连续，则a =（ D ）.

（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 1

4. 设)(xf在点xa处可导，那么hhafhafh)2()(lim0（ A ）.

（A） )(3af （B） )(2af

(C) )(af （D） )(31af

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)0(ln)ln(lim0axaaxx的值是 a1.

6. 由xxyeyx2cosln确定函数y(x)，则导函数y

xxeyexyxxyxyln2sin2 .

7. 直线l过点M(,,)123且与两平面xyzxyz202356,都平行，则直线l的方程为 131211zyx .

8. 求函数2)4ln(2xxy的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)limxxxex. 解：11ln(1)12000(1)1ln(1)limlimlim2xxxxxxxeexxeeexxx

10. 设)(xf在[a，b]上连续，且],[)()()(baxdttftxxFxa，试求出)(xF。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题[1]

大一上学期(第一学期)高数期末考试题[1]

高等数学I

1. 当0xx时，,xx都是无穷小，则当0xx时（ D ）不一定是无穷小.

(A) xx (B) xx22

(C) )()(1lnxx (D) )()(2xx

2. 极限axaxax1sinsinlim的值是（ C ）.

（A） 1 （B） e （C） aecot （D） aetan

3. 001sin)(2xaxxexxfax在0x处连续，则a =（ D ）.

（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 1

4. 设)(xf在点xa处可导，那么hhafhafh)2()(lim0（ A ）.

（A） )(3af （B） )(2af

(C) )(af （D） )(31af

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)0(ln)ln(lim0axaaxx的值是 a1.

6. 由xxyeyx2cosln确定函数y(x)，则导函数y

xxeyexyxxyxyln2sin2 .

7. 直线l过点M(,,)123且与两平面xyzxyz202356,都平行，则直线l的方程为 131211zyx .

8. 求函数2)4ln(2xxy的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)limxxxex. 解：11ln(1)12000(1)1ln(1)limlimlim2xxxxxxxeexxeeexxx

10. 设)(xf在[a，b]上连续，且],[)()()(baxdttftxxFxa，试求出)(xF。